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江苏省南通市2012年下学期高三数学学科基地密卷(二)


江苏省南通市 2012 届高三数学学科基地密卷(二)

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页, 包含填空题 (第 1 题——第 14 题) 解答题 、 (第 15 题——第 20 题) 本 . 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必 须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸的相应 ...... 位置上. ... 1.若复数 z 满足 ( 3 ? i) z ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z= ▲ .

2.已知集合 A={x|6x+a>0},若 1 ? A,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 3.命题 p:函数 y=tanx 在 R 上单调递增,命题 q:△ABC 中,∠A>∠B 是 sinA>sinB 的充 要条件,则 p∨q 是 ▲ 命题. (填“真” “假” ) 4.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h) , 随机选择了 n 位中学生进行调查,根据所得数据 画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到 右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、第 3 个小长方形 的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列, 又第一小组的频数是 10,则 n ? ▲ . 5.把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数 为 b ,则方程组 ?

?ax ? by ? 3, 只有一个解的概率为 ? x ? 2 y ? 2.





2 6.如果 f (tan x) ? sin x ?5sin x? x , 那么 f (5) = cos





x2 y2 ? ? 1 的一个焦点在圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 5 ? 0 上, 7.已知双曲线 则双曲线的渐近线方程 9 m
为 ▲ .

8.程序框图如下,若恰好经过 6 次循环输出结果,则 a= ......

▲ N



i ? i ?1
开始

T ? 0, i ? 1

T ? T ? ai (a ? 1且a ? Z )

T ? 200

Y

输出 T 结束

9.将函数 y=sin(2x+

5? )的图象向左平移至少 ▲ 个单位,可得一个偶函数的图象. 6

10. 已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题: ① 若 ? / / ? ,则 l ? m ; ③ 若 l / / m ,则 ? ? ? ; ②若 ? ? ? ,则 l / / m ; ④若 l ? m ,则 ? / / ? .

其中正确命题的序号是 ▲ . 11.某资料室在计算机使用中,产生如右表所示的编码,该编码以一定的规则排列,且从左 至右以及从上到下都是无限的.此表中,主对角线上数 1 1 1 1 1 1 … 列 1, 5, 17, 2, 10, ?的一个通项公式 an = ▲ . 1 1 1 1 1 … 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … …

12. 在 ?ABC 中,A(1,1) ,B(4,5) ,C(—1,1) , 则与角 A 的平分线共线且方向相同的单位向量 为 ▲ .

13. 已知函数 f(x)满足 f(1)= ▲ .

1 x? y x? y ,f(x)+ f(y)=4 f( ) ?f( )(x,y∈ R),则 f(—2011)= 4 2 2

14. 已知二次函数 f ( x) ? x2 ? x ? k , k ? Z , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 在 ? ?1, ? 上有两个不

? ?

3? 2?

同的零点,则

[ f ( x)]2 ? 2 的最小值为 f ( x)





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知 ? ABC 的面积 S 满足 4 ? S ? 4 3 ,且 AB ? AC =—8. (Ⅰ)求角 A 的取值范围; x x x 2 x ? 2 sin 2 ? 3 3 sin ? cos ,求 f ( A) 的最大值. (Ⅱ)若函数 f ( x) ? cos 4 4 4 4

??? ??? ?

16.(本题满分 14 分) 如图,把长、宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角. (Ⅰ)求顶点 B 和 D 之间的距离; (Ⅱ)现发现 BC 边上距点 C 的 1 处有一缺口 E,请过点 E 作一截面,将原三棱锥分割成一
3

个三棱锥和一个棱台两部分,为使截去部分体积最小,如何作法?请证明你的结论. B

.E

C

B

A

D

A

.

E C

D

17.(本题满分 15 分) 如图,已知:椭圆 M 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,AF=5BF.若 椭圆 M 经过点 C,C 在 AB 上的射影为 F,且△ABC 的面积为 5. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)已知圆 O: x +y =1,直线 l : mx ? ny =1,试证明:当点 P(m,n)在椭圆 M 上运动 时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围.
2 2

y
C

A F1

O

F

B

x

18.(本题满分 15 分) 各项均为正数的等比数列 {an } ,a1=1, a2 a4 =16,单调增数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , . a4 ? b3 ,且 6Sn ? bn2 ? 3bn ? 2 ( n ? N * ) (Ⅰ )求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )令 cn ?

bn * (n? N ) ,求使得 cn ? 1的所有 n 的值,并说明理由. an

(Ⅲ) 证明 {an } 中任意三项不可能构成等差数列.

19.(本题满分 16 分) 由一个小区历年市场行情调查得知, 某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 P(t )(单 位:吨)与上市时间 t (单位:月)的关系大致如图(1)所示的折线 ABCDE 表示,销售 价格 Q(t ) (单位:元/千克)与上市时间 t (单位:月)的大致关系如图(2)所示的抛物 线段 GHR 表示( H 为顶点) . (Ⅰ)请分别写出 P(t ) , Q(t ) 关于 t 的函数关系式,并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售 额最大的月份? 边界) ,求 z ? x ? 5 y 的最大值; (Ⅱ )图(1)中由四条线段所在直线围成的平面区域为 M ,动点 P( x, y) 在 M 内(包括 .... (Ⅲ) 由(Ⅱ ,将动点 P( x, y) 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算 ) (如 1 ? 2 x ? 3 y ? 3 类比为1 ?

x2 , 并求出相应的最大值. ? 3 ) 试列出 P( x, y) 所满足的条件, y3

(图 1) 20.(本题满分 16 分) 如果实数 x,y,t 满足|x—t|≤|y—t|,则称 x 比 y 接近 t. (Ⅰ )设 a 为实数,若 a|a| 比 a 更接近 1,求 a 的取值范围;
n 2 ? n ? n2 x ?1 f (k ) 比 (Ⅱ )f(x)=ln ,证明: ? x ?1 2n(n ? 1) k ?2

(图 2)

更接近 0(k∈ . Z)

数学附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1 几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上 的点(不与点 A, C 重合) ,延长 BD 至 E . 求证: AD 的延长线平分 ?CDE .

B.选修 4—2 矩阵与变换

b? ?3? ? ,若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α 1= ??1? ,属于特征 4? ? ? ?1? 值 5 的一个特征向量为 α 2= ? ? .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?1?
已知矩阵 A ? ?

?a ?1

C.选修 4—4 参数方程与极坐标 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2 cos? , ? y ? 3 ? 2 sin ?

??为参数?

,若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点,

以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 l ,求直线 l 的极坐标方程.

D.选修 4—5 不等式证明选讲 设 a, b, c 均为正数,证明:

a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c. b c a

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22.已知一口袋中共有 4 只白球和 2 只红球 (1)从口袋中一次任取 4 只球,取到一只白球得 1 分,取到一只红球得 2 分,设得分为 随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望; (2)从口袋中每次取一球,取后放回,直到连续出现两次白球就停止取球,求 6 次取球 后恰好被停止的概率.

23.在平面直角坐标系 xoy 中,已知焦点为 F 的抛物线 x 2 ? 4 y 上有两个动点 A 、 B ,且满 足 AF ? ? FB , 过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M. (1) 求: OA ? OB 的值; (2) 证明: FM ? AB 为定值.
?? ? ?? ?

参考答案
一、填空题 1.
—1+

3i

2. (??, ?6]

3. 真

4.

100

5.

11 12

6. 0

7. y ? ?

2 2 x 3

8. 2

9.

? 3

10.①③ 11. (n—1)2+1

12. (?

5 2 5 , ) 5 5

13.

1 4

14.

81 28

二、解答题 15. (Ⅰ)∵ AB ? AC =—8,∴ AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A =—8, ∴ | AB | ? | AC | = ∵S ?

??? ??? ? ?

??? ??? ?

???

??? ?

???

??? ?

? 1 ?? | BA | ? | AC | ? sin A 2

?8 ① cos A ?? ?



将①代入②得 S ? ?4 tan A ,由 4 ? S ? 4 3 ,得 ? 3 ? tan A ? ?1 , 又 A ? (0, ? ) ,∴ A ? ? (Ⅱ) f ( A) ? cos
2

? 2? 3? ? . , ? 3 4 ? ?

A A A A ? 2sin 2 ? 3 3 sin ? cos 4 4 4 4

=

1 A A 3 3 A (1 ? cos ) ? (1 ? cos ) ? sin 2 2 2 2 2
=

3 A 1 A 1 3 3 A 3 A 1 sin ? cos ? = 3( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A ? A ? 1 A ? 1 cos ? cos sin ) ? = 3sin( ? ) ? , 2 6 2 6 2 2 6 2 A ? ? 2? A ? 当 ? ? ,即 A ? 时, sin( ? ) 取得最大值, 2 6 2 3 2 6 5 同时, f ( A) 取得最大值 . 2

= 3(sin

在 ?ABC中作BO ⊥ AC, 垂足为O? ? 面ABC ? 面ACD ? ? 16. (Ⅰ) ? ? BO ? 面ACD ? ? BO ? OD BO ? 面ABC ? OD ? 面ACD ? ? 面ABC ? 面ACD ? AC ?
由已知 BO=

12 193 337 ,OD= 在 Rt△BOD 中, BD= . 5 5 5

B

(Ⅱ)方案(一)过 E 作 EF//AC 交 AB 于 F,EG//CD,交 BD 于 G, A

.

E C

D

? ? EF ? 面ACD ? ? EF // 面ACD AC ? 面ACD? ? EF // AC 同理EG//面ACD EF ? EG ? E

? ? ? ? , ? ? 平面 EFG//平面 ACD ? ? ? ?

原三棱锥被分成三棱锥 B-EFG 和三棱台 EFG-CAD 两部分,此时

VB ? EFG 2 8 . ? ( )3 ? VB ? ACD 3 27

方案(二)过 E 作 EP//BD 交 CD 于 P,EQ//AB,交 AC 于 Q,同(一)可证平面 EPQ//平面 ABD, 原三棱锥被分割成三棱锥 C-EPQ 和三棱台 EPQ-BDA 两部分,此时 为使截去部分体积最小,故选用方案(二). 17. (Ⅰ)由题意设椭圆方程为

VC ? EPQ VC ? BDA

1 1 , ? ( )3 ? 3 27

x2 y 2 ? ? 1 ,半焦距为 c, a 2 b2

由 AF=5BF,且 AF=a+c,BF=a—c,∴a+c=5(a-c) ,得 2a=3c.(1)由题意 CF⊥AB,设 点 C 坐标(c,y) 在 M 上,代入得 y ? b (1 ? ,C
2 2

c2 (a 2 ? c 2 )2 a2 ? c2 )? ∴y? . 由△ a2 a2 a

ABC 的面积为 5,得

1 a2 ? c2 ? 2a ? ? 5 , a 2 ? c 2 =5.(2) 2 a
2 2 2

解(1) (2)得 a=3, c=2. ∴ b ? a ? c =9—4=5.∴所求椭圆 M 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

(Ⅱ) 圆 O 到直线 l : mx ? ny =1 距离 d=

1 m2 ? n2

,由点 P(m,n)在椭圆 M 上,则

m2 n2 m2 n2 1 2 2 ? ? 1, ? , m2 ? n2 ? 1, m2 ? n2 >1, ∴d = 显然 m ? n ? ∴ <1, 9 5 9 5 m2 ? n2
而圆 O 的半径为 1,直线 l 与圆 O 恒相交. 弦长 t=2 1 ? d 2 =2 1 ?

m2 n2 m2 1 ? ? 1 得 n 2 ? 5(1 ? ), ,由 9 5 9 m2 ? n 2
t=2



1 9 ? , 2 2 m ?n 4m ? 45
2

1?

9 , 4m ? 45
2

?| m |? a , ∴ 0 ? m2 ? 9 ,

45 ? 4m2 ? 45 ? 81 ,∴

4 9 8 4 5 4 2 ? 1? ? ,弦长 t 的取值范围是[ , ]. 2 5 4m ? 45 9 5 3

18. )∵a2 a4 = a12q4 ? q4 ? 16 , q 2 =4,∵an ? 0 ,∴ (Ⅰ q=2, ∴ 3= a4 =8. b ∵6Sn ? bn 2 ? 3bn +2 ①

∴an ? 2 n?1

当 n≥2 时, 6Sn?1 ? bn?12 ? 3bn?1 +2 ②
2 ① 得 6bn ? bn 2 ? bn?1 ? 3bn ? 3bn?1 即 (bn ? bn?1 )(bn ? bn?1 ) ? 3(bn ? bn?1 ) -②

∵bn ? 0 ∴bn ? bn?1 =3,∴{bn } 是公差为 3 的等差数列. 当 n=1 时, 6b1 ? b12 ? 3b1 +2,解得 b1 =1 或 b1 =2, 当 b1 =1 时, bn ? 3n ? 2 ,此时 b3 =7,与 b3 ? 8 矛盾;当 b1 ? 3 时 bn ? 3n ? 1 ,此时此时

b3 =8= a4 ,∴bn ? 3n ? 1 .
(Ⅱ)∵bn ? 3n ? 1 ,∴cn ?

3n ? 1 5 11 bn = n ?1 ,∴c1 =2>1, c 2 = >1, c3 =2>1, c4 ? >1, 2 2 8 an

7 <1,下面证明当 n≥5 时, cn ? 1 8 3n ? 2 3n ? 1 4 ? 3n ? n ?1 = n <0 事实上,当 n≥5 时, cn ?1 ? cn ? 2n 2 2 7 即 cn?1 ? cn ,∵c5 ? <1 ∴ n≥5 时, Cn ? 1 , 当 8 c5 ?
故满足条件 Cn ? 1 的所有 n 的值为 1,2,3,4. (Ⅲ)假设 {an } 中存在三项 p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使 ap, aq, ar 构成等差数列, ∴ 2aq=ap+ar,即 2 ?2q 1=2p 1+2r 1.∴2q p+1=1+2r p. 因左边为偶数,右边为奇数,矛盾. ∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列.










? ?t ? 5 0 ? t ? 3, ? t ? 1 3 ? t ? 6, ? 19.解(Ⅰ) P(t ) ? ? ??t ? 11 6 ? t ? 9, ? t ? 7 9 ? t ? 12 ?
1 2 t( ? 4 ) ? 6 ?t? (0 1 .2 ) 16 1 P(t ) ? Q(t ) ? (t ? 1)[? (t ? 4) 2 ? 6] ( 3 ? t ? 6) 16 3 ( P(t ) ? Q(t ))' ? ? [(t ? 3) 2 ? 33] ? 0 在 t ? (3, 6] 恒成立,所以函数在 (3,6] 上递增 16 Q(t )? ?

当 t=6 时, [ P(t )? (t )]max =34.5. ∴6 月份销售额最大为 34500 元 . Q

(Ⅱ)

?5 ? x ? y ? 11 ,z=x—5y. ? ?1? x ? y ? 7 ? A? B ?1 ? A ? ?2 , ?? ? A ? B ? ?5 ? B ? 3

令 x—5y=A(x+y)+B(x—y),则 ?

∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y).由 ? 22 ? ?2( x ? y) ? ?10 , 3 ? 3( x ? y) ? 21, ∴ ?19 ? z ? 11,则(z)max=11 .

?5 ? xy ? 11 x x x ? x (Ⅲ)类比到乘法有已知 ? ,求 z ? 5 的最大值.由 5 =( xy )A·( )B 1? ? 7 y y y ? y ?

? A? B ?1 ? A ? ?2 1 1 ? ( xy ) ? 2 ? .∴ , 1 ? ( xy) 3 ? 343 ?? ? 121 25 ? A ? B ? ?5 ? B ? 3


1 343 343 ?z? ,则(z)max= . 121 25 25

20. (Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1| (1)当 0<a<1 时, |a2—1|≤|a—1| 1-a2≤1—a,得 a≥1 或 a≤0(舍去) (2)当 a≥1 时,a2—1≤a—1, 得 a= 1; (3)当 a≤0 时, a2+1≤1—a ,—1≤a≤0 . 综上, a 的取值范围是{a|—1 ? a ? 0 或 a=1} (Ⅱ) ∵

? f (k ) ? ln 3 ? ln 4 + ln 5 +?+ ln n ? 1 = ln n(n ? 1) ,
k ?2

n

1

2

3

n ?1

2

∴|

? f (k ) ? 0 | ? |
k ?2

n

2 ? n ? n2 2 n2 ? n ? 2 . ? 0 | = ? ln ? n(n ? 1) 2n(n ? 1) 2n(n ? 1)

令 n(n+1)=t,? n ? 2 ∴t∈ [6,??) ,且 t∈Z,则 F(t)= ? ln

2 t?2 t ?2 ? = ? ln 2 ? ln t ? . t 2t 2t

F ' ( x) ?

1 ? x

2x ?

2 1 ? ( x ? 2) 4 x ? 2x ? 2 2 ? 2 ( x ? 2 ) 2 2 x ? = ?0 2x 4x x 4x x

∴F(x)在 [2,??) 单调递减 ∴F(t)≤f(6)<F(2)=—ln1—0=0 .

∴ ? ln

2 t ?2 2 n2 ? n ? 2 ≤0. ? ? 0 ,即 ? ln ? t n(n ? 1) 2t 2n(n ? 1)



? f (k ) 比
k ?2

n

2 ? n ? n2 2n(n ? 1)

更接近 0.

附加题参考答案及评分标准
A.选修 4—1 几何证明选讲 解(Ⅰ)设 F 为 AD 延长线上一点 ∵ A, B, C , D 四点共圆, ∴ ?ABC ? ?CDF 又 AB ? AC ∴ ?ABC ? ?ACB , 3分 5分 7分

且 ?ADB ? ?ACB , ∴ ?ADB ? ?CDF , 对顶角 ?EDF ? ?ADB , 故 ?EDF ? ?CDF , 即 AD 的延长线平分 ?CDE . B.选修 4—2 矩阵与变换 解:由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1= ? 即 3a ? b ? 3 ;

10 分

?3? ?a 可得, ? ? ??1? ?1 b? 4? ?

b? 4? ?

?3? ?3? ??1? = ??1? , ? ? ? ?
3分

?a ?1? 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2=? ?,可得 ? ?1? ?1
即a ?b ? 5,

?1? ?1? ?1? =5 ?1? , ?? ??
6分 7分

? 2 3? ?a ? 2 解得 ? 即 A= ? ?, ?1 4? ?b ? 3 3? ? 4 ? ? ? 5 5 A 的逆矩阵是 ? 1 2 ? ?? ? 5 ? ? 5
C.选修 4—4 参数方程与极坐标 解 由题设知,圆心 C 1, 3 , P?2.0? ∠CPO=60°,故过 P 点的切线的倾斜角为 30° 设 M ?? ,? ? 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点, 则在△PMO 中,∠MOP= ? ?OMP ? 30 ? ? , ?OPM ? 150
0 0

10 分

? ?

2分 4分

由正弦定理得

OM OP ? 2 ? ,? ? 0 sin ?OPM sin ?OMP sin150 sin 300 ? ?

?

?

8分

? ? cos ? ? 600 ? 1 或?sin 300 ? ? ? 1 ,即为所求切线的极坐标方程.
D.选修 4—5 不等式证明选讲 证明:

?

?

?

?

? ?

10 分

a2 b2 c2 a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c ? ( ? b) ? ( ? c ) ? ( ? a ) b c a b c a
? 2a ? 2b ? 2c

3分 9分 10 分

即得

a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c. b c a
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 .

另证 利用柯西不等式 a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? 取 a1 ?

a b

, a2 ?

b c

, a3 ?

c a

, b1 ? b , b2 ? c , b3 ? a 代入即证.

22.解: (1)X 的可能取值为 4、5、6. P(X=4)=
4 C4 1 ? 4 C 6 15 3 1 C4 C2 8 ? 4 15 C6

P(X=5)=

2 2 C4 C2 6 P(X=6)= ? 4 15 C6

? X 的分布列为
P X 4 5 6

1 15 1 8 6 16 ? 5? ? 6? ? 15 15 15 3

8 15

6 15
5分

? E( X ) ? 4 ?
1 3

(2)设 “6 次取球后恰好被停止”为事件 A

2 1 2 1 2 1 2 2 44 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ] ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 729 44 ? 6 次取球后恰好被停止的概率为 729
则 P( A) ? [( ) ?
3

10 分

23.解:设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ) 4 4 x12 x2 ), FB ? ( x2 , 2 ? 1) 4 4

? 焦点 F(0,1)? AF ? (? x1 ,1 ?
? AF ? ? FB
? x1 ? ?x 2 ? ? ? ? x12 x2 1? ? ? ( 2 ? 1) ? 4 4 ?
化简整理得 ( x1 ? x 2 )( 消 ? 得 x1 (

2 x2 x2 ? 1) ? x 2 (1 ? 1 ) ? 0 4 4

x1 x 2 ? 1) ? 0 4

? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?4
2 x12 x 2 ? y1 y 2 ? ? ?1 4 4

? OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 (定值)
(2)抛物线方程为 y ?

1 2 1 x ? y? ? x 4 2

? 过抛物线 A、B 两点的切线方程分别为 y ?
2 x12 x2 1 1 即 y ? x1 x ? 和 y ? x2 x ? 2 4 2 4

x2 x2 1 1 x1 ( x ? x1 ) ? 1 和 y ? x2 ( x ? x2 ) ? 2 2 4 2 4

联立解出两切线交点 M 的坐标为 ?

? x1 ? x2 ? ,?1? ? 2 ?

2 2 2 x2 ? x12 ? x2 ? x12 x 2 ? x12 ? x1 ? x2 ?? ?= ? ? 0 (定值) ? FM ? AB ? ? . ? 2 ?? x2 ? x1 , ? 2 2 4 ? ? 2 ?? ?


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