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成才之路·人教A版数学选修课件2-3 1.2.1 第1课时


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第一章
计数原理

第一章

计数原理

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第一章 1.2 排列与组合
1.2.1 排列 第1课时 排 列 (一)

第一章

计数原理

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第一章

1.2

1.2.1

第1课时

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自主预习学案

第一章

1.2

1.2.1

第1课时

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正确理解排列的意义,掌握写出所有排列的方法,能用计 数原理推导排列数公式,并会用此公式计算排列数,加深对分 类讨论方法的理解,发展学生的抽象能力和逻辑思维能力.

第一章

1.2

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重点:排列的概念与排列数公式.

难点:排列数公式及排列数性质的应用.

第一章

1.2

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排列的定义
思维导航 1 .在数学竞赛颁奖仪式上,辅导教师和甲、乙两名特等 奖获得者合影留念,师生三人站成一排,(1)辅导教师在正中间 时,甲在左边和乙在左边是相同的排法吗?(2)三人任意排列有

多少种可能的排法?

第一章

1.2

1.2.1

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2.某数学合作探究小组有5名同学,在某次探究活动中有 两个数学问题,从中选取 2 名同学作交流发言,每人介绍其中 一个数学问题的探究情况与结论.其中 A、B两人和 A、C 两人 是相同的选法吗?若选取了C、D两人,C介绍探究1题,与D介

绍探究 1题是相同的排法吗?求不同的选派方案有多少个,应
怎样解决?

第一章

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新知导学
1 .一 般 地 ,从 n 个不 同元素中 , 取出 m(m≤n) 个元素 , 按照一定的顺序排成一列 __________________________ ,叫做从n个不同元素中取出m个

元素的一个排列.
2.排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素,再按顺 序排列”.其一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素有

排列顺序 有关,选取的元素不同或者 关,而且与这些元素的__________
元素相同、排列顺序不同,都是不同的排列.

第一章

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牛刀小试 1 .北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线,需要

准备多少种不同的飞机票?有多少种不同的票价?试将它们一
一列举出来.哪一个是排列问题. [ 解析 ] 上海→ 北京 将从起点站为 A 地,终点站为 B 地的飞机票记作

A→B ,则所有的飞机票列举如下:北京 → 上海
上海 →香港 香港→ 北京

北京 → 香港

香港 → 上海,共有6

种不同的飞机票,由于从北京到上海的票价与从上海到北京的 票价相同,故不同的票价有 3 种:北京 ? 上海,北京 ? 香港, 上海?香港,其中三地之间直达航线的飞机票与顺序有关,是

排列问题.
第一章 1.2 1.2.1 第1课时

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排列数公式 思维导航 3.给你1、2、3三个数字,你能写出有重复数字的三位数 多少个?你能写出无重复数字的三位数多少个?你能写出无重 复数字的两位数多少个? 4.给你n个元素,从中取出m(m≤n)个排成一列,你能求出 有多少种不同的排法吗?

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新知导学 3. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数.用符号
m n· (n-1)·…·(n-m+1) < n 时,称 An 表示.Am n =______________________.当 m______

作选排列.

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n· (n-1)· (n-2) 4 . n 个不同元素全部取出的排列数 A n n = ___________ ·…·3·2·1 叫做 n 个不同元素的全排列数, _________ 也称作 n 的阶乘, 用 1 n! __________ 表示,另外规定 0!=__________.
n! m ?n-m?! 排列数公式可用阶乘表示为 An =__________.

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牛刀小试
2.(2014·秦安县西川中学高二期中)5位同学报名参加两个 课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名 方法共有( A.10种 ) B.20种

C.25种
[答案] D [解析]

D.32种
每个同学有2种报名方式,5个同学全完成,这件

事情才算完成?按照乘法计数原理,共有25=32种报名方法.

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3 .三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,
经过 5 次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有 ( ) A.6种 C.8种 B.10种 D.16种 记另外两人为乙、丙,若甲第一次把球传给乙,

[答案] B
[解析] 则不同的传球方式有

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其中经过5次传球后,球仍回到甲手中的有5种,同理若甲 第一次把球传给丙也有 5 种不同的传球方式,共有 10 种传球方 式.

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4.用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的四位数的 个数是________个. [答案] 96 [解析] 分两步,第一步排首位共4种不同排法,第二步排

余下的三位共有 A=24种不同排法,由分步乘法计数原理得共
组成无重复数字的四位数4×24=96个.

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典例探究学案

第一章

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排列的概念
下列问题是排列问题吗?说明你的理由. (1)从 1、2、3 三个数字中,任选两个做加法,其结果有多 少种不同的可能? (2)从 1、2、3、5 四个数字中,任选两个做除法,其结果 有多少种不同的可能? (3)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位有多少种方法? 若选出 3 个座位安排 3 个客人,又有多少种方法?
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(4)从集合 M={1,2,?,9}中,任取相异的两个元素作为 x 2 y2 a、b,可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆a2+b2=1 和多少个 x2 y2 焦点在 x 轴上的双曲线a2-b2=1.

[分析]

判断是否为排列问题的关键是:选出的元素在被

安排时,是否与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否 则就不是排列问题.

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[ 解析 ]

(1) 不是; (2) 是; (3) 第一问不是,第二问是; (4)

第一问不是,第二问是. 理由是:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素 做加法时,与两元素的顺序无关,但做除法时,两元素谁作除

数,谁作被除数不一样,此时与顺序有关,故做加法不是排列
问题,做除法是排列问题.

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选座位与顺序无关,“入座”问题,与顺序有关,故选 3 个座 x2 y2 位安排三位客人是排列问题, 若方程a2+b2=1 表示焦点在 x 轴 上的椭圆,则必有 a>b,a、b 的大小一定,因此这不是排列问 x 2 y2 x 2 y2 题;在双曲线a2-b2=1 中,不管 a>b 还是 a<b,方程a2-b2=1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故这是排 列问题.

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[ 方法规律总结 ]

1. 排列定义中的“一定顺序”就是说与

位置有关.在实际问题中,要由具体问题的性质和条件来决 定.如何判断一个具体问题是不是排列问题,就看从 n个不同 元素中取出 m 个元素后,再安排这 m 个元素时是有序还是无

序,有序就是排列,无序就不是排列.
2 .判断是否为排列问题,一看取出的元素有无重复,二 看取出的元素是否必须按顺序排列.

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下列问题是排列问题吗? (1)从5个人中选取两个人去完成某项工作. (2)从5个人中选取两个人担任正、副组长. [解析] (2)是 (1)不是 甲和乙去,与乙和甲去完成这项工作是 同一种选法. 甲担任组长、乙担任副组长,与甲担任副组长、乙 担任组长是不同选法.

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排列数公式

求解下列问题:
4 2A5 + 7A 8 8 (1)计算 8 5 ; A8-A9 3 (2)解方程:A4 2x+1=140Ax .

[分析]

(1)主要用排列数公式转化为连乘积再化简计算;

(2) 由 排 列 数 公 式 先 转 化 为 关 于 x 的 方 程 , 再 由 隐 含 条 件
? ?2x+1≥4, ? * ? ?x≥3,x∈N

可解方程.

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4 2A5 + 7A 8 8 [解析] (1) 8 A8-A5 9

2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 = 8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5 8×7×6×5×?8+7? = =1. 8×7×6×5×?24-9?

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(2)根据排列数的定义,x x∈N*.

? ?2x+1≥4, 应满足? * ? ?x≥3,x∈N

解得 x≥3,

根据排列数公式,原方程化为(2x+1)· 2x· (2x-1)· (2x-2)= 140x· (x-1)· (x-2).因为 x≥3, 两边同除以 4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2). 3 即 4x -35x+69=0,解得 x=3 或 x=54(因为 x 为整数,
2

所以应舍去).所以原方程的解为 x=3.

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[ 方法规律总结 ] 面:

应用排列数公式时应注意以下几个方

(1)准确展开:应用排列数公式展开时要注意展开式的项数 要准确. (2)合理约分:若运算式是分式形式,则要先约分后计算. (3)合理组合: 运算时要结合数据特点, 应用乘法的交换律、 结合律,进行数据的组合,提公因式化简,可以提高运算的速 度和准确性.

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4 A5 + A 8 8 (1)计算 6 =________; A9-A5 9 2 3 n (2)化简 A1 + 2A + 3A +?+ n A 1 2 3 n=________; 2 2 (3)方程 3A3 x =2Ax+1+6Ax 的解为________.

5 +1 [答案] (1)27 (2)An (3)x=5 n+1-1

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4 4A4 + A 5A4 5A4 5 8 8 8 8 [解析] (1)原式= 5 . 5= 5= 4= 3A 27 4A9-A9 3×9A8 9 k k k+1 k (2)∵kAk =(k+1)Ak k-Ak=Ak+1-Ak, 2 4 3 n 1 n n 1 ∴原式=1+(A3 - A ) + (A - A ) + ? + (A - A ) = A + 3 2 4 3 n 1 n n+1
+ +

n +1 +1-A2 2=An+1-1.

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(3)分析:解决本题的关键是利用排列数公式转化为关于 x
m 的代数方程来解.特别注意 An 中 m、n∈N*,且 m≤n 这些限

制条件,及转化为方程(或不等式)中未知数的取值范围.
2 2 由 3A3 = 2A + 6A x+6x(x + x x 1 x ,得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)·

-1). ∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1). 即为 3x2-17x+10=0. 2 解得 x=5 或 x=3(舍去), ∴x=5.
第一章 1.2 1.2.1 第1课时

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[点评]

本题的处理方法,是利用排列数公式 Am n =n(n- Am n= n! m ,消掉式子中的 An ,转 ?n-m?!

1)(n-2)?(n-m+1)或

化为关于 n 的代数方程再求解.

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排列的应用

解答下列问题: (1)8 个人排成一排,共有多少种不同的排法? (2)8 个人排成两排 , 前后两排各 4 人共有多少种不同的排 法? (3)8 个人排成两排,前排 3 人,后排 5 人,共有多少种不 同的排法?

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[解析] (1)由排列的定义知共有 A8 8种不同的排法. (2)8 人排成前后两排,相当于排成一排,从中间分成两部 分,其排列数等于 8 人排成一排的排列数,也可以分步进行, 第一步:从 8 人中任选 4 人放在前排共有 A4 8种排法,第二步: 剩下的 4 人放在后排共有 A4 由分步乘法计数原理知共 4种排法,
4 8 有 A4 × A = A 8 4 8种排法. 5 8 (3)同(2)的分析可知,共有 A3 × A = A 8 5 8(种).

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[方法规律总结] 1.解决排列应用问题的步骤: (1)分清问题是否与元素的顺序有关,若与顺序有关则是排 列问题. (2)注意对元素或位置有无特殊要求. (3)借助排列数公式计算. 2. 无限制条件的排列问题, 主要根据排列数的定义及分步 乘法计数原理解决.n 人排队或 n 个元素排成若干排的问题, 可采用排成一排的方法,也可用乘法原理分步进行.

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四个人A、B、C、D坐成一排,其中A不坐排头,写出所有 的坐法.

[解析]

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用“树形图”可知,所有坐法为BACD,BADC,BCAD, BCDA , BDAC , BDCA , CABD , CADB , CBAD , CBDA , CDAB , CDBA , DACB , DABC , DBAC , DBCA , DCAB , DCBA.

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数字问题
用 1、2、3、4、5 这 5 个数字,组成没有重复数 字的三位数,其中偶数的个数为________. A.24 C.40 B.30 D.60

[答案] A [分析] 因为本题只有2个限制条件,(一)是没有重复数字 的三位数,(二)是偶数,因此解题的关键是从个位数字入手.

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[解析] 解法 1:先排个位,有 2 种排法(即排 2 或 4);再 排十位,有 4 种排法;再排百位,有 3 种排法.应用乘法原理, 得适合题意的三位数个数为 2×4×3=24.故选 A. 解法 2:由题设知 5 个数字排成无重复数字的三位数的个 数为 A3 5,这 5 个数字中奇数 3 个,偶数 2 个,所以在所得三位 2 2 3 数中,偶数占5,故其个数为5· A5=24.

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[方法规律总结]

不同数字的无重复排列是排列问题中的

一类典型问题,其常见的附加条件有:奇偶数、倍数、大小关 系等,也可以有相邻、插空问题,也可以与数列等知识相联系 等.解决这类问题的关键是搞清事件 是什么,元素 是什么,位 .. .. . 置 是什么,给出了什么样的附加条件;然后按特殊元素 (位置 ) . .... .. 的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成),按事件 .. 发生的连续过程 合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0 不 ....... 能在首位”尤其不能疏忽.

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用0、1、2、3、4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶 数________个.

[答案] 30

[解析]

2 0 在个位有 A2 4个,无零的有 2A3个.0 在十位的有

2 2×3=6 个,故共有 A2 + 2A 4 3+6=30 个.

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一条铁路线上原有 n 个车站,为适应客运需要, 新增加了 m 个车站(m>1),客运车票增加了 62 种,问原有多少 个车站?现有多少个车站?(m、n∈N*)
[解题思路探究] 第一步,审题:审条件挖掘解题信

息.由于两站之间往返车票是两张不同的车票,故铁路线上原
有 n 个 车 站 , 有 A 种 车票 ,现有 (m + n) 个车站, 故有 A 种 车 票.审结论明确解题方向.求现在和原来各有多少个车站,即 建立关于m、n的方程或方程组求解m、n.

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第二步,建联系,确定解题步骤.由客运车票增加了62种 可得A-A=62,再由m、n∈N*可求m、n的值,故解题时,先 由条件建立m、n的关系式,依据排列数公式整理化简,再利用 m、n∈N*,m>1求出m、n.

第三步,规范解答.

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[解析] 因为原有 n 个车站,所以原有客运车票 A2 n种.又 现有(n+m)个车站,所以现有客运车票 A2 n+m种.
2 由题设知:A2 n+m-A n=62 ,所以(n + m)(n+m- 1)-n(n-

31 1 31 1)=62, 所以 2mn+m -m=62, 所以 n= m -2(m-1), 所以 m
2

1 >2(m-1),所以 62>m(m-1),即 m2-m-62<0,又 m>1,所以 1+ 249 1<m< ,所以 1<m≤8,当 m=2 时,n=15.当 m=3、4、 2 5、6、7、8 时,n 均不为整数,所以 n=15,m=2.所以原有 15 个车站,现有 17 个车站.
第一章 1.2 1.2.1 第1课时

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忽视排列数公式的隐含条件致误
x-2 解不等式 Ax <6A 8 8 .

[ 错解 ]

8! 8! 由排列数公式得 <6× ,化简得 ?8-x?! ?10-x?!

x2-19x+84<0,解之得 7<x<12. ∵x∈N*,∴x=8,9,10,11.
[辨析] 在 排 列 数 公 式 A 中 , 隐 含 条 件 m≤n , m∈N* , n∈N*,错解没有考虑到x-2>0,8≥x,导致错误.
第一章 1.2 1.2.1 第1课时

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[正解] 由

x-2 Ax <6A 8 8 ,得

8! 8! <6× , ?8-x?! ?10-x?! ①

化简得 x2-19x+84<0,解之得 7<x<12,
? ?8≥x, 又? ? ?x-2>0,

∴2<x≤8, ②

由①②及 x∈N*得 x=8.

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巩固提高学案
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备选练习
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第一章

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