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高中数学课件 圆与圆的位置关系


4.2.2 圆与圆的位置关系

1.理解圆与圆的五种位置关系. 2.会利用两点间的距离公式求两圆的圆心距. 3.会用连心线的长判断两圆的位置关系.

圆与圆的位置关系 设两圆C1,C2的半径分别为R和r,圆心距为d,则两圆的位置关系

如下表,请完成下表:
位置关系 外离 图示 d与R,r的关系 d>R+r ______

外切

d=R+r ______

位置关系
相交

图示

d与R,r的关系
|R-r|<d<R+r ____________

内切

d=|R-r| ________

内含

d<|R-r| ________

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)如果两个圆无公共点,那么这两个圆外离.( (2)两圆方程联立,若有两个解,则两圆相交.( ) ) )

(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含.( (4)若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切.( )

提示:(1)错误.两个圆无公共点说明两圆有可能外离,也有可

能内含,故此说法是错误的.
(2)正确.这是代数法判定两圆的位置关系的方法.

(3)正确.根据两圆内含的定义知,此说法正确.
(4)错误.两圆有且只有一个公共点,则两圆不一定外切,还有 可能内切,故此说法是错误的. 答案:(1)〓 (2)√ (3)√ (4)〓

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)若两圆的半径R,r分别为5和2,圆心距d为3,则两圆的位置 关系是 .

(2)已知☉O1与☉O2的方程分别为(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2= r2(r>1),若两圆相交,则r的取值范围是 .

(3)若圆O1:x2+y2=4与圆O2:(x-a)2+y2=1外切,则a=______.

【解析】(1)因为R=5,r=2,d=3, 所以d=R-r, 所以两圆内切. 答案:内切 (2)因为圆心距d=|O1O2|=2,且两圆相交, 所以r-1<d<r+1,即r-1<2<r+1, 所以1<r<3. 答案:1<r<3

(3)因为d=|O1O2|= a 2 ? 02 =|a|,

所以|a|=2+1=3,
所以a=〒3.

答案:〒3

一、两圆的位置关系 探究1:观察下列圆与圆之间的位置关系,思考下列问题.

(1)圆与圆的位置关系有哪几种?
提示:两个大小不等的圆,其位置关系有外离、外切、相交、

内切、内含五种情况.
(2)影响圆与圆的位置关系的数量因素是什么? 提示:两圆的半径和与差与圆心距之间的大小关系.

探究2:我们知道判断直线与圆的位置关系有几何法和代数法, 类比直线与圆的位置关系的判断,思考下列问题. (1)用代数法判断圆与圆的位置关系,结合下表填空.

方程组解的个数
两圆公共点个数

2组

1组

0组

两圆的位置关系

提示: 方程组解的个数 两圆公共点个数 两圆的位置关系 2组 2个 相交 1组 1个 内切或外切 0组 0个 内含或外离

(2)结合上表分析,“若两圆的方程组成的方程组无解,则两 圆外离”,这种说法对吗?请说明理由. 提示:这种说法不正确,因为两圆的方 探究提示:注意两 程组成的方程组无解,说明两圆无公共 圆无公共点分外离 点,两圆无公共点有外离、内含两种情 和内含两种情况. 况,不能说两圆一定外离.

【探究提升】判断圆与圆位置关系的两点说明 (1)利用代数法判断两圆的位置关系时,由Δ=0得两圆相切,由 Δ<0得两圆相离,但是无法区分内切或外切,内含或外离. (2)采用几何法判断圆与圆的位置关系,需比较两圆半径的和、 两圆半径差的绝对值和两圆圆心距的大小关系,因此必须正确

求出两圆的圆心坐标和半径.

二、两圆相交 观察奥运五环图案,思考并探究下面的问题:

探究1:若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+

F2=0相交,M(x0,y0)为一个交点,则点M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+
(E1-E2)y+F1-F2=0上吗? 提示:在.因为M(x0,y0)为C1与C2的交点, 所以M(x0,y0)在圆C1,C2上,
2 2 2 2 所以 x 0 ? y0 ? D1x 0 ? E1y0 ? F1 ? 0, x 0 ? y0 ? D2 x 0 ? E2 y0 ? F2 ? 0,

两式相减得(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0, 所以M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上.

探究2:将两个相交的圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相 减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢? 提示:两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点.经过相 交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.

探究3:若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y +F2=0相切,则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示的直线是什 么?若两圆相离呢? 提示:当圆C1,C2外切时,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0就是 两圆的内公切线;当圆C1,C2内切时,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+ F1-F2=0就是两圆的公切线;当圆C1,C2相离时,方程(D1-D2)x+ (E1-E2)y+F1-F2=0表示一条与两圆连心线垂直的直线.

【拓展延伸】过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系的方程

方程①:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,其中λ为
任意实数.

(1)当两圆C1,C2相交时,方程①表示过两圆C1,C2的交点的圆系
方程(但方程①所表示的圆不包括圆C2,圆系中的一切圆都和 C1,C2相交).

(2)当圆C1,C2相切时,方程①表示过两圆C1,C2的切点的圆系方 程(但方程①所表示的圆不包括圆C2,圆系中的一切圆都和 C1,C2相切).

【探究提升】对两圆相交问题的两点说明 (1)若两圆相交,只要x2,y2的系数对应相等,两圆方程作差所得

方程即为两圆公共弦所在的直线方程.
(2)注意用两圆的方程相减求公共弦所在直线的方程必须在两

圆相交的条件下才成立.

类型 一

圆与圆位置关系的判定

通过解答下列圆与圆位置关系的题目,总结两圆位置关系 的两种判断方法. 1.若a2+b2=4,则两圆(x-a)2+y2=1与x2+(y-b)2=1的位置关系 是 .

2.已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a23=0. (1)当a为何值时,两圆外切. (2)当a=1时,试判断两圆的位置关系.

【解题指南】1.计算两圆的圆心距,判断与两圆半径的关系.

2.(1)将圆的方程化成标准方程,求出圆心、半径、圆心距.借
助两圆外切的条件列出关于a的方程.

(2)当a=1时,需计算圆心距d=|C1C2|及两圆半径r1,r2,然后通
过d与r1,r2的关系确定两圆的位置关系.

【解析】1.因为两圆的圆心分别为O1(a,0),O2(0,b).半径 r1=r2=1,所以|O1O2|= a 2 ? b2 =2=r1+r2,故两圆外切. 答案:外切

2.将两圆的方程写成标准方程为C1:(x-a)2+(y+2)2=9,
C2:(x+1)2+(y-a)2=4. 所以两圆的圆心和半径分别为C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2. (2)当a=1时,d= 2a 2 ? 6a ? 5 ? 13, 1=3,r2=2, r 因为|r2-r1|<d<r2+r1,所以两圆相交.

【互动探究】若题2条件不变,则当a为何值时,两圆内切. 【解析】当d=|r2-r1|=|2-3|=1,即2a2+6a+5=1时,两圆内切, 此时a=-2或a=-1.

【技法点拨】两圆位置关系的判断方法

提醒:仅从圆与圆的交点个数判定两圆位置关系,可能无法得

出最终结论,如有1个交点,就不能判定是内切还是外切,应再
结合图象判定.

【拓展延伸】两圆公切线的条数问题

两圆的公切线:两圆外离时,有四条公切线;外切时,有三条公
切线;相交时,有两条公切线;内切时,仅有一条公切线;内含时,

没有公切线.

【变式训练】两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是 ( A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 )

【解析】选B.圆x2+y2-8x+6y+9=0的圆心为(4,-3),半径为4. 两圆心之间的距离为5,因为|3-4|<5<3+4,所以两圆相交.

类型 二

两圆的公共弦问题

尝试完成下列题目,请归纳求两圆公共弦长及公共弦所在 直线的方程的方法. 1.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2 3 ,则 a= .

2.(2013·烟台高一检测)已知两圆C1:x2+y2-2x-6y+1=0和圆 C2:x2+y2-10x-12y+45=0.求两圆的公共弦所在直线的方程和

公共弦的长.

【解题指南】1.先求出公共弦所在的直线方程,利用圆x2+y2=4 的半径和圆心到直线的距离及半弦长求解. 2.先求两圆的公共弦所在的直线方程,然后求圆心C1到公共弦 所在直线的距离d,最后利用公共弦的长 ? 2 r12 ? d 2 即可得解.

【解析】1.两圆方程作差知公共弦所在直线方程为 y ? 1 . 如图.
a

由已知得|AC|= 3 ,|OA|=2.

因为a>0,所以|OC|= 1 =1,
a

所以a=1.

答案:1

2.设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点满足方程
? x 2 ? y 2 ? 2x ? 6y ? 1 ? 0, 组? 2 2 将两个方程相减得4x+3y-22=0, ? ? x ? y ? 10x ? 12y ? 45 ? 0, ?

即为两圆公共弦所在直线的方程.

易知圆C1的圆心(1,3),半径r=3,则点C1到直线4x+3y-22=0
的距离 d ? | 4 ? 9 ? 22 | ? 9 .
42 ? 32 5

故公共弦AB的长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 9 ? 81 ? 24 .
25 5

【技法点拨】求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的两 种方法 (1)方法一:解方程组求出两圆交点坐标,然后由两点间距离 公式求弦长,由两点坐标求公共弦所在直线方程.本方法运算 量较大,一般不常用.

(2)方法二:

【变式训练】已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相 交于A,B两点,求公共弦AB的长. 【解析】两圆方程相减得弦AB所在直线的方程为4x+2y-5=0. 圆O:x2+y2=25的圆心到直线AB的距离 d ? | ?5 | ? 5 ,
20 2

所以公共弦AB的长为|AB|= 2 r 2 ? d 2 ? 2 25 ? 5 ? 95.
4

类型 三

与两圆相切有关的问题

通过解答与两圆相切有关的问题,试总结处理两圆相切问 题的两个步骤. 1.(2013·哈尔滨高二检测)半径为6的圆与x轴相切,且与圆 x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是( A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36 )

2.求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+ 3y=0相切于点M(3,- 3 ) 的圆的方程.

【解题指南】1.已知半径,确定圆的方程的关键是确定圆心坐 标. 2.两圆外切时圆心距等于两半径之和,当直线与圆相切时圆心 到直线的距离等于圆的半径长,据此列方程组求解.

【解析】1.选D.由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36,

由题意,得 a 2 ? 9 ? 5,所以a2=16,所以a=〒4.

2.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切, 则 (a ? 1)2 ? b2 =r+1.① 又所求圆过点M(3,- 3 )的切线为直线x+ 3y=0, 故 b ? 3 ? 3. ②
a ?3

| a ? 3b | ? r. ③ 2

解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b= ?4 3 ,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+ 4 3 )2=36.

【技法点拨】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,

则必须分两圆内切、外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于

两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).

【变式训练】求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径 为1的圆的方程.

【解析】设所求圆的圆心为P(a,b), 所以 (a ? 4)2 ? (b ? 1)2 ? 1. ① (1)若两圆外切,则有 (a ? 2)2 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? 2 ? 3. ② 由①②,解得a=5,b=-1. 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.

(2)若两圆内切,则有 (a ? 2)2 ? (b ? 1) 2 ? 2 ? 1 ? 1. ③ 由①③,解得a=3,b=-1. 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 综上可知,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或 (x-3)2+(y+1)2=1.

1.圆C1:x2+y2-4x=0和C2:x2+y2+4y=0的位置关系是( A.外切 B.相离 C.内切 D.相交

)

【解析】选D.两圆化为标准方程为:圆C1:(x-2)2+y2=4, 圆C2:x2+(y+2)2=4, 所以r1=r2=2,d=|C1C2| ? 22 ? 22 ? 2 2, 因此|r2-r1|<d<r1+r2,故两圆相交.

2.圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16的公切线条数为 ( A.1 B. 2 C.3 D.4 )

【解析】选C.圆C1的圆心为C1(0,0),半径r=1,圆C2的圆心为 C2(3,4),半径R=4,则|C1C2|=5=R+r, 所以两圆外切.所以两圆有3条公切线.

3.若圆O1:x2+y2=4与圆O2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a= 【解析】两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0), r2=1,由两圆内切可得d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1,所以a=〒1. 答案:〒1

.

4.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直 线AB的方程是 .

【解析】两圆方程相减得公共弦AB所在直线方程为:x+3y=0. 答案:x+3y=0

5.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的 条件是 .

【解析】两圆的连心线的长为d= a 2 ? b2 , 因为两圆外离,所以d> 2 +1,所以a2+b2>3+2 2 . 答案:a2+b2>3+2 2

6.判断下列两圆的位置关系.
(1)(x+2)2+(y-2)2=1和(x-2)2+(y-5)2=16.

(2)x2+y2+6x-7=0和x2+y2+6y-27=0.

【解析】(1)根据题意得,两个圆的半径分别为r1=1和r2=4,两
2 圆的圆心距 d ? [2 ? (?2)]? (5 ? 2)2 ? 5.

d=r1+r2,所以两圆外切. (2)将圆的一般方程化为标准方程,得 (x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距
d ? (0 ? 3) 2 ? (?3 ? 0) 2 ? 3 2.

显然2< 3 2 <10,即|r1-r2|<d<r1+r2,所以两圆相交.


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