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3.1随机事件的概率


3.1.1 随机事件的概率
一、教学目标:
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现的频率的意 义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系;

二、 重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系;

(2)
教学难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题.

四、教学设想:
1、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么时 间起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等。 2、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A n

出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, n

这种摆动幅度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事 件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3、例题分析: 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1) 、 (4) 、 (6)是必然事件;事件(2) 、 (9) 、 (10)是不可能事 件;事件(3) 、 (5) 、 ( 7) 、 (8)是随机事件. 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 10 20
1

50

100

200

500

击中靶心次数 m 击中靶心的频率

8

19

44

92

178

455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频 率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。 练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2)由表中的已知数据及公式 fn(A)= 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

nA 即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常 n

数 0.518 上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 4、 课堂小结: 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义 是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用 这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 5、自我评价与课堂练习: 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0,1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对

3.1.2 概率的意义
一、教学目标:
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现的频率的意 义; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.

二、 重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系; (2)
教学难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题.

三、教学设想:
1、创设情境: (1)必然事件: (2)不可能事件: (3)确定事件: (4)随机事件: (5)频 数与频率: (6)频率与概率的区别与联系: 2、基本概念: (7)似然法与极大似然法:
2

3、例题分析: 例 1 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶, 试计算此人中靶的概率, 假设此人射击 1 次, 试问中靶的概率约为多大? 中 10 环的概率约为多大? 分析: 中靶的频数为 9, 试验次数为 10, 所以靶的频率为

9 =0.9, 所以中靶的概率约为 0.9. 10

解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 例 2 如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意 1000

义解释。 分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是 随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也 可能有一张、两张乃至多张中奖。 例 3 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其 公平性。 分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球 权的概率是 0.5。 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何 一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 4、 课堂小结: 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义 是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用 这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 5、自我评价与课堂练习: 1.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。

每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率

2 2

5 4

10 9

70 60

130 116

700 282

1500 639

2000 1339

3000 2715

(1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 2.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。

投篮次数 进球次数 m 进球频率
m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 3.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点 雨都没下,天气预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗?

3

6、评价标准: 1 . 解 : ( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为 1,0.8,0.9, 0.857,0 .892,0 .910,0.913,0.8 93,0.903,0.905.(2)该油菜子发芽的概率约为 0.897。 2.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述频 率接近 0.80,因此,进球的概率约为 0.80。 3.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发 生的概率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有 下雨”并不说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的。

3.1.3 概率的基本性质(第三课时)
一、教学目标:
(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念; (2)概率的基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2) 当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

二、重点与难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。 三、教学设计:
1、 创设情境: (1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С {2,3,4,5}等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现 1 点},C2={出现 2 点},C3={出现 1 点或 2 点},C4={出现的点数为偶数}?? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗? 2、 基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事 件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、 例题分析: 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是 指不可能同时发生的两事件, 而对立事件是建立在互斥事件的基础上, 两个事件中一个不发 生,另一个必发生。 解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) ,B 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至少 一个发生). 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点” ,B 为“出现偶数点” ,已知 P(A)=

1 1 ,P(B)= ,求出“出现奇数点或偶数点” . 2 2

分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加 法公式求解. 解: 记 “出现奇数点或偶数点” 为事件 C,则 C=A∪B,因为 A、 B 是互斥事件, 所以 P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 + =1 2 2
4

答:出现奇数点或偶数点的概率为 1 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率 是

1 1 ,取到方块(事件 B)的概率是 ,问: 4 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求 解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 解: (1)P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 (2)P(D)=1—P(C)= 2 2

例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率 为

1 5 5 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得 3 12 12

到黄球、得到绿球的概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球” 、 “摸到黑球” 、 “摸到黄球” 、 “摸到绿球”为 A、

5 5 ; P(C ∪ D)=P(C)+P(D)= ; P(B ∪ C ∪ 12 12 1 1 1 2 1 D)=1-P(A)=1- = ,解的 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 3 3 6 4 4 1 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4
B 、 C 、 D , 则 有 P(B ∪ C)=P(B)+P(C)= 4、课堂小结: 5、自我评价与课堂练习: 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数,判 断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2. 抛掷一粒骰子, 观察掷出的点数, 设事件 A 为出现奇数, 事件 B 为出现 2 点, 已知 P (A) =

1 1 ,P(B)= ,求出现奇数点或 2 点的概率之和。 2 6

3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。 4.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都是 黑子的概率是

1 12 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色 7 35

的概率是多少?

5


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