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2016年立体几何高考题汇总


2016 年文科数学立体几何高考题汇总
1.(2016 北京文 11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.

2.(2016 北京文 18) (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD, AB∥DC, DC ? AC (I)求证: DC ? 平面PAC ; (II)求证: 平面PAB ? 平面PAC ; (III)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA ? 平面CEF ?说明理由.

3.(2016 天津文 17) (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1, AE= 6 ,DE=3,∠BAD=60? ,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:FG||平面 BED; (Ⅱ)求证:平面 BED⊥平面 AED; (Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.

【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 【解析】

5 6

试题分析: (Ⅰ) 证明线面平行, 一般利用线面平行判定定理, 即从线线平行出发给予证明, 而线线平行寻找与论证,往往结合平几知识,如本题构造一个平行四边形:取 BD 的中点为

O ,可证四边形 OGFE 是平行四边形,从而得出 FG // OE (Ⅱ)面面垂直的证明,一般
转化为证线面垂直,而线面垂直的证明,往往需多次利用线面垂直判定与性质定理,而线线 垂直的证明有时需要利用平几条件, 如本题可由余弦定理解出 ?ADB ? 900 , 即 BD ? AD (Ⅲ)求线面角,关键作出射影,即面的垂线,可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直, 即面的垂线: 过点 A 作 AH ? DE 于点 H , 则 AH ? 平面 BED , 从而直线 AB 与平面 BED 所成角即为 ?ABH .再结合三角形可求得正弦值 试题解析: (Ⅰ)证明:取 BD 的中点为 O ,连接 OE, OG ,在 ?BCD 中,因为 G 是 BC 的 中点,所以 OG // DC 且 OG ?

1 DC ? 1 ,又因为 EF // AB, AB // DC ,所以 EF // OG 且 2

EF ? OG

OE ? 平面 BED , , 即四边形 OGFE 是平行四边形, 所以 FG // OE , 又 FG ? 平面 BED ,
所以 FG // 平面 BED . (Ⅱ)证明:在 ?ABD 中, AD ? 1, AB ? 2, ?BAD ? 60 ,由余弦定理可 BD ? 3 ,进
0
0 而可得 ?ADB ? 90 , 即 BD ? AD , 又因为平面 AED ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ;

平面 AED ? 平面 ABCD ? AD ,所以 BD ? 平面 AED .又因为 BD ? 平面 BED ,所以平 面 BED ? 平面 AED . (Ⅲ)解:因为 EF // AB ,所以直线 EF 与平面 BED 所成角即为直线 AB 与平面 BED 所 成角.过点 A 作 AH ? DE 于点 H ,连接 BH ,又因为平面 BED ? 平面 AED ? ED ,由

(Ⅱ)知 AH ? 平面 BED ,所以直线 AB 与平面 BED 所成角即为 ?ABH .在 ?ADE 中,

AD ? 1, DE ? 3, AE ? 6 ,由余弦定理可得 cos ?ADE ?

2 5 ,所以 sin ?ADE ? ,因 3 3

此 AH ? AD ? sin ?ADE ?

5 AH 5 H B 中,sin ?ABH ? , 在 Rt ?A , 所以直线 AB ? 3 AB 6
5 6

与平面 BED 所成角的正弦值为

考点:直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直. 4.(2016 天津文 3)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正 视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为

【答案】B

【解析】 试题分析:由题意得截去的是长方体前右上方顶点,故选 B 考点:三视图 【名师点睛】 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其 直观图. 2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及 相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.

浙江卷
5.(2016 浙江文 2) 已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β, 则( A.m∥l 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意知 ? ? ? ? l ,? l ? ? , ? n ? ? ,? n ? l .故选 C. 考点:线面位置关系. 6.(2016 浙江文 18)如图,在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFE⊥平面 ABC,∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求证:BF⊥平面 ACFD; (II)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值. ) B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

7.(2016 江苏文 16)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D ? A 1F , AC 1 1 ? A 1B 1. 求证: (1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

8.(2016 全国一文 7) .如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

垂直的半径.若该几何体的体积是

28? ,则它的表面积是 3

(A)17π (B)18π (C)20π (D)28π 【答案】A 【解析】 试题分析: 由三视图知: 该几何体是

7 7 4 3 28 ? 个球, 设球的半径为 R , 则V ? ? ?R ? , 8 8 3 3

解得 R ? 2 ,所以它的表面积是

7 3 ? 4? ? 22 ? ? ? ? 22 ? 17? ,故选 A. 8 4

考点:三视图及球的表面积与体积 9. ( 2016 全 国 一 文 11 ) . 平 面 ? 过 正 文 体 ABCD—A1B1C1D1 的 顶 点 A ? //平面CB1D1 ,

? ? 平面ABCD ? m , ? ? 平面ABB1 A1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为
(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

【答案】A 【解析】

n ' ,因 试题分析:如图,设平面 CB1D1 ? 平面 ABCD = m ' ,平面 CB1D1 ? 平面 ABB1 A 1=
为 ? / / 平面 CB1D1 , 所以 m / / m ', n / / n ' , 则 m, n 所成的角等于 m ', n ' 所成的角.延长 AD ,

n' , 过 D1 作 D1E / / B1C , 连接 CE, B1D1 , 则 CE 为 m ' , 同理 B1F 而B D // C EB , F A // B 1为 1 1
则 m ', n ' 所成的角即为 A1B, BD 所成的角,即为 60 ? ,故 m, n 所成角的正弦值为 A. 考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.

1



3 ,选 2

10.(2016 全国一文 18) .如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.

P

A G

E D B C

(Ⅰ)证明 G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体 积. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)作图见解析,体积为 【解析】 试题分析: 证明 AB ? PG. 由 PA ? PB 可得 G 是 AB 的中点. (Ⅱ) 在平面 PAB 内, 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.根据 正三棱锥的侧面是 直 角 三 角 形 且 PA ? 6 , 可 得 DE ? 2, PE ? 2 2 . 在 等 腰 直 角 三 角 形 EFP 中 , 可 得

4 3

1 1 4 EF ? PF ? 2. 四面体 PDEF 的体积 V ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? . 3 2 3 试题解析: (Ⅰ)因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 AB ? PD.

因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ,所以 AB ? DE. 所以 AB ? 平面 PED ,故 AB ? PG. 又由已知可得, PA ? PB ,从而 G 是 AB 的中点. (Ⅱ)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的 正投影. 理由如下: 由已知可得 PB ? PA ,PB ? PC , 又 EF / / PB ,所以 EF ? PC ,因此 EF ? 平 面 PAC ,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG ,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形 ABC 的中心. 由(Ⅰ)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD ?

2 CG. 3

由 题 设 可 得 PC ? 平 面 PAB , DE ? 平 面 PAB , 所 以 DE / / PC , 因 此

PE ?

2 1 PG, DE ? PC. 3 3

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA ? 6 ,可得 DE ? 2, PE ? 2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF ? PF ? 2. 所以四面体 PDEF 的体积 V ?

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3

考点:线面位置关系及几何体体积的结束 11.(2016 山东文 5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的 体积为

(A) +

1 2 1 2 π π (B) + 3 3 3 3

(C)

1 2 2 + π (D) 1+ π 3 6 6

12.(2016 山东文 6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α, b 内,则“直线 a 和直线 b 相 交”是“平面 α 和平面 b 相交”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

13.(2016 山东文 18) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

(I)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC. 14.(2016 上海文 16).如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、BB1 的中点, 则下列直线中与直线 EF 相交的是( (A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 ) (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1

15.(2016 上海文 19) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题 满分 6 分.
5? 将边长为 1 的正方形 AA1O1O (及其内部) 绕 OO1 旋转一周形成圆柱, 如图,? , AC 长为 6 ? ? A1B1 长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. 3

(1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小.

16.(2016 四川文 12)已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积 网

。学科&

17.(2016 四川文 17) 、 (12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=?AD。

(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由;学科&网 (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD。 18.(2016 全国二文 4)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 (A) 12 ? (B)

32 ? (C) ?? (D) ?? 3

19.(2016 全国二文 7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为

(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π 20.(2016 全国二文 19) (本小题满分 12 分) 如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, 点 E、 F 分别在 AD, CD 上, AE=CF, EF 交 BD 于点 H,将 ? DEF 沿 EF 折到 ? D ' EF 的位置. (I)证明: AC ? HD ' ; (II)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D '? ABCEF 体积. 4

21.(2016 全国三文 10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某

多面体的三视图,则该多面体的表面积为 (A) 18 ? 36 5 (B) 54 ? 18 5 (C)90 (D)81

22. (2016 全国三文 11) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC, AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是 (A) 4 π (B)

9π 32π (C) 6π (D) 2 3

22.(2016 全国三文 19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4, M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (I)证明 MN∥平面 PAB; (II)求四面体 N-BCM 的体积.

浙江
21.(2016 全国三文 10)9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积 2 3 是______cm ,体积是______cm .


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