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2012届高三数学一轮复习:数列练习题1


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第6章
一、选择题

第1节

1.(2010· 重庆文,2)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( A.5 C.8 [答案] A [解析] 由等差中项知 2a5=a1+a9=10,所以 a5=5,故选 A. 2

.(文)若数列{an}的前 n 项和公式为 Sn=log3(n+1),则 a5 等于( A.log56 C.log36 [答案] B 6 [解析] a5=S5-S4=log36-log35=log35. 6 B.log35 D.log35 ) B.6 D.10

)

(理)(2010· 常德市检测)已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 Sn=2n-1(n∈N*),则数列{an2} 的前 n 项的和为( A.4n-1 4 C.3(4n-1) [答案] B [解析] n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1, 又 a1=S1=21-1=1 也满足,∴an=2n-1(n∈N*). 设 bn=an2,则 bn=(2n-1)2=4n-1, 1×? 4n-1? 1 ∴数列{bn}是首项 b1=1,公比为 4 的等比数列,故{bn}的前 n 项和 Tn= =3(4n- 4-1 1). na 3.(2009· 广东湛江模拟)已知数列{an}的通项 an= (a,b,c∈(0,+∞)),则 an 与 an+1 nb+c 的大小关系是( A.an>an+1 C.an=an+1 [答案] B
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) 1 B.3(4n-1) D.(2n-1)2

) B.an<an+1 D.不能确定

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[解析] an=

na a = c, nb+c b+n

c ∵y=n是单调减函数, a ∴an= c 为递增数列, b+n 因此 an<an+1,故选 B. 4.设 an=-3n2+8n-1,则数列{an}中的最大项的值是( 13 A. 3 C.3 [答案] B 4 13 [解析] ∵an=-3(n-3)2+ 3 ,且 n∈Z,∴当 n=1 时,an 取最大值,即最大值为 a1=4. 5.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+1,则{an}的通项公式为( A.an=2n-1 B.an=2n+1
?4 n=1 ? C.an=? ? ?2n-1 n≥2 ?4 n=1 ? D.an=? ? ?2n+1 n≥2

)

B.4 16 D. 3

)

[答案] D [解析] a1=S1=4,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1,
? n=1 ?4 ∴an=? . ? ?2n+1 n≥2

f? 2? f? 4? f? 6? f? 2010? 6.如果 f(a+b)=f(a)· f(b)(a,b∈R)且 f (1)=2,则f? 1? +f? 3? +f? 5? +…+f? 2009? 等于( A.2007 C.2008 [答案] D [解析] 令 a=n,b=1,f(n+1)=f(n)· f(1), B.2009 D.2010

)

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f? n+1? ∴ f? n? =f(1)=2, f? 2? f? 2010? ∴f? 1? +…+f? 2009? =2×1005=2010. 1 7.(2010· 山东济南)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-an,记数列{an}的前 n 项之积为 Πn, 则 Π2010 的值为( 1 A.-2 1 C.2 [答案] D [解析] 1 ∵an+2=1- =1- an+1 an 1 1 1 1 =1-an-1=1-an,an+3=1-an+2=1- 1 1-an 1-an 1 ) B.-1 D.1

=1-(1-an)=an, 1 1 1 ∴{an}是周期为 3 的周期数列,又 a1=2,a2=1-2=2,a3= =-1,从而 Π3=-1, 1-a1 ∴Π2010=(-1)670=1,故选 D. 8. 湖北)设 x∈R, (09· 记不超过 x 的最大整数为[x], 令{x}=x-[x], ? 则 ( )
? 5+1? ? 5+1? 5+1 ?, ? 2 ?, 2 ? ? 2 ? ?

A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 [答案] B [解析] ∵? ∴?

? 5+1? ?=1, ? 2 ?

? 5+1? 5+1 5-1 ?= 2 -1= 2 . ? 2 ?

一方面:

5-1 5+1 2 + 2 = 5≠1×2,

∴不成等差数列. 另一方面: 5+1 5-1 5-1 2 × 2 = 4 =1=12,

∴三者成等比数列.

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故选 B. 9.(文)将数列{3n-1}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则 第 100 组中的第一个数是( A.34950 C.35010 [答案] A [解析] 在按“第 n 组有 n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以 1 为首项,公差为 ? 1+99? 99 1 的等差数列, 99 组数的个数共有 前 =4950 个, 故第 100 组中的第 1 个数是 34950, 2 选 A. (理)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 行 1 1 1 1 1 1 有 n 个数且两端的数均为n(n≥2), 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 1=2+2, =3+ 如 2 1 1 1 1 6,3=4+12,…,则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为( 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 6 3 1 1 1 1 4 12 12 4 1 1 1 1 1 5 20 30 20 5 … 1 A.1260 1 B.840 ) )

B.35000 D.35050

1 1 C.504 D.360 [答案] B 1 1 1 [解析] 设第 n 行第 m 个数为 a(n,m),则由题意知 a(7,1)=7,a(8,1)=8,a(9,1)=9,a(10,1) 1 =10, 1 1 1 故 a(10,2)=a(9,1)-a(10,1)=9-10=90;

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1 1 1 a(8,2)=a(7,1)-a(8,1)=7-8=56; 1 a(9,2)=a(8,1)-a(9,1)=72; 1 a(10,3)=a(9,2)-a(10,2)=360; 1 a(9,3)=a(8,2)-a(9,2)=252; 1 a(10,4)=a(9,3)-a(10,3)=840. [点评] 依据“莱布尼兹调和三角形”的规则可知 a(n,m)=a(n+1,m)+a(n+1,m+1). 10.(2010· 鞍山市检测)函数 f(x)满足:当 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2),且对任意正数 x,y 都有 f(xy) =f(x)+f(y),若数列{an}满足 f(an+1)-f(a n)=f(3),n∈N+,a3=27,则 a1 的值为( A.1 C.6 [答案] B [解析] 当 x=y=1 时,f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0, 1 1 ∴f(x· )=f(x)+f(x ) x 1 即 f(x )=-f(x), an+1 1 x ∴对任意正数 x、 都有 f(x)-f(y)=f(x)+f(y)=f(y), y ∴由 f(an+1)-f(an)=f(3)得 f( an )=f(3), ∵函数 f(x)满足,当 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2), an+1 ∴ an =3, ∵a3=27,∴a1=3. 二、填空题 11.(2010· 金华十校)数列{an}满足:log2an+1=1+log2an,若 a3=10,则 a8=________. [答案] 320 [解析] 由 log2an+1=1+log2an 得, an+1 an =2,∴{an}是等比数列,∴a8=a3×25=320. 12.(2010· 安师大附中)观察下图: 1 2 3 4
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)

B.3 D.9

(x>0),

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3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …… 则第________行的各数之和等于 20092. [答案] 1005 [解析] 通过观察题图可发现规律:第 n 行的第一个数为 n,且第 n 行共有 2n-1 个连续的 ? 2n-1? ? 2n-2? 正整数,故有(2n-1)n+ ×1=(2n-1)2=20092,∴n=1005. 2 13.已知 an=n 的各项排列成如图的三角形状: 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(21,12)=________. a1 a2 a5 a3 a4 a6 a7 a8 a9

………………………… [答案] 412 [解析] 由题意知第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,……第 n 行有 2n-1 个数,故前 n 行 有 Sn= n[1+? 2n-1? ] =n2 个数,因此前 20 行共有 S20=400 个数,故第 21 行的第一个数 2

为 401,第 12 个数为 412,即 A(21,12)=412. 14.已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则数列{an}的通项公式 an= ________. [答案] n2-2n+21 [解析] ∵an+1-an=2n-1, ∴a2-a1=1,a3-a2=3,…, an-an-1=2n-3, n≥2. ∴an-a1=1+3+5+…+(2n-3) ? n-1? ? 2n-2? = =(n-1)2. 2 ∴an=20+(n-1)2=n2-2n+21. 三、解答题 15.(文)已知等差数列{an}中,d>0,a3a7=-16,a2+a8=0,设 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
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求: (1){an}的通项公式 an; (2)求 Tn. [解析] (1)设{an}的公差为 d,则
?? a1+2d? ? a1+6d? =-16 ? ? , ? ?a1+d+a1+7d=0 ? ?a1+8da1+12d2=-16 ∴? , ?a1=-4d ? ? ? ?a1=-8 ?a1=8 解得? 或? (舍去) ? ? ?d=2 ?d=-2

∴an=2n-10. (2)当 1≤n≤5 时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an) -8+2n-10 =- · n=9n-n2. 2 当 n≥6 时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+a5)+a6+a7+…+an =-2(a1+a2+…+a5)+a1+a2+…+an -? 8+0? ×5 -8+? 2n-10? =-2× + · n 2 2 =n2-9n+40.
? ? 1≤n≤5? ?9n-n2 综上,Tn=? ? ?n2-9n+40 ? n≥6?

.

(理)(2010· 湖北黄冈)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1· 3n-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前

?an? n 项和 Sn=log3 9n (n∈N*). ? ?
(1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{|bn|}的前 n 项和. [解析] (1)log3an=log3(an-1· 3n-1) =log3an-1+(n-1),

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∴log3an-log3a1=(log3a2-log3a1)+(log3a3-log3a2)+…+(log3an-log3an-1) n? n-1? =1+2+…+(n-1)= , 2 n? n-1? ∴log3an= , 2

?an? n2-5n ∴Sn=log3 9n = 2 (n∈N)* ? ?
∴b1=S1=-2,当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n-3, ∴数列{bn}的通项公式 bn=n-3(n∈N*). (2)设数列{|bn|}的前 n 项和为 Tn, 5n-n2 当 bn=n-3≤0 即 n≤3 时,Tn=-Sn= 2 ; n2-5n+12 当 n>3 时,Tn=Sn-2S3= . 2

?5n-n2 ? 2 ∴Tn=? n2-5n+12 ? 2 ?
1,2,3,…).

n≤3 . n>3

16.(2010· 北京东城区)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1) (n=

(1)求证:数列{an}为等差数列,并写出 an 关于 n 的表达式; 1 100 (2)若数列{ }前 n 项和为 Tn,问满足 Tn>209的最小正整数 n 是多少? anan+1 [解析] (1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =nan-(n-1)an-1-2(n-1), 得 an-an-1= 2(n=2,3,4,…). ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公差的等差数列 。 ∴an=2n-1. 1 1 1 (2)Tn=a1a2+a2a3+…+ an-1an 1 1 1 1 =1×3+3×5+5×7+…+ ? 2n-1? ? 2n+1? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? n =2[(1-3)+(3-5)+(5-7+…+( - )]=2 1-2n+1 = 2n-1 2n+1 ? ? 2n+1 n 100 100 100 由 Tn= >209得 n> 9 ,满足 Tn>209的最小正整数为 12. 2n+1

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17.(文)已知数列{an}和{bn}满足 a1=m,an+1=λan+n, 2n 4 bn=an- 3 +9. (1)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 λ,数列{an}一定不是等差数列. 1 (2)当 λ=-2时,试判断数列{bn}是否为等比数列. [解析] (1)证明:当 m=1 时,a1=1,a2=λ+1,a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2. 假设数列{an}是等差数列, 由 a1+a3=2a2 得,λ2+λ +3=2(λ+1), 即 λ2-λ+1=0,Δ=-3<0,∴方程无实根. 故对于任意的实数 λ,数列{an}一定不是等差数列. 1 1 2n 4 (2)当 λ=-2时,an+1=-2an+n,bn=an- 3 +9. 2? n+1? 4 bn+1=an+1- +9 3

? 1 ? 2? n+1? +4 = -2an+n - 3 9 ? ?
1 n 2 =-2an+3-9 2n 4? 1? 1 =-2 an- 3 +9 =-2 bn. ? ? 2 4 2 又 b1=m-3+9=m-9, 2 2 1 ∴当 m≠9时,数列{bn}是以 m-9为首项,-2为公比的等比数列; 2 当 m=9时,数列{bn}不是等比数列. (理)(2010· 重庆中学)设数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,已知 4Sn=an2+2an+1(n ∈N*). (1)证明{an}是等差数列,并求 an; 1 1 2 (2)设 m、k、p∈N*,m+p=2k,求证:Sm+Sp≥Sk; (3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的 结论,如果不成立,请说明理由. [解析] (1)∵4Sn=an2+2an+1, ∴4Sn-1=an-12+2an-1+1(n≥2).

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两式相减得 4an=an2-an-12+2an-2an- 1. 整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an+an-1≠0,∴an-an-1=2(常数). ∴{an}是以 2 为公差的等差数列. 又 4S1=a12+2a1+1,即 a12-2a1+1=0,解得 a1=1, ∴an=1+(n-1)×2=2n -1. n? 1+2n-1? (2)由(1)知 Sn= =n2,∴Sm=m2,Sp=p2,Sk=k2. 2 1 1 2 1 1 2 k2? m2+p2? -2m2p2 由Sm+Sp-Sk=m2+p2-k2= m2p2k2 m+p 2mp-2m2p2 2 ? 2· mp· 2mp-2m2p2 ≥ ≥ =0, m2p2k2 m2p2k2 ? 1 1 2 即Sm+Sp≥Sk. (3 )结论成立,证明如下: 设等差 数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 Sn=na1+ n? n-1? n? a1+an? d= , 2 2

m? m-1? p? p-1? ∵Sm+Sp-2Sk=ma1+ d+pa1+ d-[2ka1+k(k-1)d] 2 2 m2+p2-? m+p? =(m+p)a1+ d-[2ka1+(k2-k)d], 2 把 m+p=2k 代入上式化简得 ? m-p? 2d Sm+Sp-2Sk= ≥0, 4 ∴Sm+Sp≥2Sk. mp? a1+am? ? a1+ap? 又 Sm· Sp= 4 mp[a12+a1? am+ap? +am· ap] = 4 am+ap ?m+p?2[a12+2a1· ak+? 2 ? 2 ? 2] ? 4



k2? a12+2a1ak+ak2? k2? a1+ak? 2 = = =Sk2, 4 4 1 1 Sm+Sp 2Sk 2 ∴Sm+Sp= SmSp ≥Sk2=Sk. 故原不等式得证.

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