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浙江省杭州市经济开发区2015-2016学年度八年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版


浙江省杭州市经济开发区 2015-2016 学年度八年级数学上学期期末考试试 题
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下列“表情图”中,属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. ) D.﹣3x>﹣3y

2.若 x>y,则下列式子正确的是( A.y+1>x﹣1

B. > C.1﹣x>1﹣y<

br />
3.下列坐标系表示的点在第四象限的是( ) A. (0,﹣1) B. (1,1) C. (2,﹣1) D. (﹣1,2) 4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,ED 为 AB 垂直平分线,则∠EBC 的度数是( )

A.50° B.40° C.30° D.70° 5.下列命题: ①有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等; ②周长相等的两个三角形是全等三角形; ③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等; ④两个含 60°角的等腰三角形是全等三角形; 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.一次函数 y=kx+b(k,b,k≠0)的图象如图所示,当 y<0 时,自变量 x 的取值范围是( )

A.x<﹣2

B.x>﹣2

C.x>2 D.x<2

1

7.若正三角形的边长为 2cm,则这个正三角形的面积是( A.6 B.4 C.2 D.

)cm .

2

8.已知直角三角形的两边分别为 6 和 8,则斜边上的中线长为( A.20 B.5 C.4 D.4 或 5



9.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ABC 的腰长为 2,直角顶点 A 在直线 l:y=2x+2 上 移动,且斜边 BC∥x 轴,当△ABC 在直线 l 上移动时,BC 的中点 D 满足的函数关系式为( )

A.y=2x B.y=2x+1

C.y=2x+2﹣

D.y=2x﹣

10.如图,在△ABC 中,∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O,过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F,交 AC 于 E,过点 O 作 OD⊥BC 于 D,下列四个结论: ①∠AOB=90°+ ∠C; ②AE+BF=EF; ③当∠C=90°时,E,F 分别是 AC,BC 的中点; ④若 OD=a,CE+CF=2b,则 S△CEF=ab. 其中正确的是( )

A.①② B.③④ C.①②④

D.①③④

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11.已知点 A(m,3)与点 B(2,n)关于 y 轴对称,则 m= 12.“若 a>0,b>0,则 ab>0”的逆命题是 “真”或“假”)

,n=

. 命题(填

,该逆命题是一个

13.已知关于 x 的一元一次方程 4x+m﹣1=3m+1 的解是负数,则 m 的取值范围是



2

14. 如图, 是由边长为 1 个单位长度的小正方形的网格, 在格点中找一点 C, 使△ABC 是等腰三角形, 这样的点 C 有 个.

15.在直角坐标系中,正方形 A1B1C1O1、A2B2C2C1、?、AnBnCnCn﹣1 按如图所示的方式放置,其中点 A1、 A2、A3、?、An 均在一次函数 y=kx+b 的图象上,点 C1、C2、C3、?、Cn 均在 x 轴上.若点 B1 的坐标为 (1,1) ,点 B2 的坐标为(3,2) ,则点 An 的坐标为 .

16.有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为 3m,4m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且 2 扩充时只能延长两条直角边中的一条,则扩充后等腰三角形绿地的面积为 m.

三、解答题(共 7 小题,满分 66 分)

17.解不等式组

,并把它的解集在数轴上表示出来.

18.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为 a,b,c,并且这 些三角形三边的长度为大于 1 且小于 5 的整数个单位长度. (1)用记号(a,b,c) (a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为 2, 3,3 个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形. (2) 用直尺和圆规作出三边满足 a<b<c 的三角形 (用给定的单位长度, 不写作法, 保留作图痕迹) .

19.下面是小刚解的一道题: 题目:如图,AB=CD,∠B=∠D,说明:BC=DC. 解:在△ABC 和△ADC 中,

3

∴△ABC≌△ADC,∴BC=DC 你认为小刚解法正确吗?若正确,说明理由;若不正确,请将小刚做的错误指出,并给出你认为正 确的解法.

20.某西瓜产地组织 40 辆汽车装运 A、B、C 三种西瓜共 200 吨到外地销售,按计划,40 辆汽车都 要装运,每辆汽车只能装运同一种西瓜,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题: 西瓜种类 A B C 每辆汽车运载量(吨)4 5 6 每吨西瓜获利(百元)161012 (1)设装运 A 种西瓜的车数为 x,装运 B 种西瓜的车数为 y,求 y 与 x 的函数关系式; (2)如果装运每种西瓜的车辆数都不少于 12 辆,那么车辆的安排方案有几种?哪一种方案获利最 多,最多利润是多少? 21.如图,已知函数 y=x+1 的图象与 y 轴交于点 A,一次函数 y=4x+a 的图象与 x 轴以及 y=x+1 的图 象分别交于点 C,B. (1)若点 B 的横坐标为 1,求四边形 AOCB 的面积; (2)若一次函数 y=4x+a 的图象与函数 y=x+1 的图象的交点 B 始终在第一象限,求 a 的取值范围.

22.学完第 2 章“特殊的三角形”后,老师布置了一道思考题: 如图,点 M、N 分别在正三角形 ABC 的 BC,CA 边上,且 BM=CN,AM,BN 交于点 Q. (1)判断△ABM 与△BCN 是否全等,并说明理由. (2)判断∠BQM 是否会等于 60°,并说明理由.

4

(3)若将题中的点 M,N 分别移动到 BC,CA 的延长线上,且 BM=CN,是否能得到∠BQM=60°?请说 明理由.

23.某校部分住校生放学后到学校开水房打水,每人接水 2 升,他们先同时打开两个放水龙头,后 来因故障关闭一个放水龙头,假设前后两人接水间隔时间忽略不计,且不发生泼洒,锅炉内的余水 量 m(升)与接水时间 t(分)的函数关系图象如图所示,请结合图象,回答下列问题: (1)请直接写出 m 与 t 之间的函数关系式: . (2)前 15 位同学接水结束共需要几分钟? (3)小敏说“今天我们寝室的 8 位同学去开水房连续接完水恰好用了 3 分钟.”你说可能吗?请说 明理由.

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浙江省杭州市经济开发区 2015~2016 学年度八年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下列“表情图”中,属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确; 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折 叠后可重合. 2.若 x>y,则下列式子正确的是( )

A.y+1>x﹣1 B. > C.1﹣x>1﹣y D.﹣3x>﹣3y 【考点】不等式的性质. 【分析】根据不等式的性质在不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变;不等 式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等 号的方向改变即可得出答案. 【解答】解:A.y+1>x﹣1,不一定成立,故此选项错误; B.利用不等式的性质 2,不等式两边都除以一个正数,不等号的方向不变,故此选项正确; C.首先利用不等式的性质 2,不等式两边乘以一个负数,不等号的方向改变,所以﹣x<﹣y,再利 用不等式的性质 1,可得 1﹣x>1﹣y,故此选项错误; D.利用不等式的性质 2,不等式两边乘以一个负数,不等号的方向改变,故此选项错误; 故选 B. 【点评】此题考查了不等式的性质,掌握不等式的性质是解题的关键,不等式的性质: (1)不等式 两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变; (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变; (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 3.下列坐标系表示的点在第四象限的是( ) A. (0,﹣1) B. (1,1) C. (2,﹣1) D. (﹣1,2) 【考点】点的坐标. 【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零,纵坐标小于零,可得答案. 【解答】解:A、 (0,﹣1)位于 y 轴的负半轴上,故 A 错误; B、 (1,1)位于第一象限,故 B 错误; C、 (2,﹣1)位于第四象限,故 C 正确; D、 (﹣1,2)位于第二象限,故 D 错误; 故选:C.

6

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是 解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+) ;第二象限(﹣,+) ;第三象限(﹣, ﹣) ;第四象限(+,﹣) . 4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,ED 为 AB 垂直平分线,则∠EBC 的度数是( )

A.50° B.40° C.30° D.70° 【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【分析】 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ABC, 根据线段垂直平分线性质求出 AE=BE, 推出∠ABE=∠A,即可求出答案. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠ABC=∠C= (180°﹣∠A)=70°, ∵AB 的垂直平分线 DE, ∴AE=BE, ∴∠ABE=∠A=40°, ∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=70°﹣40°=30°, 故选 C 【点评】本题考查了等腰三角形性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线性质的应用,注意:线 段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 5.下列命题: ①有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等; ②周长相等的两个三角形是全等三角形; ③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等; ④两个含 60°角的等腰三角形是全等三角形; 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题与定理. 【分析】利用全等三角形的判定、全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:①有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等,正确; ②周长相等的两个三角形是全等三角形,错误; ③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等,正确; ④两个含 60°角的等腰三角形是全等三角形,错误, 故选 B; 【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解全等三角形的判定、全等三角形的性质, 属于基础知识,难度不大.

7

6.一次函数 y=kx+b(k,b,k≠0)的图象如图所示,当 y<0 时,自变量 x 的取值范围是(



A.x<﹣2 B.x>﹣2 C.x>2 D.x<2 【考点】一次函数与一元一次不等式. 【分析】直接根据函数的图象即可得出结论. 【解答】解:∵由函数图象可知,当 x<﹣2 时,一次函数的图象在 x 轴的下方, ∴当 y<0 时,x<﹣2. 故选 A. 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式,能根据题意利用函数图象求不等式的解集是解 答此题的关键. 7.若正三角形的边长为 2cm,则这个正三角形的面积是( A.6 B.4 C.2 D. )cm .
2

【考点】等边三角形的性质. 【分析】过顶点 A 作底边的垂线,根据边角关系,利用特殊角的三角函数值,即可求得底边上的高 的长度,再由三角形的面积公式即可得出结论. 【解答】解:画出等边三角形 ABC,使得 AB=2,过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,如图,

∵△ABC 为等边三角形, ∴∠B=60°,BC=AB=2, ∴AD=AB?sin∠B=2× = ,

三角形 ABC 面积 S△ABC= ?BC?AD= ×2× = . 故选 D. 【点评】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值以及三角形的面积公式,解题的关键 是:根据边角关系,利用特殊角的三角函数值,可求出底边上的高的长度. 8.已知直角三角形的两边分别为 6 和 8,则斜边上的中线长为( A.20 B.5 C.4 D.4 或 5 【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线. 【专题】分类讨论. )

8

【分析】先根据勾股定理求得斜边的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边 上的中线,注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论. 【解答】解:①当 6 和 8 均为直角边时,斜边=10, 则斜边上的中线=5; ②当 6 为直角边,8 为斜边时, 则斜边上的中线=4. 故斜边上的中线长为:4 或 5. 故选:D. 【点评】此题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质:在直角三角形中,斜边上的 中线等于斜边的一半,正确分类讨论求出是解题关键. 9.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ABC 的腰长为 2,直角顶点 A 在直线 l:y=2x+2 上 移动,且斜边 BC∥x 轴,当△ABC 在直线 l 上移动时,BC 的中点 D 满足的函数关系式为( )

A.y=2x B.y=2x+1

C.y=2x+2﹣

D.y=2x﹣

【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据题意结合一次函数解析式得出 ED 的长,进而利用点 D 所在直线平行于 y=2x+2 所在直 线,进而求出答案. 【解答】解:如图所示:连接 AD, ∵AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴AD⊥BC, ∵BC∥x 轴, ∴AD∥y 轴, ∵y=2x+2 当 y=0,x=﹣1;当 x=0,y=2, ∴ = ,

∴ = , ∵AB=AC=2, ∴AD= ,

∴ED= , 由题意可得点 D 所在直线平行于 y=2x+2 所在直线, ∴BC 的中点 D 满足的函数关系式为:y=2(x﹣ )=2x﹣ .

9

故选:D.

【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质以及一次函数的平移等知识,正确得出 DE 的 长是解题关键. 10.如图,在△ABC 中,∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O,过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F,交 AC 于 E,过点 O 作 OD⊥BC 于 D,下列四个结论: ①∠AOB=90°+ ∠C; ②AE+BF=EF; ③当∠C=90°时,E,F 分别是 AC,BC 的中点; ④若 OD=a,CE+CF=2b,则 S△CEF=ab. 其中正确的是( )

A.①② B.③④ C.①②④ D.①③④ 【考点】角平分线的性质;平行线的性质;等腰三角形的判定与性质. 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①;根据角平分线的定义和平行线的性质判 断②;根据三角形三边关系判断③;关键角平分线的性质判断④. 【解答】解:∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O, ∴∠OBA= ∠CBA,∠OAB= ∠CAB, ∴∠AOB=180°﹣∠OBA﹣∠OAB =180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB =180°﹣ (180°﹣∠C) =90°+ ∠C,①正确; ∵EF∥AB, ∴∠FOB=∠ABO,又∠ABO=∠FBO, ∴∠FOB=∠FBO, ∴FO=FB,

10

同理 EO=EA, ∴AE+BF=EF,②正确; 当∠C=90°时,AE+BF=EF<CF+CE, ∴E,F 分别是 AC,BC 的中点,③错误; 作 OH⊥AC 于 H, ∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O, ∴点 O 在∠C 的平分线上, ∴OD=OH, ∴S△CEF= ×CF×OD 故选:C. ×CE×OH=ab,④正确.

【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义,掌握角的平分线上的点 到角的两边的距离相等是解题的关键. 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11.已知点 A(m,3)与点 B(2,n)关于 y 轴对称,则 m= ﹣2 ,n= 3 . 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】 根据关于 y 轴对称点的坐标性质得出横坐标互为相反数, 纵坐标相等, 即可得出 m, n 的值, 即可得出答案. 【解答】解:∵点 A(m,3)与点 B(2,n)关于 y 轴对称, ∴m=﹣2,n=3. 故答案为:﹣2,3. 【点评】此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称点的坐标特点,熟练掌握其性质是解题关键. 12.“若 a>0,b>0,则 ab>0”的逆命题是 ab>0,则 a>0,b>0 ,该逆命题是一个 假 命 题(填“真”或“假”) 【考点】命题与定理. 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,进而利用举反例判断命题正确性即可; 【解答】解:“若 a>0,b>0,则 ab>0”的逆命题是“若 ab>0,则 a>0,b>0”,是一个假命 题, 故答案为:ab>0,则 a>0,b>0;假. 【点评】本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另 一个命题的逆命题. 13.已知关于 x 的一元一次方程 4x+m﹣1=3m+1 的解是负数,则 m 的取值范围是 m<﹣1 . 【考点】一元一次方程的解;解一元一次不等式. 【分析】首先利用含 m 的式子表示 x,再根据解为负数可得 x<0,进而得到﹣2+m<0,再解不等式

11

即可. 【解答】解:4x+m﹣1=3m+1 4x=3m+1﹣m+1 4x=2m+2 x= , ∵关于 x 的一元一次方程 4x+m﹣1=3m+1 的解是负数, ∴ 解得:m<﹣1, 故答案为:m<﹣1. 【点评】此题主要考查了解一元一次方程和一元一次不等式,关键是能正确用含 m 的式子表示 x. 14. 如图, 是由边长为 1 个单位长度的小正方形的网格, 在格点中找一点 C, 使△ABC 是等腰三角形, 这样的点 C 有 6 个.

【考点】等腰三角形的判定;勾股定理. 【专题】网格型. 【分析】根据勾股定理计算出 AB,然后分类讨论确定 C 点位置. 【解答】解:AB= ,

以 B 为顶点,BC=BA,这样的 C 点有 3 个; 以 A 为顶点,AC=AB,这样的 C 点有 2 个; 以 C 为顶点,CA=CB,这样的点有 1 个, 所以使△ABC 的等腰三角形,这样的格点 C 的个数有 6 个. 故答案为 6.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 相等.也考查了勾股定理. 15.在直角坐标系中,正方形 A1B1C1O1、A2B2C2C1、?、AnBnCnCn﹣1 按如图所示的方式放置,其中点 A1、 A2、A3、?、An 均在一次函数 y=kx+b 的图象上,点 C1、C2、C3、?、Cn 均在 x 轴上.若点 B1 的坐标为 n﹣1 n﹣1 (1,1) ,点 B2 的坐标为(3,2) ,则点 An 的坐标为 (2 ﹣1,2 ) .

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【考点】一次函数综合题;相似三角形的判定与性质. 【专题】压轴题;规律型. 【分析】首先求得直线的解析式,分别求得 A1,A2,A3?的坐标,可以得到一定的规律,据此即可求 解. 【解答】解:∵B1 的坐标为(1,1) ,点 B2 的坐标为(3,2) , ∴正方形 A1B1C1O1 边长为 1,正方形 A2B2C2C1 边长为 2, ∴A1 的坐标是(0,1) ,A2 的坐标是: (1,2) ,

代入 y=kx+b 得



解得:



则直线的解析式是:y=x+1. ∵A1B1=1,点 B2 的坐标为(3,2) , ∴A1 的纵坐标是 1,A2 的纵坐标是 2. 2 在直线 y=x+1 中,令 x=3,则纵坐标是:3+1=4=2 ; 3 则 A4 的横坐标是:1+2+4=7,则 A4 的纵坐标是:7+1=8=2 ; n﹣1 n﹣1 据此可以得到 An 的纵坐标是:2 ,横坐标是:2 ﹣1. n﹣1 n﹣1 故点 An 的坐标为 (2 ﹣1,2 ) . n﹣1 n﹣1 故答案是: (2 ﹣1,2 ) . 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式,正确得到点的坐标的规律是解题的关键. 16.有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为 3m,4m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且 扩充时只能延长两条直角边中的一条,则扩充后等腰三角形绿地的面积为 10 或 12 或 或 m. 【考点】勾股定理的应用. 【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定,若设扩充所得的三角形是△ABD,则应分为 ①BC=CD,②AC=CD,③AD=BD,④AB=BD,⑤AD=AB,5 种情况进行讨论. 【解答】解:①如图 1:
2

13

当 BC=CD=3m 时; 由于 AC⊥BD,则 AB=AD=5m; 此时等腰三角形绿地的面积: ×6×4=12(m ) ; ②如图 2:
2

当 AC=CD=4m 时; ∵AC⊥CB, ∴AB=BD=5m, 此时等腰三角形绿地的面积: ×8×3=12(m ) ; ③图 3:
2

当 AD=BD 时,设 AD=BD=xm; Rt△ACD 中,BD=xm,CD=(x﹣3)m; 2 2 2 2 2 2 由勾股定理,得 AD =DC +CA ,即(x﹣3) +4 =x , 解得 x= ; ×4= (m ) .
2

此时等腰三角形绿地的面积: ×BD×AC= × ④如图 4,

14

延长 BC 到 D 使 BD 等于 5m, 此时 AB=BD=5m, 故 CD=2m, ?BD?AC= ×5×4=10(m ) . ⑤如图 5,
2

延长 AC 到 D 使 AD 等于 5m, 此时 AB=AD=5m, 故 BC=3m, ?BC?AD= ×5×3= (m ) .
2

故答案为:10 或 12 或 或 . 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用,解决问题的关键是根据题意正确 画出图形. 三、解答题(共 7 小题,满分 66 分)

17.解不等式组

,并把它的解集在数轴上表示出来.

【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】首先计算出两个不等式的解集,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集,然后再在数 轴上表示即可.

15

【解答】解: 由①得:x≤1, 由②得:x>﹣2, 不等式组的解集为﹣2<x≤1,



在数轴上表示为:



【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,关键是掌握在表 示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 18.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为 a,b,c,并且这 些三角形三边的长度为大于 1 且小于 5 的整数个单位长度. (1)用记号(a,b,c) (a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为 2, 3,3 个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形. (2) 用直尺和圆规作出三边满足 a<b<c 的三角形 (用给定的单位长度, 不写作法, 保留作图痕迹) .

【考点】作图—应用与设计作图;三角形三边关系. 【分析】 (1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形. (2)首先判断满足条件的三角形只有一个:a=2,b=3,c=4,再作图: ①作射线 AB,且取 AB=4; ②以点 AA 为圆心,3 为半径画弧;以点 BB 为圆心,2 为半径画弧,两弧交于点 C; ③连接 AC、BC.则△ABC 即为满足条件的三角形. 【解答】解: (1)共 9 种: (2,2,2) , (2,2,3) , (2,3,3) , (2,3,4) , (2,4,4) , (3,3,3) , (3,3,4) , (3,4,4) , (4,4,4) . (2)由(1)可知,只有(2,3,4) ,即 a=2,b=3,c=4 时满足 a<b<c. 如答图的△ABC 即为满足条件的三角形.

【点评】本题考查了三角形的三边关系,作图﹣应用与设计作图.首先要理解题意,弄清问题中对 所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图. 19.下面是小刚解的一道题: 题目:如图,AB=CD,∠B=∠D,说明:BC=DC. 解:在△ABC 和△ADC 中,

16

∴△ABC≌△ADC,∴BC=DC 你认为小刚解法正确吗?若正确,说明理由;若不正确,请将小刚做的错误指出,并给出你认为正 确的解法.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】连接 BD,利用等边对等角得到相等的角,然后利用等边对等角得到 BC=DC 即可. 【解答】解:小刚解法不正确, 连接 BD, ∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, 又∵∠ABC=∠ADC, ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB, 即∠DBC=∠BDC, ∴BC=DC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题 的关键. 20.某西瓜产地组织 40 辆汽车装运 A、B、C 三种西瓜共 200 吨到外地销售,按计划,40 辆汽车都 要装运,每辆汽车只能装运同一种西瓜,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题: 西瓜种类 A B C 每辆汽车运载量(吨)4 5 6 每吨西瓜获利(百元)161012 (1)设装运 A 种西瓜的车数为 x,装运 B 种西瓜的车数为 y,求 y 与 x 的函数关系式; (2)如果装运每种西瓜的车辆数都不少于 12 辆,那么车辆的安排方案有几种?哪一种方案获利最 多,最多利润是多少? 【考点】一次函数的应用. 【分析】 (1)先表示出装运 C 种西瓜的车数,根据装运 A、B、C 三种西瓜共 200 吨列出方程,解方 程可得; (2)先把装运 A、B、C 三种西瓜的车数用 x 表示出来,根据装运每种西瓜的车辆数都不少于 12 辆 列出不等式组确定 x 的范围,从而确定方案;根据总利润等于三种西瓜利润和列出函数关系式,结

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合自变量取值范围可确定最值. 【解答】解: (1)由题意,装运 A 种西瓜的车数为 x,装运 B 种西瓜的车数为 y,则装运 C 种西瓜的 车数为(40﹣x﹣y) , 则有:4x+5y+6(40﹣x﹣y)=200, 整理,得:y=40﹣2x; (2)由(1)知,装运 A、B、C 三种西瓜的车数分别为 x,40﹣2x,x, 由题意得 40﹣2x≥12,且 x≥12, 解得:12≤x≤14, ∵x 为整数, ∴x 的值是 12、13、14, ∴安排的方案有 3 种: ①装运 A 种西瓜 12 辆,B 种西瓜 16 辆,C 种西瓜 12 辆; ②装运 A 种西瓜 13 辆,B 种西瓜 14 辆,C 种西瓜 13 辆; ③装运 A 种西瓜 14 辆,B 种西瓜 12 辆,C 种西瓜 14 辆; 设利润为 W(百元) ,则有 W=4x×16+5(40﹣2x)×10+6x×12=2000+36x, ∵k=36>0, ∴W 随 x 的增大而增大, 当 x=14 时,即装运 A 种西瓜 14 辆,B 种西瓜 12 辆,C 种西瓜 14 辆时利润最大, 最大利润为 36×14+2000=2504(百元) . 【点评】本题主要考查一次函数的实际应用能力,根据题意找到相等关系或不等关系是关键. 21.如图,已知函数 y=x+1 的图象与 y 轴交于点 A,一次函数 y=4x+a 的图象与 x 轴以及 y=x+1 的图 象分别交于点 C,B. (1)若点 B 的横坐标为 1,求四边形 AOCB 的面积; (2)若一次函数 y=4x+a 的图象与函数 y=x+1 的图象的交点 B 始终在第一象限,求 a 的取值范围.

【考点】两条直线相交或平行问题. 【分析】 (1)首先求出直线 BC 的解析式,进而得出 C 点坐标,再利用 S 出答案;

四边形 AOCB

=S△AOB+S△COB,进而得

(2)首先联立两函数解析式,进而表示得出 x=

>0,即可得出答案.

【解答】解: (1)∵点 B 的横坐标为 1,点 B 在 y=x+1 的图象上, ∴B(1,2) , 把 B(1,2)代入 y=4x+a 得:a=﹣2, ∴直线 BC 的解析式为 y=4x﹣2,

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当 y=0 时,x= , ∴C( ,0) , y=x+1,当 x=0 时,y=1, ∴A(0,1) , ∴S 四边形 AOCB=S△AOB+S△COB= + =1;

(2)联立两函数解析式为:



解得



要是两函数交点在第一象限,

∴x=

>0,

解得:a<1. 【点评】此题主要考查了两直线相交问题,正确得出直线 BC 的解析式是解题关键. 22.学完第 2 章“特殊的三角形”后,老师布置了一道思考题: 如图,点 M、N 分别在正三角形 ABC 的 BC,CA 边上,且 BM=CN,AM,BN 交于点 Q. (1)判断△ABM 与△BCN 是否全等,并说明理由. (2)判断∠BQM 是否会等于 60°,并说明理由.

(3)若将题中的点 M,N 分别移动到 BC,CA 的延长线上,且 BM=CN,是否能得到∠BQM=60°?请说 明理由.

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【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】 (1)因为 AB=BC,∠ABM=∠BCN=60°,BM=CN,利用 SAS 可以证明; ( 2 ) 根 据 两 个 三 角 形 全 等 , 对 应 角 相 等 可 得 ∠CBN=∠BAM , 则 ∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°; (3)和(1)同样的求法可得△ABM≌△BCN,然后利用三角形外角的性质求∠BQM=60°. 【解答】解: (1)全等,理由: ∵AB=BC,∠ABM=∠BCN=60°,BM=CN, ∴△ABM≌△BCN(SAS) ; (2)∵△ABM≌△BCN, ∴∠CBN=∠BAM, ∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°; (3)能得到∠BQM=60°.理由如下: 同(1)可证△ABM≌△BCN(SAS) , ∴∠M=∠N, ∵∠QAN=∠CAM,∠BQM=∠N+∠QAN,∠ACB=∠M+∠CAM, ∴∠BQM=∠ACB=60°. 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质,以及等边三角形的性质,综合利用了三角形外角的 性质,难度中等. 23.某校部分住校生放学后到学校开水房打水,每人接水 2 升,他们先同时打开两个放水龙头,后 来因故障关闭一个放水龙头,假设前后两人接水间隔时间忽略不计,且不发生泼洒,锅炉内的余水 量 m(升)与接水时间 t(分)的函数关系图象如图所示,请结合图象,回答下列问题:

(1)请直接写出 m 与 t 之间的函数关系式: m=



(2)前 15 位同学接水结束共需要几分钟? (3)小敏说“今天我们寝室的 8 位同学去开水房连续接完水恰好用了 3 分钟.”你说可能吗?请说 明理由.

【考点】一次函数的应用. 【分析】 (1)运用待定系数法分别求出 0≤t≤2 时和 t>2 时的函数解析式即可; (2)利用(1)中所求解析式,就可以求出前 15 位同学接完水后余水量,进而代入解析式求出即可; (3)设 t 分钟时 8 位同学开始连续接水,3 分钟刚好接完,根据接水量为 16 升建立方程求出其解 即可. 【解答】解: (1)设 0≤t≤2 时 m 与 t 的函数关系式为 m=k1t+b1,t>2 时,m 与 t 的函数关系式为 m=k2t+b2,由题意,得

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解得





因此 0≤t≤2 时 m 与 t 的函数关系式为 m=﹣8t+96, t>2 时,m 与 t 的函数关系式为 m=﹣4t+88.

即 m=



(2)前 15 位同学接完水后余水量为 96﹣15×2=66(升) , ∴66=﹣4t+88, ∴t=5.5. 答:前 15 位同学接水结束共需要 5.5 分钟; (3)有可能, 设 t 分钟时 8 位同学开始连续接水,3 分钟刚好接完,由题意,得 ∵0≤t≤2 时每分钟的出水量为: (96﹣80)÷2=8 升, t>2 时每分钟的出水量为: (80﹣72)÷2=4 升. 8(2﹣t)+4[3﹣(2﹣t)]=8×2, 解得:t=1. 答:1 分钟时 8 位同学开始连续接水,3 分钟刚好接完. 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,列一元一次方程解实际问题的运用, 解答时求出函数关系是关键.

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