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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题9第二讲 数形结合思想


随堂讲义
专题九 思想方法专题 第二讲 数形结合思想

数形结合作为一种重要的数学思想方法,已经渗透 到数学的每个模块中,在高考试题中,大部分问题都可以 用到这种思想方法.无论是选择题、填空题还是解答题, 都可以用数形结合的思想去分析、思考,寻找解答途径. 预测2016年高考中,仍然会沿用以往的命题思路,借 助各种函数的图象和方程的曲线为载体,考查数形结合的 思想方法,在考题形式上,不但有小题,还会有解答题, 在考查的数量上,会有多个小题考查数形结合的思想方 法.

例 1

(1)已知:函数 f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1); )

②当 x∈[-1,1]时,f(x)= x2.则方程 f(x)=lg x 解的个数是( A. 5 个 B. 7 个 C.9 个 D.10 个

4 (2)设有函数 f(x)=a+ -x2-4x和 g(x)= x+1,已知 x∈[-4, 3 0]时恒有 f(x)≤g(x),求实数 a 的取值范围.

思路点拨:(1)在同一坐标系中画出 y=f(x)和 y=lg x 的图象,由 它们交点个数判断方程的解的个数. 4 (2)先将不等式 f(x)≤g(x)转化为 -x -4x≤ x+1-a,然后在 3
2

4 同一坐标系中分别作出函数 y= -x -4x和 y= x+1-a 的图象, 3
2

4 移动 y= x+1-a 的图象使其满足条件, 数形结合得要满足的数量关 3 系.

解析: (1)由题意可知, f(x)是以 2 为周期, 值域为[0, 1]的函数. 又 f(x)=lg x,则 x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个 数. 由图象可知共 9 个交点,故选 C.

4 (2)f(x)≤g(x),即 a+ -x2-4x≤ x+1, 3 4 变形得 -x -4x≤ x+1-a, 3
2

令 y= -x2-4x,① 4 y= x+1-a,② 3 ①变形得(x+2)2+y2=4(y≥0),即表示以(-2,0)为圆心,2 为 半径的圆的上半圆(如图);

4 ②表示斜率为 ,纵截距为 1-a 的平行直线系(如图). 3

设与圆相切的直线为 AT,其倾斜角为 α, π 4 则有 tan α= ,0<α< , 3 2 4 3 ∴sin α= ,cos α= , 5 5

?90°+α? 1-cos(90°+α) ?=2· |OA|=2tan? = 2 sin(90°+α) ? ?

1+sin α 2· = cos α

? 4? ? 2 1+5? ? ?

3 5

=6,

要使 f(x)≤g(x)在 x∈[-4,0]时恒成立, 则②所表示的直线应在直线 AT 的上方或与它重合,故有 1- a≥6,∴a 的范围为{a|a≤-5}. 误区警示:作图时弄清 y=lg x 的图象何时超过 1,否则易造成 结果错误.

(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、 三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是 先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需 要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两 个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.

(2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特 点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置 关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题, 往往可以避免繁琐的 运算,获得简捷的解答. (3)函数的单调性与函数图象的升、降相关联,奇偶性与函数图 象的对称性相关联,最值(值域)与函数图象的最高、最低点的纵坐标 相关联.

1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是(B) A. 1 C. 3 B. 2 D. 4

解析: (数形结合法)∵a>0, ∴a2+1>1.而 y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点.

例2 小值.

x2 y2 (1)已知 x,y 满足条件 + =1,求 y-3x 的最大值与最 16 25

2 2 ? ?x +y ≤4, y+3 ? (2)已知实数 x, y 满足不等式组 求函数 z= 的值 x + 1 ? ?x≥0,

域.

思路点拨:(1)令 b=y-3x,即 y=3x+b,视 b 为直线 y=3x+ b 的截距,而直线与椭圆必有公共点,故相切时,b 有最值.
2 2 ? ?x +y ≤4, (2)此题可转化成过点 (- 1,-3)与不等式组? 表示区 ?x≥0 ?

域的点的连线的斜率的范围.

x2 解析:(1)令 y-3x=b,则 y=3x+b,原问题转化为在椭圆 + 16 y2 =1 上找一点,使过该点的直线斜率为 3,且在 y 轴上有最大截距 25 或最小截距. x2 y2 由图可知,当直线 y=3x+b 与椭圆 + =1 相切时,有最大 16 25 或最小的截距. x2 y2 将 y=3x+b 代入 + =1, 16 25

得 169x2+96bx+16b2-400=0, 令Δ=0,解得 b=± 13. 故 y-3x 的最大值为 13,最小值为-13.

(2)由解析几何知识可知,所给的不等式组表示圆 x2+y2=4 的 右半圆域(含边界),

y+ 3 z= 可改写为 y+3=z(x+1), x+1

把 z 看作参数,则此方程表示过定点 P(-1,-3),斜率为 z 的 直线系. 那么所求问题的几何意义是: 求过半圆域 x2+y2≤4(x≥0)内或边 界上任一点与过点 P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值. 由图显见,过点 P 和点 A(0,2)的直线斜率最大, 2-(-3) zmax= =5. 0-(-1)

过点 P 向半圆作切线,切线的斜率最小. 设切点为 B(a, b), 则过点 B 的切线方程为 ax+by=4.又 B 在半
2 2 ? ? a + b = 4, 圆周上,P 在切线上,则有? 又 a>0, ? ?-a-3b=4,

? ? 解得? -6- ? ?b= 5

- 2+ 3 6 a= , 5 6 ,

因此 zmin=

2 6- 3 . 3

?2 6-3 ? 综上可知函数的值域为? ,5?. 3 ? ?

y+3 误区警示:此题很容易犯的错误是由 z= 得到点(-1,-3) x+1 的坐标时,很容易写成(1,3),所以做题时要看清顺序.

如果参数、 代数式的结构蕴含着明显的几何特征, 一般考虑用数 形结合的方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有: (1)y= kx+b 中 k 表示直线的斜率, b 表示直线在 y 轴上的截距.

b-n (2) 表示坐标平面上两点(a,b),(m, n)连线的斜率. a-m (3) (a-m)2+(b-n)2表示坐标平面上两点(a,b),(m,n) 之间的距离. (4)导函数 f′(x0)表示曲线在点(x0,f(x0))处切线的斜率. 只要具有一定的观察能力, 再掌握常见的数与形的对应类型, 就 一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.

2.若例 2(1)中条件不变,求 5x+4y 的最大值与最小值. 解析:令 5x+4y=b. x2 y2 原问题转化为: 在椭圆 + =1 上求一点, 使过该点的直线 5x 16 25 +4y=b 与之相切即可. +4y=b, ? ?5x 由? x2 y2 ?50x2-10bx+b2-400=0. ? ?16+25=1 由Δ=0,得 b=± 20 2, 故 5x+4y 的最大值为 20 2,最小值为-20 2.

例3

如图所示,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥

? π? BC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC=a,∠VDC=θ?0<θ< ?. 2? ?

(1)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; (2)当角 θ 变化时, 求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围.

思路点拨:以 CA,CB,CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直线坐标系,用空间向量的坐标运算来证明面面垂直, 及将线面角正弦值表示角 θ 的函数;再利用函数思想求解.

解析:(1)以 CA,CB,CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直线坐标系.则 C(0,0,0),A(a,0,0),
?a a ? ? B(0,a,0),D 2,2,0?, ? ? ? ? 2 V?0,0, atan θ ?. 2 ? ? ?a a ? 2 → 于是,VD=? , ,- atan θ?, 2 ?2 2 ? ?a a ? → → ? ?,AB=(-a,a,0). , , 0 CD= 2 2 ? ?

→ ·CD → 从而AB
?a a ? 1 1 ? , ,0?=- a2+ a2+0=0, =(-a,a,0)· 2 2 ?2 2 ?

即 AB⊥CD. → ·VD → 同理AB
?a a ? 2 ? , ,- atan θ? =(-a,a,0)· 2 ?2 2 ?

1 2 1 2 =- a + a +0=0, 2 2 即 AB⊥VD.又 CD∩VD=D, ∴AB⊥平面 VCD. 又 AB?平面 VAB. ∴平面 VAB⊥平面 VCD.

(2)设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 φ,平面 VAB 的一个法 向量为 n=(x,y, z), → =0, ?n· AB 则? 得 → VD=0 ?n· -ax+ay=0, ? ? ?a a 2 x + y - ? ?2 2 2 aztan

θ=0.

? 2 ? ? ? 可取 n=?1,1, ?, tan θ ? ?

→ =(0,-a,0), 又∵BC

→| |n· BC → 〉|= 于是 sin φ=|cos〈 n, BC = → |n|· |BC| a a 2 2+ 2 tan θ 2 = |sin θ|. 2

π ∵0<θ< , 2 ∴0<sin θ<1,0<sin φ< π π 又∵0≤φ≤ ,∴0<φ< . 2 4
? π? 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为?0, ?. 4? ?

2 . 2

(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所 成的角、 线面角、 二面角, 位置关系中的平行、 垂直及点的空间位置. 其 一般思路是:尽量建立空间直角坐标系,将要证、要求的问题转化为 坐标运算. (2)求解解析几何问题时,往往将题目所给信息先转换成几何图 形性质, 再结合该类图形的几何性质, 将条件信息和结论信息结合在 一起,观察图形特征,为代数法求解找到突破口.

3.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m.

(1)试确定 m,使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2; (2)在线段 A1C1 上是否存在一定点 Q,使得对任意的 m,D1Q 在 平面 APD1 上的射影垂直于 AP.并证明你的结论.

解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0, 0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). → =(-1,-1,0), 所以BD → =(0,0,1), BB 1 → =(-1,1,m), AP → =(-1,1,0). AC → ·BD → =0,AC → ·BB → =0,知AC → 为平面 BB D D 的一个 又由AC 1 1 1 法向量.

设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ,则 → ·AC → ?π ? AP 2 ? ? sin θ=cos -θ = = . → |·|AC →| ?2 ? |AP 2· 2+m2 2 3 2 依题意有 = , 2 2· 2+m2 1+(3 2) 1 解得 m= . 3 1 故当 m= 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2. 3

(2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q, 设此点的横坐标为 x, 则 Q(x, → 1-x,1), D 1Q=(x,1-x,0). 依题意, 对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP, 等价于 1 → → D1Q⊥AP?AP·D1Q=0?-x+(1-x)=0?x= . 2 即 Q 为 A1C1 的中点时,满足题设要求.

1.数形结合是解决许多数学问题的重要方法,它可以将抽象数 学问题具体化、准确化、形象化.我们用好数形结合可以使我们更深 入准确的理解数学问题. 2.数形结合主要应用于:函数、三角、集合、立体几何、解析 几何、向量、不等式等. 3.是否选择应用数形结合的原则是:是否有利于解决问题,用 最简单的办法解决问题为最终目的.


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