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高中数学 立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直


8.6 立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直
一、填空题 1.若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则 l1 与 l2 的关系是________(填“垂直”“平行”). 答案 垂直 2.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分别为________. 解析 由已知得 c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故 a?c=3m+n+1=0,b?c=m+5n-9=0. ?m=-1, 解得? ?n=2. 答案 -1,2 3 5? 15? ? ? 3.已知 a=?1,- , ?,b=?-3,λ ,- ?满足 a∥b,则 λ 等于_______. 2 2? 2? ? ? 5 2 1 9 解析 由 = = ,可知 λ = . -3 λ 15 2 - 2 - 答案 9 2 3 2

4.直线 l 的方向向量为 s=(-1,1,1),平面 π 的法向量为 n=(2,x2+x,-

x),若直线 l∥平面 π ,则 x 的值为_______.
解析 线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故 x2-2=0,解得 x =± 2. 答案 ± 2 5.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,在下列四组向量中能使

l∥α 的是________(填序号).
①a=(1,0,0),n=(-2,0,0) ②a=(1,3,5),n=(1,0,1) ③a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) ④a=(1,-1,3),n=(0,3,1)

解析 若 l∥α ,则 a?n=0. 而①中 a?n=-2, ②中 a?n=1+5=6, ③中 a?n=-1,只有④选项中 a?n=-3+3=0. 答案 ④ 6.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别 → → 与AB,AC垂直,则向量 a=________. → 解析 由已知条件AB=(-2, -1,3), =(1, AC -3,2), 可观察出 a=±(1,1,1). 答案 ±(1,1,1) → → 1 7.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点, 2 → 则|MN|为________. 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D?xyz,则 A(a,0,0), →

a? ? C1(0,a,a),N?a,a, ?.
? 2? 设 M(x,y,z), → 1 ∵点 M 在 AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z), 2 2 a a ?2a a a? ∴x= a,y= ,z= .得 M? , , ?, 3 3 3 ? 3 3 3? → ∴|MN|= 答案 21 a 6 →

a? ?a a? 21 ? 2 ?2 ? ?a- a? +?a- ?2+? - ?2= a. 3? ?2 3? 6 ? 3 ? ?

8.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 ________. 解析 |a|= 22+? -1?
2

+22=3,|b|= 22+22+12=3,

a?b 4 a?b=2?2+(-1)?2+2?1=4,∴cos〈a,b〉= = , |a||b| 9
sin〈a,b〉= 答案 65 65 ,S 平行四边形=|a||b|sin〈a,b〉= 65. 9

9.如图所示 → →

,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 3 ,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴 3

PB 的中点,cos〈DP,AE〉=

建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为________. 解析 设 PD=a,则 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a), → → a? a? ? ? E?1,1, ?,∴DP=(0,0,a),AE=?-1,1, ? 2? 2? ? ? 3 a2 由 cos〈DP,AE〉= ,∴ =a 3 2 ∴E 的坐标为(1,1,1). 答案 (1,1,1) 10.已知→=(1,5,-2),→=(3,1,z),若→⊥→,→=(x-1,y,-3),且 AB BC AB BC BP BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为________. 解析 由题知:→⊥→,→⊥→. BP AB BP BC → → 3 2+ ? ,∴a=2. 4 3

a2

?AB?BC=0, 所以?→?→=0, BP AB ?→?→=0, BP BC
→ → 解得 x= 40 15 ,y=- ,z=4. 7 7

?1?3+5?1+? -2? ?z=0, 即?x-1+5y+? -2? ?? -3? =0, ?3? x-1? +y-3z=0.

答案

40 15 ,- ,4 7 7

11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、DD1 上的点,如 果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

解析 以 D1A1、D1C1、D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 CE=x,DF=y, → 则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),∴B1E=(x-1,0,1),

→ 又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴F B =(1,1,y), → 由于 A B ⊥B1E,又因为 B1E⊥平面 ABF, → → 只需 F B ?B1E=(1,1,y)?(x-1,0,1)=0? x+y=1.
答案 1 12.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.在棱 C1D1 上存在一点 F,使

B1F∥平面 A1BE,此时
答案 1

C1F =________. FD1

13.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A= 6,M 是 CC1 的中点,则 A1B 与 AM 的位置关系是________.(填“垂直”或“不垂直”) 答案 垂直 二、解答题 14.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求: (1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)夹角的余弦值. 解析 (1)因为 a∥b,所以 4 1 = = , -2 y -1

x

解得 x=2,y=-4, 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c, 所以 b?c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2,于是 c=(3,-2,2). (2)由(1)得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 设(a+c)与(b+c)夹角为 θ ,因此 cos θ = 5-12+3 2 =- . 19 38? 38

15.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AA1=2,AC =1,M,N 分别是 A1B1,BC 的中点. (1)求证:AB⊥AC1; (2)求证:MN∥平面 ACC1A1.

解析 依条件可知 AB,AC,AA1 两两垂直.如图,以点 A 为原点建立空间直角坐 标系 A-xyz.

根据条件容易求出如下各点坐标: A(0,0,0), (0,2,0), (-1,0,0), 1(0,0,2), 1(0,2,2), 1(-1,0,2), (0,1,2), B C A B C M ? 1 ? N?- ,1,0?. ? 2 ? → (1)证明:因为→=(0,2,0),AC1=(-1,0,2), AB 所以→?AC1=0?(-1)+2?0+0?2=0. AB → 所以→⊥AC1,即 AB⊥AC1. AB → ? 1 ? (2)证明:因为→=?- ,0,-2?,→=(0,2,0)是平面 ACC1A1 的一个法向量, MN AB ? 2 ?

1 → → 且MN?AB=- ?0+0?2-2?0=0, 2 → → 所以MN⊥AB. 又 MN?平面 ACC1A1, 所以 MN∥平面 ACC1A1. 16.在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE∶DE=2∶1.

(1)证明:PA⊥平面 ABCD; (2)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. 解析 (1)证明 ∵底面是菱形,∠ABC=60°,

∴AB=AD=AC=a, 在△PAB 中,由 PA2+AB2=2a2=PB2,知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD, ∴PA⊥平面 ABCD. (2)以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的

直线为 x 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设条件知,相关各点的坐标分别为 A(0,0,0),

B?

? 3 ? ? 3 ? 2 1 ? ? 1 1 a,- a,0?,C? a, a,0?,D(0,a,0),P(0,0,a),E?0,3a,3a?. 2 2 ? ? ?2 ? ?2 ?

→ → → ? 3 2 1 ? ? 1 ? 0, a, a?,A C =? a, ,0?,A P =(0,0,a), ∴A E =? 3 3
? ? ?2 2 ?

→ → ? 3 ? ? ? 1 3 1 ? a, a,-a?,B P =?- a, a,a?. PC=
?2 2 ? ? 2 2 ? 设点 F 是棱 PC 上的点,且 BF∥平面 AEC,

→ → ? 3 ? 1 P F =λ PC=? aλ , aλ ,-aλ ?,其中 0<λ <1,
?2 2 ?

→ → → ? ? ? 3 ? 3 1 1 则 B F =B P +P F =?- a, a,a?+? aλ , aλ ,-aλ ?
? 2 2 ? ?2 2 ? ? 3 =? a? ?2 λ -1? 1 , a? 2 1+λ ? ,a? ? 1-λ ? ?. ?

→ → → 令 B F =λ 1A C +λ 2A E ,得

? 23a? λ -1? = 23aλ , ?1 1 2 ?2a? λ +1? =2aλ +3aλ ?a? 1-λ ? =1aλ , ? 3
1 1 2

2



? ?1+λ =λ +4λ 3 即? ?1-λ =1λ , ? 3
λ -1=λ 1,
1 2

2



?λ =2, ? 1 解得?λ =- , 2 ?λ =3. ? 2
1
1 2

17.如图,已知 ABCD?A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1.

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; 2 (2)若点 G 在 BC 上,BG= ,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:EM⊥面 3

BCC1B1.
→ → 证明 (1)建立如图所示的坐标系, BE=(3,0,1), =(0,3,2), 1=(3,3,3). 则 BF BD →

→ → → 所以BD1=BE+BF,







故BD1、BE、BF共面. 又它们有公共点 B, 所以 E、B、F、D1 四点共面. (2)如图,设 M(0,0,z), → → 2 ? ? 则GM=?0,- ,z?,而BF=(0,3,2), 3 ? ? → → 2 由题设得GM?BF=- ?3+z?2=0,得 z=1. 3 → 因为 M(0,0,1),E(3,0,1),所以ME=(3,0,0). → → 又BB1=(0,0,3),BC=(0,3,0), → → → → 所以ME?BB1=0,ME?BC=0, 从而 ME⊥BB1,ME⊥BC. 又 BB1∩BC=B, 故 ME⊥平面 BCC1B1. 18.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,

AF=1,M 是线段 EF 的中点.
求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,

设 AC∩BD=N,连接 NE. 则点 N、E 的坐标分别为 ? 2 2 ? ? , ,0?、(0,0,1). 2 ?2 ? → ? 2 2 ? ∴NE=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、? , ,1? 2 ?2 ? → ? 2 2 ? ∴AM=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. 又∵NE? 平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. ? 2 2 ? (2)由(1)知AM=?- ,- ,1?, 2 ? 2 ? → ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1),∴DF=(0, 2,1) → → ∴AM?DF=0,∴AM⊥DF. 同理 AM⊥BF. 又 DF∩BF=F,∴AM⊥平面 BDF. →


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