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三角函数的定义域、值域和最值 3


三角函数的定义域、值域和最值
一 知识点精讲:1 三角函数的定义域
2 三角函数的值域 ① y ? a sin x ? b , ( a ? 0 ) 型 当 a ? 0 时, y ? [ ? a ? b , a ? b ] ② y ? a sin
2

; 当 a ? 0 时 y ? [ a ? b ,? a ? b ]


x ? b sin x ? c 型

此类型的三角函数可以转化成关于 sinx 的二次函数形式。通过配方,结合 sinx 的 取值范围,得到函数的值域。 sin x 换为 cos x 也可以。 ③ y ? a sin x ? b cos x 型 利用公式 a sin x ? b cos x ? 函数的情形。 ④ y ? a (sin x ? cos x ) ? b sin x cos x 型 利用换元法,设 t ? sin x ? cos x , t ? [ ? 2 , 2 ] ,则 sin x cos x ? 转化为关于 t 的二次函数 y ? at ? b
t
2

a

2

?b

2

sin( x ? ? ), tan ? ?

b a

, 可以转化为一个三角

t ?1 2

2

,

?1 2

?

b 2

t

2

? at ?

b 2

.

⑤ y ? a sin

2

x ? b cos

2

x ? c sin x cos x 型

这是关于 sin x , cos x 的二次齐次式,通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式,
sin
2

x ?

1 ? cos 2 x 2

, cos

2

x ?

1 ? cos 2 x 2

, sin x cos x ?

sin 2 x 2



可转化为 y ? m sin 2 x ? n cos 2 x ? p 的形式。 ⑥
y ? a sin x ? b c sin x ? d



可以分离常数,利用正弦函数的有界性。 可以利用反解的思想方法,把分母乘过去,整理得,

⑦y ?

sin x ? a cos x ? b



1

sin( x ? ? ) ? sin x ? y cos x ? by ? a ,

by ? a 1? y
2

,

by ? a 1? y
2

? 1 , 通过解此不等式可得到

y 的取值范围。或者转化成两点连线的斜率。 (8)条件最值问题。 已知 3 sin ? ? 2 sin
2 2

? ? 2 sin ?

,求 y ? sin ? ? sin
2

2

?

的取值范围。

以上八种类型是从表达的形式上进行分类的, 如果 x 有具体的角度范围, 则再进行限制。

一、选择题 1、函数 f(x)的定义域为[﹣ A、[﹣ , ] ,2kπ + , ],则 f(sinx)的定义域为 B、[ , ]

C、[2kπ + π+

](k∈Z)D、[2kπ ﹣ ,2kπ + ]∪[2k

,2kπ +

](k∈Z) 的定义域是( B、 . C、
2

2、函数 A、. 3. y ? 5 sin
2



D、 .

x ? 4 sin x cos x ? 2 cos

x

值域__________ )

4、函数 A、 C、

的定义域为( B D、

5、函数 f(x)=cosx(cosx+sinx) ,x∈[0, ]的值域是( A、[1, ]B、 C、 ) D



6、函数 y=﹣ cos2x+sinx﹣ 的值域为(

2

A、[﹣1,1] B、[﹣ ,1] 7、函数 A、 8、函数 A、5 9、若 B、6 ≤x≤ ,则 C、7 B、

C、[﹣ ,﹣1] 值域是( C、 )

D、[﹣1, ]

D、[﹣1,3] 的最大值是( )

D、8 的取值范围是( C、 D、 的值域为( C、 D、 ) )

A、[﹣2,2] B、 10、若 A、 11、函数 取值集合为( A、 C、
2

,则函数 y= B、

,当 f(x)取得最小值时,x 的 ) B、 D、 ) D、[ ,3] ,则 f(x) ) C、
3

12、函数 y=sin x﹣sinx+1(x∈R)的值域是( A、[ ,3] 13、已知函数 的值域是( B、[1,2] C、[1,3]

A、[﹣1,1] B、

D

14、函数 15、函数 y=sin x+2cosx 在区间[﹣ 16、已知 是 17、 函数 ___________. 18、函数 的值域为 . 在
2

的值域为( , ]上的值域为(

) )

,则 m 的取值范围

上的值域是



19 求下列函数的定义域
(1) (2)
y ? log
sin x

(cos x ?

1 2

)

.

________________ _________________
y ? sin x ? 2 cos x ? 2

y ?

25 ? x

2

? lg cos x

(3)

y ?

3 sin x ? 1 3 sin x ? 2

的值域是
sin 2 x ? sin 2 x

(4)

的值域是 . 的值域是



20、求函数 y ? 21、函数 22、函数

1 ? sin x ? cos x

的值域为



的定义域为



23.(1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域 __________ (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域;_______________

4

5


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