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2014届高考数学总复习 第1讲 不等式选讲课件 理 新人教A版选修4-5


选修4-5

不等式选讲

第1讲

绝对值不等式

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式: ①|a+b|≤|a|+|b|;

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c; |x-a|+|x-b|≥c.

1个重要公式 |a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是缩 小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变量求最值. 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具,但有 时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.

2点必须注意 1. 含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求 解,对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数),

利用实数绝对值的几何意义求解较简便.
2. 含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可 利用重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+ |a2|+…+|an|进行放缩.

3种必会方法 1. 分离参数法:运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a” 可解决恒成立中的参数范围问题.

2. 更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主
元入手非常困难或不可能解决问题时,可转换思维角度,将主 元与参数互换,常可得到简捷的解法. 3. 数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数 形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思

维各自的优势,可直观解决问题.

课前自主导学

1. 绝对值不等式的解法 (1)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形 式转化为二次不等式求解.

(2)形如|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式
①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 __________ __________ a=0 ? {x|x≠0} a<0 ? R

②|ax + b|≤c(c>0) 和 |ax + b|≥c(c>0) 型 不 等 式 的 解 法 |ax + b|≤c?________(c>0),|ax+b|≥c?__________(c>0).

解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么?

(1)不等式|2x+1|≤3的解集是________. |x+1| (2)不等式 ≥1的解集是________. |x+2|

2.绝对值不等式的应用 (1)定理:如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ________时,等号成立.

(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅
当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|. ②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

③||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

如何求两个或两个以上绝对值和的函数最小值或两绝对值 差的函数最大值?

(1)函数y=|x-1|+|x-2|的最小值为________. (2)函数y=|x|-|x-3|的最大值为________.

1.

{x|-a<x<a} {x|x>a或x<-a} -c≤ax+b≤c ax+

b≥c或ax+b≤-c 想一想:提示:关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对 值. 3 填一填:(1){x|-2≤x≤1} (2){x|x≤- ,且x≠-2} 2

2.ab≥0

想一想:提示:关键是根据含绝对值不等式定理或性质转
化,消去自变量x. 填一填:(1)1 (2)3

核心要点研究

例1

[2012·湖南高考]不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为

________.

[审题视点]

应用零点分段法,不等式分情况讨论去掉绝

对值符号;也可移项两边平方解不等式.

[解析]

方法一:原不等式可化为:

1 ? ?x≤- , 2 ? ?-3>0 ?



? 1 ?x≥1, ?- <x<1, ? 2 ? 或? ?3>0, ? ?4x>1 ? 1 1 ∴?或 <x<1或x≥1,∴不等式解集为{x|x> }. 4 4

方法二:由|2x+1|-2|x-1|>0,得|2x+1|>2|x-1|,平方, 1 得12x>3,x>4. 1 ∴解集为{x|x>4}. 1 [答案] {x|x>4}

1.形如|x+a|±|x-b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法, 其步骤为

(1)求零点;(2)划分区间、去绝对值号;(3)分别解去掉绝对值
的不等式;(4)取每个结果的并集,特别注意在分段时不要漏 掉区间的端点值. 2.上述不等式也可用|x-a1|±|x-a2|的几何意义去求解集.

[变式探究]

若 不 等 式 |2x - a| + a≤6 的 解 集 为 {x| -

2≤x≤3},求实数a的值. 解:由|2x-a|+a≤6,得|2x-a|≤6-a.

所以a-6≤2x-a≤6-a,即a-3≤x≤3.
由不等式的解集为{x|-2≤x≤3},知a-3=-2,所以a=1.

1 例2 [2012· 江苏高考]已知实数x,y满足:|x+y|< 3 ,|2x- 1 5 y|<6,求证:|y|<18. [证明] 因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-
y|, 1 1 2 1 5 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< ,从而3|y|< + = ,所以 3 6 3 6 6 5 |y|<18.

4 奇思妙想:本例条件不变,问题改为“|x-5y|< ”,该如 3 何证明?
?m+2n=1, ? 证明:令x-5y=m(x+y)+n(2x-y),则有 ? ?m-n=-5, ?



?m=-3, ? ? ?n=2, ?

∴|x-5y|=|-3(x+y)+2(2x-y)|≤3|x+y|+2|2x

1 1 4 -y|,由题知|x+y|<3,|2x-y|<6,从而|x-5y|<3.

含绝对值不等式的证明题主要分两类,一类是比较简单的不 等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常 见的不等式证明题,或利用绝对值三角不等式性质定理:||a|

-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是
综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一 般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方

程的根的分布等方法来证明.

[变式探究] 设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1), 5 若|a|≤1,求证:|f(x)|≤4.
证明:证法一:∵-1≤x≤1,∴|x|≤1. 又∵|a|≤1,∴|f(x)|=|a(x2-1)+x| ≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|
? 1? 2 5 5 =-?|x|-2? +4≤4. ? ?

证法二:设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x. ∵-1≤x≤1,当x=± 1即x2-1=0时, 5 |f(x)|=|g(a)|=1≤4; 当-1<x<1即x2-1<0时, g(a)=ax2+x-a是单调递减函数.

∵|a|≤1,∴-1≤a≤1. ∴g(a)max=g(-1)=-x g(a)min=g(1)=x
2 2

? 1?2 5 +x+1=-?x-2? + ; 4 ? ?

? 1?2 5 +x-1=?x+2? -4. ? ?

5 ∴|f(x)|=|g(a)|≤ . 4

例3 [2012· 辽宁高考]已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求a的值;
? x? (2)若?f?x?-2f?2??≤k恒成立,求k的取值范围. ? ?

[审题视点]

(1)先解绝对值不等式,注意对字母a的讨论,

然后利用集合相等求a;(2)不等式恒成立问题转化为函数的最 值问题,将原函数转化为分段函数求最大值.

[解]

(1)由|ax+1|≤3,得-4≤ax≤2.

又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题 4 2 意.当a>0时, -a≤x≤a,得a=2. ?x ? (2)记h(x)=f(x)-2f?2?=|2x+1|-2|x+1|, ? ? ?1,x≤-1, ? ?-4x-3,-1<x<-1, 2 则h(x)=? ? 1 ?-1,x≥- , 2 ? 所以|h(x)|≤1,因此k≥1.

不等式有解是含参数的不等式存在性问题,只要求存在 满足条件的x即可;不等式的解集为R是指不等式的恒成立问

题,而不等式的解集为?的对立面(如f(x)>m的解集是空集,
则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可 转化为最值问题,即f(x)<a恒成立?a>f(x)max ,f(x)>a恒成立 ?a<f(x)min.

[变式探究] 已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其 中a>0). (1)当a=4时,求不等式的解集; π (2)若不等式在[-2,+∞)内有解,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=4时,不等式即为|2x+1|-|x-1|≤2, 1 1 当x<- 时,-x-2≤2,得-4≤x<- , 2 2 1 1 2 当- ≤x≤1时,3x≤2,得- ≤x≤ , 2 2 3 当x>1时,x≤0,此时x不存在. 2 ∴不等式的解集为{x|-4≤x≤3}.

1 ? ?-x-2,x<-2, ? 1 (2)∵设f(x)=|2x+1|-|x-1|=? ?3x,-2≤x≤1, ? ?x+2,x>1, 3 3 ∴f(x)∈[-2,+∞),即f(x)的最小值为-2. 3 若f(x)≤log2a有解,则log2a≥-2, 2 2 解得a≥ 4 ,即a的取值范围是[ 4 ,+∞).

经典演练提能

1. 不等式1<|x+1|<3的解集为( A. (-4,-2) C. (-4,2) B. (0,2)

)

D. (-4,-2)∪(0,2)

答案:D
解析:原不等式可化为
?|x+1|>1 ? ? ?|x+1|<3 ? ?x+1>1或x+1<-1 ? ?? ?-3<x+1<3 ?

?x>0或x<-2 ? ?? ?-4<x<2 ?

?-4<x<-2或0<x<2.

2. [2013·皖南八校联考]不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任 意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( A. [-1,4] B. (-1,4] )

C. [-1,4)
答案:A

D. (-1,4)

解析:y=|x+3|+|x-1|的最小值为4,∴a2-3a≤4. ∴-1≤a≤4,选A项.

3. [2012·广东高考]不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_______.
1 答案:{x|x≤-2}
?x≥0, ? 解析:原不等式等价于? ?x+2-x≤1 ? ?-2<x<0, ? ? ?x+2+x≤1 ? ?x≤-2, ? 或? ?-x-2+x≤1 ?



1 ,解之得x≤-2.

1 所以不等式的解集为{x|x≤-2}.

4. [2012·陕西高考]若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立, 则实数a的取值范围是________.

答案:-2≤a≤4
解析:在数轴上确定点1,再移动点a的位置,观察a点的 位置在-2和4的位置时是边界位置,所以-2≤a≤4.

5. [2013·宝鸡统考]已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成
立,求实数m的取值范围.

解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
?a-3=-1, ? 所以? ?a+3=5, ?

解得a=2.

(2)∵a=2∴f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5),

?-2x-1,x<-3, ? 于是g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ?2x+1,x>2. ? 所以当x<-3时,g(x)>5; 当-3≤x≤2时,g(x)=5; 当x>2时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成 立,则m的取值范围为(-∞,5].


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