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高中数学知识点总结(精华版)


高中数学必修+选修知识点归纳
新课标人教 A 版

-1-

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:

格 式

: 解 : 设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 , 则 : (2)导数法:设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?

Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .
4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. ? 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子
n 集, 2 ? 1 个真子集.

x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x? ,那么就称函数 f ?x ? 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 相应的切线方 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .

n

§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集 合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么就 作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记

2、几种常见函数的导数
' n ' n ?1 ①C ? 0 ;②( x ) ? nx ;

③(sin x) ? cos x ; ④(cosx) ? ? sin x ;
' '

⑤(a ) ? a ln a ;
x ' x

⑥(e ) ? e ;
x ' x

⑦(log a x) ?
'

1 1 ' ;⑧(ln x ) ? x ln a x
' '

3、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
'

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2
4、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u), u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 乘积.
-1-

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断

解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义: 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值; 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) > f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值. (2)判别方法: ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0, 那么 f ( x 0 ) 是极小值. 6、求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值 (极大或者极小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较, 其中 最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
n

2、性质: §2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式: a x ? N ? x ? loga N ; 2、对数恒等式: a
log a N

?N.
0 ? a ?1
6 5

a ?1
6

图 象
1
-4 -2

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

(5) x ? 0, a ? 1 ;
x x

x ? 0, 0 ? a ? 1

(5) x ? 0,0 ? a x ? 1 ;
x ? 0, a ? 1
x

其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ;
n 当 n 为偶数时, a ? a . n

3、基本性质: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 .

4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?

3、 我们规定: ⑴a
n m

? a
m

y

n

y=ax
*

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

?a ? 0, m, n ? N
⑵a
?n

,m ?1 ;

?

0<a<1 1
o

a>1

⑶ loga M n ? n loga M .
x

?

1 ?n ? 0 ? ; an
r ?s

4、 运算性质: ⑴a a ? a
r s

5、换底公式: loga b ?

logc b logc a
m log a b n

?a ? 0, r, s ? Q? ;

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
6、重要公式: log a n b ?
m

⑵ a

? ?

r s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

7、 倒数关系:loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x

§2..2.2、对数函数及其性质

-2-

1、记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?
y

使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根. 第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围

2、性质:

a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2 1.5

成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2.5

2

1.5


-1

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5



-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2
-2.5

-2.5

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数

3、空间几何体的表面积与体积

(5) x ? 1, loga x ? 0 ; §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

(4)在(0,+∞)上是减函数

0 ? x ? 1, loga x ? 0

(5) x ? 1, loga x ? 0 ;

0 ? x ? 1, loga x ? 0

⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3

?

?

? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.
2、 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么函数

⑸球的表面积和体积:

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3
第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。

y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,
-3-

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这

两个角相等或互补。

3、对于直线:

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2
⑴ l1 // l 2 ? ?

有:

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行) 。

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则 线线平行) 。

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行) 。

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1. 4、对于直线:

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行) 。

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
⑴ l1 // l 2 ? ?

有:

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直) 。

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直) 。

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C2 ? B2 C1

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直, 则线面垂直) 。

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .

5、两点间距离公式: 直线与方程 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

y 2 ? y1 x2 ? x1

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

6、点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7、两平行线间的距离公式:

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,
则d ?

⑶两点式:

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

C1 ? C2 A2 ? B 2

⑷截距式:

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0
-4-

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r . ⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 其中圆心为 ( ?

D

2 2 2、直线与圆的位置关系

,?

E

), 半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴平均数: x ? 1 2 3 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其 平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 方差: s 2 ?
1 n

2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r

的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

?
i ?1

n

2

( x i ? x) ;
2

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2

标准差: s ?

1 n

?
i ?1

n

( x i ? x)

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的 稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1n ? 2 线性回归直线经过定 ( x, y) 。 ? ? xi2 ? nx 注意: ? i ?1 ? ? a ? y ? bx ?
?

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意: N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本, 在 n 每个个体被抽到的机会(概率)均为 。 N 2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
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第三章:概率 1、随机事件及其概率: 随机事件 A 的概率: P( A) ?
m ,0 ? P( A) ? 1 . n

2、古典概型: ⑴特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ?
m . n

3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度

P?x, y ? ,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?
2、 设点 A? x , y

y x

那么: ? 为角 ? 终边上任意一点, (设

r?

x2 ? y2 )

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、 体积等。 4、互斥事件: ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件, 则称 事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率, 等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

sin ? ?

y x y x cos tan cot , ?? , ?? , ?? r r x y

3、 sin ? ,cos? , tan? 在四个象限的符号和三角 函数线的画法. y
P T

§1.2.2、同角三角函数的 基本关系式 1 、 平 方 关 系 :

O

M

Ax

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 .
sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1
2、 商数关系: tan ? ? §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z ) 1、 诱导公式一:

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。

必修 4 数学知识点
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
2、 诱导公式二:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 ? ?

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .

3、诱导公式三:

l . r

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式四:

3、弧长公式: l ?

n?R ? ?R. 180

4、扇形面积公式: S ?

n?R 2 1 ? lR . 360 2

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
-6-

5、诱导公式五:

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
6、诱导公式六:

y=cosx
-5? -3? 2 -4? -7? 2 -2? -3? 2

y
? -? - 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

7? 3? 2 4?

x

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

? 3? (0,( ,, ,( ,) 2?, . 0) 1(? 0) , ) , -1( 0) , 2 2
7? 2

1 o -1
? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

4?

x
y

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
3? 2

y=tanx

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

3、正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R
[-1,1]

R
[-1,1]

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

-7-

x ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

最值
x ? 2 k? ?

x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

?
2



周期性 奇偶性

T ? 2?
奇 在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2 2

T ? 2?
偶 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减

T ??
奇 在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增 2 2

单调性

k ?Z

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减
2 2

对称性

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)

?
2

对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

无对称轴 对称中心 (

k ?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、对于函数:

纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移
? ?

y ? A sin ? x
1

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的周期
T ? 2?

?

|倍

?

个单位

y ? As i n? x ? ? ? ? y ? Asin ?? x ? ? ? ? B

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

(左加右减) 平移 | B | 个单位 (上加下减)

y ? Asin ?? x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变
换关系. ① 先平移后伸缩:

y ? sin x

平移

| ?|

个单位

y ? s i n x ?? ? ? y ? As i n x ? ? ? ? y ? A sin ?? x ? ? ?

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 常数,且 A≠0)的周期 T ?

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

2? ;函 |? |

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为

? . |? |

1

?

|倍

y ? Asin ?? x ? ? ? ? B

( ? ) 对 于 y ? As i n? x ? 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,
只需令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

( k ? Z ) 与 ? x ? ? ? k? (k ? Z )

② 先伸缩后平移:

解出 x 即可. 4、由图像确定三角函数的解析式

y ? sin x

横坐标不变

y ? A sin x
-8-

利用图像特征: A ?

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2

? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.
第三章、三角恒等变换 §3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 5、 tan ?? ? ? ? ? 6、 tan ?? ? ? ? ?

定, tan ? ?

b ). a

第二章:平面向量 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

tan? ?tan ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 sin 2? . 2 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向 规定如下: ⑴

? 2 cos ? ? 1
2

? 1? 2 sin 2 ? .
变形如下:

?a ? ? a ,

?1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 升幂公式: ? 2 ?1 ? cos 2? ? 2sin ? ?

⑵当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当

? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不 共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 , a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 使 §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?,
-2-

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? ?sin 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2
3、 tan 2? 4、 tan ? ?

?

?

? 2 tan? . 1 ? tan2 ?
sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
( 其 中 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 则: AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? . △ABC 中: 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则

必修 5 数学知识点
第一章:解三角形 1、正弦定理:

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C. ? sin A ?
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素。 2、余弦定理:

? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?
⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .

x1 ? x2 2

, y1 ? y2 , 2

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§2.4.1、平面向量数量积

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2 2

a .

2

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ?
? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc ? a 2 ? c2 ? b2 ? cos B ? , ? 2ac ? ? a 2 ? b2 ? c 2 . ?cos C ? 2ab ?
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?

x12 ? y12

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

? ?

?

?

?

?

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2
C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

4、三角形内角和定理: 在△ABC 中, A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 有

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y 12 ? x 2 2? y
2 2

?

3、 两向量的夹角公式

? ? a ?b co? ? ? ? ? s a b

5、一个常用结论: 在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; 若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

. 特别注意, 2 在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。
-3-

?

⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

S3k ? S 2 k ? 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。

, (n ? 1) ?S1 注意通项能否合并。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2).
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d , (n≥ 2,n∈N ? ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列

G、 ⑵等比中项:若三数 a、 b 成等比数列 ? G2 ? ab,
( ab 同号) 。反之不一定成立。 ⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m ⑷前 n 项和公式: Sn ? ⑸常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

? A?

a?b 2

⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

am ? an ? a p ? aq ;
② ak , ak ?m , ak ?2m ,? 为等比数列,公比为 q (下标成 等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ??an ?( ? 为不等于零的常数) 仍是公比为 q 的 等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是公差为
k

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

lg q 的等差数列;
2 ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?,an ,?

am ? an ? a p ? aq ;
②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成 等差数列; ③数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{a p?nq }( p, q ? N ) 、 ,?也成等
*

? ?

?1? ?, ? an ?
2 r

1 ?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q , ,q . q
r n

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

差数列。 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q(p,q 是常数)
-4-

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列;
q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S 2 k ? 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列 的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 公式法: 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an

式:两边同除于 an ?1an ,转化为

1 1 ? ? p 形式, an an?1

化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ;
an

, (n ? 1) ?S1 构造两式作差求解。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)
类型Ⅲ 累加法:

5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, 则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比, 然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项 和.

形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f (n) 是关

?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 于 n 的函数)可构造: ? ?... ?a2 ? a1 ? f (1) ?
类型Ⅳ 累乘法:

形如 an?1 ? an ? f (n) ?

? an?1 ? (其 ? f (n) ? 型的递推数列 ? an ?

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法.
⑵裂项相消法 一般地,当数列的通项 an ?

? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? 中 f (n) 是关于 n 的函数) 可构造:? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1
类型Ⅴ 构造数列法:

c (an ? b1 )(an ? b 2 )

时,往往可将 an 变成两项的差, (a, b1, b2 , c为常数) 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

?
an ? b1

?

?
an ? b2

, 通分整理后与原式相

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 ) 型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列;

比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有:

类型Ⅶ

倒数变换法: ①

形如 an?1 ? an ? pan ?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1


-5-

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1



1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b

" ? " 号).

a 2 ? b2 . 变形公式: ab ? 2
a?b ? ab 2

⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于 首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为 倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ⑸记住常见数列的前 n 项和:

②(基本不等式)

? a,b ? R ? ,(当
?

且仅当 a ? b 时取到等号). 变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?
2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑥ 若ab ? 0, 则

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b
2 2 ? a ?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

n(n ? 1) ; ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2
② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n2 ; ③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
2 2 2 2

3、几个著名不等式

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

a 2 ? b2 ?

( a ? b) 2 . 2

第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律: 当二次项系数为正时, 小于取中间, 大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集.

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

a ⑧ (倒数法则) ? b ? 0 ?
2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取
2 2

-6-

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“ ( ? 或 ?” 时同理)

对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成
2

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 a ? 1 时,

立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0.

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
⑵当 0 ? a ? 1 时,

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)
2 2

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ( g ( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中 取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要
2

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.

专题一:常用逻辑用语
1、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件 若 p ? q ,但 q p ,则 p 是 q 充分而不必要条件;

-7-

若p

q ,但 q ? p ,则 p 是 q 必要而不充分条件;

若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; 若p

q且q

p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条

件. 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) p 且 q ; ( p ? q) ;非 p ( ?p ). ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称

量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫 做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词, 并用符号 ? ” “ 表示.含有存在量词的命题, 叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ① 全 称 命 题 p : ?x ??, p( x) , 它 的 否 定 ?p :

?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题.
②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ?p :

?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.
1.椭圆

专题二:圆锥曲线与方程

-8-

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 范围

到两定点 F 、2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) 1 1 F

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0,b ?

?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?

轴长 对称性 焦点 焦距

长轴的长 ? 2a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a (0 ? e ? 1)

离心率

(焦点)弦长公式

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

-2-

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距

到两定点 F1 、 2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1 F2 | ) F

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
y??

离心率

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a

(e ? 1)
y?? a x b

渐近线方程 3.抛物线

b x a

图形

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

? p ? 0?

? p ? 0?
y轴

? p ? 0?

对称轴 焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
-3-

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

专题五:数系的扩充与复数
1、复数的概念 ⑴虚数单位 i ; ⑵复数的代数形式 z ? a ? bi

⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有

m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方

(a, b ? R) ;

法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成 这件事情共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤有

⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数 z ? a ? bi

? a, b ? R?

m1 种不同的方法,做第二个步骤有 m2 种不同的方
法??做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法.那么完成这 件事情共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. ⑸排列数公式:
m ① An ? n?n ?1??n ? 2???n ? m ? 1?

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ?
3、相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

m An ?

n! ; ?n ? m?!

a 2 ? b2

② An ? n!,规定 0! ? 1 .
n

⑷ z ? a ? bi z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共 轭复数). 4、复数运算 ⑴复数加减法:?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法:

⑹组合数公式: ① Cn ?
m

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? 或 m!

m Cn ?

n! ; m!?n ? m ?!
0

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;
a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ⑶复数的除法: c ? di ? c ? di ?? c ? di ?
?

m n ② Cn ? Cn ?m ,规定 Cn ? 1 .

⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.
m m m ⑻排列与组合的联系: An ? Cn ? Am ,即排列就是先

组合再全排列.
2
m Cn ? m An n ? (n ? 1) ?? ? (n ? m ? 1) n! ? ? ( m ? n) m Am m ? (m ? 1) ?? ? 2 ?1 m!? n ? m ?!

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c ?d
2 2

c ?d
2

2

c ?d
2

6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫 做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? 复平面内的点Z ? (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? 平面向量OZ ?

⑼排列与组合的两个性质性质 排列 An?1 ? An ? mA n
m m m?1

;组合 Cn?1 ? Cn ? Cn
m m

m?1

.

??? ?

⑽解排列组合问题的方法 ①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑 有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优 先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他 位置). ②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再 把不符合条件的所有情况去掉).
-4-

专题六:排列组合与二项式定理
1、基本计数原理

③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列, 最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列). ④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某 些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好 没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素 按要求插入排好的元素之间). ⑤有序问题组合法. ⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法. ⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题: 要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成 n 组问题别忘除以 n!. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式:

当 A、 B 是互斥事件时, 那么事件 A ? B 发生 (即 A、 B 中有一个发生) 的概率, 等于事件 A、 B 分别发 生的概率的和,即

P( A ?

B? )

P A ( ) ?

. ) P B (

⑵对立事件: 其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A 的对立事件通常记着 A .
对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1 ? P( A) . ⑶相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其中一个事件是 否发生对另一个事件发生的概率没有影响) .这样的两 个事件叫做相互独立事件. 当 A、 B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生 (即 A、 B 同时发生) 的概率, 等于事件 A、 B 分别发 生的概率的积.即

?a ? b?

n

0 1 2 r ? Cn a n ? Cn a n ?1b ? Cn a n ? 2b 2 ? ? ? Cn a n ? r b r

n ??? Cn bn ? n ? N? ? .

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验 ①一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. ②独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率

⑵二项展开式的通项公式:
r Tr ?1 ? Cn an?r br ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ?.主要用途

是求指定的项. ⑶项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当 二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系 数.如 在 (ax ? b) 的展开式中, r ? 1 项的二项式系数 第
n

为 C ,第 r ? 1 项的系数为 C a
r n

r n

n ?r

1 b ;而 ( x ? ) n 的 x
r

P (k ) Cn p ? k n

k

?1 ( p

?n

k ) ? k ? 0 ,, 1 ?n,? . 2

展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为 正,而项的系数不一定为正. ⑷ ?1 ? x ? 的展开式:
n

2、离散型随机变量 ⑴随机变量: 如果随机试验的结果可以用一个变量 来表示, 那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
王新敞
奎屯 新疆

1 ?1? x?n ? Cn0 xn ? Cn xn?1 ? Cn2 xn?2 ??? Cnn x0 ,

字母 X , Y , ? ,? 等表示. ⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值, 可 以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型 随机变量. ⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值, 可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续 型随机变量. ⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联 系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以 按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可 以一一列出.
-2-

若令 x ? 1 ,则有
1 ?1?1?n ? 2n ? Cn0 ? Cn ? Cn2 ??? Cnn .

1、基本概念 ⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件.

Y 若 X 是随机变量, ? aX ? b(a, b 是常数) Y 则
也是随机变量 并且不改变其属性 (离散型、 连续型) . 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布(分布列)
王新敞
奎屯 新疆

⑵二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取

设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,?, xi ,?, x n , X 的每一个值 xi ( i ? 1, 2,?, n )的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表

n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的
概率为 P ( X ? k ) ?
k n C M C N? kM ? (k ? 0,1, 2,? , m ) ,于 n CN

X
P

x1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

是得到随机变量 X 的概率分布如下:

p1

X

0
0 n CM C N?0M ? n CN

1
1 n CM C N?1M ? n CN

?

m
m n C M C N? m ?M n CN

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ? 0, i ? 1, 2,...n; ⑵两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 ②

?p
i ?1

n

P
? 1.

?

i

其中 m ? min? M , n? , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * . 1

X
P

0

1? p

p

我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵超几何分布中的参数是 M , N , n. 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

则称 X 服从两点分布,并称 p ? P( X ? 1) 为成功概 率. ⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k P( X ? k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k .

X
P

其中 k ? 0,1, 2,..., n, 变量 X 的概率分布如下:

q ? 1 ? p ,于是得到随机
? k ? n

x1
p1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

X

0

1

则称
n

P

0 Cn p 0 q n

1 Cn p1qn?1

?

Cn p q

k

k

n ?k

?

Cn p q

n

0

E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ??? xi pi ??? xn pn 为离散型
随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望).它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. 性质:① E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b. ②若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p. ③若 X ~ B?n, p ? ,则 E ( X ) ? np. ⑵离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作

X ~ B?n, p ? ,并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ①对立性: 即一次试验中事件发生与否二者必居其一; ②重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴二项分布的模型是有放回抽样;
-3-

X
P
则称

x1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

p1

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X ))2 pi 为离散型随机变量 X 的
i ?1

n

方差,并称其算术平方根 D( X ) 为随机变量 X 的标 准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集 中与离散的程度.

D( X ) 越小, X 的稳定性越高,波动越小,取值
越集中; D( X ) 越大, X 的稳定性越差,波动越大, 取值越分散.
性质:① D(aX ? b) ? a 2 D( X ).

1 P. ②若 X 服从两点分布, D(X ) ?p( ?) 则
③若 X ~ B?n, p ? ,则 D( X ) ? np(1 ? P). 5、正态分布 :

n(ad ? bc)2 值K ? ,其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X
与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 越大, 说明两个分类变量, 关系越强; 反之,越弱。
2

K 2 ? 3.841 时,X 与 Y 无关; K 2 ? 3.841 时,X
与 Y 有 95%可能性有关; K ? 6.635 时 X 与 Y 有 99%
2

可能性有关.

-4-


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