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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 第49讲 圆的方程课件 理


1.若原点? 0,0 ? 在圆? x ? m ? ? ? y ? m ? ? 4的内
2 2

部,则实数m的取值范围是

  2,2)  (?

.

解析:依题意,得m2 ? m2 ? 4, 所以 ? 2 ? m ? 2.

2.已知方程x ? y ? 2kx

? 4y ? 3k ? 8 ? 0表示一个圆, ? ? 则实数k的取值范围是 (??, 1) ? (4, ?) .
2 2

解析:由? 2k ? ? 42 ? 4 ? 3k ? 8? ? 4 ? k 2 ? 3k ? 4 ? ? 0,
2

解得k ? 4或k ? ?1.

3.以原点? 0,0 ? 为圆心,且与直线x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为
解析:r ? | ?2 |

x ? y ?2
2 2

  .

12 ? 12 所求圆的方程为x 2 ? y 2 ? 2.

? 2,

4.已知两点P ? 4,9 ?,Q ? 6,3?,则以线段PQ为 直径的圆的方程为  ? 5? ? ? y ? 6? ? 10   . ?x
2 2

解析:因为PQ为直径,所以PQ的中点 M 为该圆的圆心,即M ? 5, 6 ?, 又因为 PQ ? ? 6 ? 4? ? ? 3 ? 9?
2 2

? 4 ? 36 ? 2, | PQ | 所以r ? ? 10, 2

5.已知圆心为C的圆经过A ?1,1? 和B(2, 2),且圆 ? 心在直线l:x ? y ? 1 ? 0上,则圆C的标准方程 2 2 是 ? x ? 3? ? ? y ? 2? ? 25   .

解析:设圆心坐标为(a,a ? 1), 则有 ? a ? 1? ? ? a ? 1 ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? a ? 1 ? 2 ? ,
2 2 2 2

解得a ? ?3,所以r ? 5, 故圆的方程是 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 25.
2 2

圆的标准方程
【例1】 求经过点A(0,5),且与直线x-2y=0和2x +y=0都相切的圆的方程.

【解析】由于已知条件与圆心、半径有关,故设圆 的标准方程,从而求出圆的方程. 设所求圆的方程为( x-a) 2+( y-b) 2=r 2, ?a ? 1 ?a ? 5 ?a 2+(5-b) 2=r 2 ? ? ? 则 ? a ? 2b 2a ? b ? r , 解得 ?b ? 3 或 ?b ? 15 ? ? ? ? 5 5 ? ?r ? 5 ?r ? 5 5 所以圆的方程为( x-1) 2+( y-3) 2=5或 ( x-5) 2+( y-15) 2=125.

在用待定系数法求圆的方程时,要 善于根据已知条件来选择圆的方程.如

果已知圆心、半径或圆心到直线的距离,
通常可用圆的标准方程;如果已知圆经 过某些点,通常采用圆的一般式方程.

【变式练习 】 1 一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0 上,且在直线y=x上截得的弦长为2 7, 求此圆的方程.

【解析】设圆的圆心坐标为O(a,b),半径为r. 因为圆心在直线x-3y=0上,所以a=3b. 又圆与y轴相切,所以r 2=a 2 . 所以所求圆的方程可设为( x-3b) +( y-b) =? 3b ?
2 2 2

因为圆在直线y=x上截得的弦长为2 7 所以圆心到直线y=x的距离 | 2b | d= = r 2 ? ? 7 ?2= 9b 2 ? 7 2 解得b=1或b=-1,则a=3或a=-3. 所以所求圆的方程为( x-3) 2+( y-1) 2=9 或( x+3) +( y+1) =9.
2 2

圆的一般方程

【例1】 已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只 有一个,求a的值及圆的方程.

【解析】设所求圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为点A、B在此圆上,所以E+F+1=0,① 4D+aE+F+a 2+16=0,② 又知该圆与x轴(直线y=0)相切, 所以由?=0,D -4F=0,③
2

由①、②、③消去E、F 可得: 1 (1-a) D 2+4D+a 2-a+16=0,④ 4

由题意方程④有唯一解, 当a=1时,D=-4,E=-5,F=4; 当a ? 1时,由?=0可解得a=0, 这时D=-8,E=-17,F= 16. 综上可知,所求a的值为0或1. 当a=0时,圆的方程为x 2+y 2-8x-17y+16=0; 当a=1时,圆的方程为x 2+y 2-4x-5y+4=0.

与坐标轴相切时圆的方程求解及其 参数的求解问题,方程形式选用要灵

活.如果已知圆心、半径或圆心到直线
的距离,通常可用圆的标准方程;如果 已知圆经过某些点,通常采用圆的一般 式方程.

【变式练习2】

已知方程x2 +y2 -2(m+3)x+2(1-4m2)y
+16m4+9=0表示的图形是一个圆. (1)当圆的面积最大时,求圆的方程; (2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内,求实数 m的取值范围.

【解析】1? 将方程x +y -2(m+3) x+ ?
2 2

2(1-4m 2 ) y+16m 4+9=0 化为( x-m-3) +( y+1-4m ) =
2 2 2

-7m +6m+1.
2

要使圆的面积最大,需半径最大 而r =-7m +6m+1 3 2 16 =-7( m- ) + , 7 7
2 2

它是一个一元二次函数,其图象的开口向下. 1 因为- ? m ? 1, 7 3 16 2 所以当m= 时,r 取得最大值 7 7 24 2 13 2 16 此时圆的方程为( x- ) +( y+ ) = 7 49 7

? 2 ?当且仅当3 +? 4m
2 2 2 2

2 2 4

? -6(m+3)+

2(1-4m ) ? 4m +16m +9 ? 0 3 即8m -6m ? 0,即0 ? m ? 时, 4 点P在圆内.

与圆有关的轨迹问题
【例3】 如图, O1与 ? O2的半径都是1, ? O1O2=4,过动点P分别作 ? O1、 ? O2的切线PM 、PN ( M 、N 分 别为切点),使得PM= 2 PN,试建立适当的 坐标系,求动点P的轨迹方程.

【解析】以O1O2的中点O为原点,O1O2 所在的直线为x轴,建立平面直角 坐标系,则O1 (-2, 0),O2 ? 2, 0 ?, 由已知PM= 2 PN,得PM 2=2PN 2,

因为两圆的半径均为1,
2 所以PO12-1=2( PO2-1).

设P ( x,y ), 则( x+2) 2+y 2-1=2[( x-2) 2+y 2-1], 即( x-6) 2+y 2=33, 所以所求轨迹方程为( x-6) +y =33
2 2

(或x +y -12x+3=0).
2 2

求轨迹方程的步骤通常可以简化为 (1)建系,设点;

(2)列式;
(3)化简.坐标系的选取决定着方程化简 的繁简,设点时,通常求哪个点的轨迹 方程,就假设那个点的坐标为(x , y), 同时,解题中还需区分轨迹方程与轨

迹.

【变式练习3】

已知A、B为两定点,动点M到A与到B的距
离比为常数λ,求点M的轨迹方程,并注明 轨迹是什么曲线.

【解析】建立坐标系如图所示,设 AB =2a, 则A(-a, 0),B ? a, 0 ?,设M ( x,y )是轨迹 上任意一点, | MA | 则由题设,得 =?,坐标代入, | MB | 得 ? x ? a ?2 ? y 2 ? x ? a ?2 ? y 2 =?,

化简得 (1-? 2 ) x 2+(1-? 2 ) y 2+2a(1+? 2 ) x+ (1-? 2 )a 2=0.

?1?当?=1时,即 MA = MB 时,点M的轨迹
方程是x=0,即点M 的轨迹是直线( y轴),

? 2 ?当? ? 1时,点M的轨迹方程是x +y +
2 2

2a?1 ? ? 2 ? 2a?1 ? ? 2 ? x+a 2=0点M 的轨迹是以(- , 0) 2 2 1? ? 1? ? 2a? 为圆心, 2 为半径的圆. 1? ?

与圆有关的最值问题
【例4】 已知实数x、y满足方程x 2+y 2-4x+1=0.求: y (1) 的最大值和最小值; x ? 2 ? y-x的最大值和最小值;

? 3? x +y 的最大值和最小值.
2 2

【解析】原方程化为( x-2) +y =3,它表
2 2

示圆心为? 2, 0 ?,半径为 3的圆. y ?1? 表示圆上的点( x,y)与原点连线 x 2 2 的斜率.过原点作圆( x-2) +y =3的切 线,则两切线的斜率分别是最大值和最 y 小值.通过画图可求得 的最大值为 3, x 最小值为- 3

? 2 ? 令y-x=m,
则将y=x+m代入方程x 2+y 2-4x+1=0, 并化简,得2x 2+2(m-2) x+m 2+1=0. 因为点( x,y )在圆和直线上,即上述方 程有实数解, 所以?=4(m-2) 2-8(m 2+1) =4(-m 2-4m+2) ? 0, 解得-2- 6 ? m ? -2+ 6, 所以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为 -2- 6

? 3? 过原点和圆心的直线与圆交于两点A、B,
则 OA = 3+2, =2- 3 OB 所以x 2+y 2的最大值为(2+ 3) 2=7+4 3, 最小值为(2- 3) =7-4 3
2

涉及到圆上的点(x,y)的最大值和最小值 问题,可借助于图形,了解所求量的几何意义, 用数形结合来解.
y ?b 有下列几类:① x?a

就是圆上的点(x,y)与点(a,b)的连线的斜率; ②y-x就是直线y=x+m在y轴上的截距; ③y+x是直线y=-x+m在y轴上的截距; ④(x-a)2+(y-b)2就是圆上的点(x,y)与点(a,

b)的距离的平方.

【变式练习4】 求圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0

的最近、最远距离.
【解析】由圆的方程( x-2) 2+( y+3) 2=4易知圆心坐标为 (2,-3),半径r=2.而(2,-3)到直线x-y+2=0的距离 |2?3? 2| 7 2 为 = 2 2 7 2 故圆上的点到直线的最远距离为 +2, 2 7 2 最近距离为 -2. 2

1.点P(2,-1)是圆(x-1)2+y2=25内弦AB的中 x-y-3=0 点,则直线AB的方程为______________
【解析】依题意,圆心坐标为O ?1,0 ?,所以直线AB的 1 2 ?1 斜率k=- =?1 kOP ?1 由点斜式得直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.

2.圆心在第二象限,半径为1,并且与x、y轴 都相切的圆的方程为  ? 1? ? ? y ?1? ? 1   . ?x
2 2

解析:圆心为? ?1,1?,半径为1, 圆的方程为? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1.
2 2

3.若圆C:x2 +y2 +2x-4y+1=0关于直线l: 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取 1 (-?, ] 值范围是 ______________ 4
【解析】圆C的圆心坐标为(-1, 2),则有a+b=1, a?b 2 1 所以ab ? ( )= , 2 4 1 即ab的取值范围是(-?, ] 4

4.(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线

2x-y-3=0上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三 角形OAB的外接圆的方程.

【解析】1? 设圆心C (a,b),则有 ? ? 2a ? b ? 3 ? 0 ?a ? 4 ,解得 ? ? 2 2 2 2 ?b ? 5 ?(a ? 5) ? (b ? 2) ? (a ? 5) ? (b ? 2) 所以半径r= 10, 则所求圆的方程为( x-4) 2+( y-5) 2=10.

? 2 ? 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.
?F ? 0 ? 将三个已知点的坐标代入得 ?2 D ? F ? 4 ? 0 ?4 E ? F ? 16 ? 0 ? 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y=0.

2 5.已知:以点C (t, )(t ? R,t ? 0)为圆心的圆与x轴 t 交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点. V ?1? 求证:OAB的面积为定值; ? 2 ? 设直线y=-2x+4与圆C交于点M ,N, 若OM=ON,求圆C的方程

4 【解析】 因为圆C过原点O,所以OC =t + 2 (1) t 2 2 2 4 2 设圆C的方程是( x-t ) +( y- ) =t + 2 t t 4 令x=0,得y1=0,y2= ;令y=0,得x1=0,x2=2t, t 1 1 4 所以SVOAB= OA ? OB= ?| | ? 2t =4, 2 2 t 即VOAB的面积为定值.
2 2

? 2 ?因为OM=ON,CM=CN,
所以OC的垂直平分线段为MN . 1 因为kMN=-2,所以kOC= , 2 1 所以直线OC的方程是y= x. 2 2 1 所以 = t,解得:t=2或t=-2, t 2 当t=2时,圆心C的坐标为? 2,1?,OC= 5,

1 此时C到直线y=-2x+4的距离d= ? 5, 5 圆C与直线y=-2x+4相交于两点. 当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1), OC= 5, 9 此时C到直线y=-2x+4的距离d= ? 5, 5 圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不 符合题意舍去. 所以圆C的方程为( x-2) 2+( y-1) 2=5.

1.在讨论含有字母参变量的圆方 程问题时,始终要把“方程表示圆的条

件”作为首要条件,也可以理解为“定
义域优先”的拓展.

2.圆的标准方程和一般方程都含有三

个参数,因此,要具备三个独立已知条件
才能确定一个圆.求圆的方程时,若能根 据已知条件找出圆心和半径,则可直接用 标准形式写出圆的标准方程;若已知条件 与圆心、半径关系不大,则用一般式方

便.如果通过点才方便解题或问题是求与
圆上的点有关的最值问题,可考虑用圆的 参数方程.

3.求圆的方程的方法: (1)几何法,即通过研究圆的性质,以及点和圆、

直线和圆、圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本
量(圆心、半径)和方程; (2)代数法,即用“待定系数法”求圆的方程, 其一般步骤是: ①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方

程(当然有时也可以选择参数方程);
②利用条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F的对应的值,代入圆的标

准方程或一般方程.

4.在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的 特殊几何性质,这样会使问题简单化.圆的常用几何

性质为:
(1)直径所对的圆周角为直角,这样有勾股定理,

斜率的乘积为-1可用;
(2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦,这样有 勾股定理、斜率的乘积为-1和弦的垂直平分线过圆

心,以及圆心到弦所在直线的距离公式可用;
(3)圆心和切点的连线垂直于切线,这样有圆心

到切线的距离等于半径、斜率的乘积等于-1可用.


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