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正弦、余弦、正切函数的图像与性质(第三讲)


三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像与性质(第三讲)

(下表中 k∈Z). 函数 图像 {x|x∈R,且 x≠ 定义域 R [-1,1] 2π 奇函数 π ? ?2kπ-2,2kπ+ ? 单调性 π? 为增;[2kπ+ 2? ? π 3π? ,2kπ+ ?为减 2 2? 对称 中心 对称轴 (kπ,0) π x=kπ+2 R [-1,1] 2π 偶函数 π kπ+2,k∈Z} R π 奇函数 y=sin x y=cos x y=tan x

值域 周期性 奇偶性

[2kπ,2kπ+π]为 减;[2kπ-π,2kπ] 为增

π π? ? ?kπ-2,kπ+2? ? ? 为增

π ? ? ?kπ+2,0? ? ? x=kπ

?kπ ? ? 2 ,0? ? ? 无

[试一试]
π ? 1.函数 y=tan? ?4-x?的定义域是(
? ? π ? A.?x? ?x≠4 ,x∈R ? ? ?

)

? ? π ? B.?x? ?x≠-4 ,x∈R ?

? ? ? ? 3π 3π x≠kπ- x≠kπ+ C.?x? ,k∈Z,x∈R? D.?x? ,k∈Z,x∈R?、 4 4 ? ? ? ? ? ?

2.若函数 f(x)=-cos 2x,则 f(x)的一个递增区间为(

)

? π ? A.?-4,0? ? ?

π? ? B.?0,2?、 ? ?

?π 3π? C.?2, 4 ? ? ?

?3π ? D.? 4 ,π? ? ?

1.三角函数单调区间的求法

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1

先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区 间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间的不同: π π (1)y=sin 2x-4 ;(2)y=sin 4-2x . 2.求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,通过分析 ωx+φ 的范围,结合图像写出函数的值域; (2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函数来解决.

(

)

(

)

[练一练]1.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是( π π? A.? ?-4,4? π 3π? B.? ?4, 4 ? 3π? C.? ?π, 2 ?

) 、 3π ? D.? ? 2 ,2π? )

π? ? π? 2.(2013· 天津高考)函数 f(x)=sin? ?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( A.-1 B.- 2 、 2 C. 2 2 D.0

考点一

三角函数的定义域与值域
) 3 3 ? D.?- ? 2 ,3?

π? ? π? 1.函数 f(x)=3sin? ?2x-6?在区间?0,2?上的值域为( 3 3? A.? ?-2,2? 3 ? ? 3 3 3 3? B.? ?-2,3?、C.?- 2 , 2 ?

2.(2014· 湛江调研)函数 y=lg(sin x)+

1 cos x- 的定义域为________. 2

π 7π? 2 3.当 x∈? ?6, 6 ?时,函数 y=3-sin x-2cos x 的最小值是________,最大值是________.

4、 (2008 海南文)11、函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( ) 3 3 A. -3,1 B. -2,2 C. -3, D. -2, . 2 2
[类题通法]1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解. 2.三角函数值域的不同求法(1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求;(2)把所给的三角函数式变换成 y= Asin(ωx+φ)的形式求值域;(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域.

考点二

三角函数的单调性

[典例] 求下列函数的单调递减区间: π? (1)y=2sin? ?x-4?; π ? (2)y=tan? ?3-2x?.

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2

? π?? 若将本例(1)改为“y=2? ?sin?x-4??”,如何求解?
[类题通法]
三角函数的单调区间的求法

(1)代换法:所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角 u(或 t),利用基本三角 函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. (2)图像法: 函数的单调性表现在图像上是:从左到右,图像上升趋势的区间为单调递增区间,图像下降趋势的区 间为单调递减区间,画出三角函数的图像,结合图像易求它的单调区间. 提醒:求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.

[针对训练] 1.(2013· 安徽师大附中 3 月月考)设 ω>0,若函数 f(x)=sin 调递增,则 ω 的取值范围是( 2 0, ? A.? ? 3? ) D.[1,+∞) π π? ωx ωx cos 在区间? ?-3,3?上单 2 2

3 3 0, ?、 C.? ,+∞? B.? 2 ? ? ?2 ?

π 2x+ ?的单调递增区间为________. 2.函数 y=cos? 6? ?

考点三

三角函数的对称性与奇偶性

角度一 求三角函数的对称轴或对称中心 3π ? π 1.(2014· 揭阳一模)当 x= 时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数 y=f? ? 4 -x? 4 ( ) π ? A.是奇函数且图像关于点? ?2,0?对称 B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称 π C.是奇函数且图像关于直线 x= 对称、D.是偶函数且图像关于直线 x=π 对称 2 角度二 由三角函数的对称性求参数值 π ? ?π ? 2.(1)(2013· 哈尔滨二模)若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f? ?8+t?=f?8-t?,且 π? f? ?8?=-3,则实数 m 的值等于( A.-1 B.± 5 ) C.-5 或-1 、 D.5 或 1

π? π (2)(2014· 辽宁六校联考)已知 ω>0,函数 f(x)=cos? ?ωx+3?的一条对称轴为 x=3,一个对称 π ? 中心为点? ?12,0?,则 ω 有( A.最小值 2
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) C.最小值 1 D.最大值 1
3

、B.最大值 2

角度三 三角函数对称性的应用 3.(2013· 辽宁五校联考)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 的部分图像如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° , 1? KL=1,则 f? ?6?的值为( A.- 3 4 1 B.- 4 ) 1 C.- 2 D. 3 、 4

[类题通法] 1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. 2. 对于函数 y=Asin(ωx+φ), 其对称轴一定经过图像的最高点或最低点, 对称中心一定是函数的零点, 因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断.

[课堂练通考点]
1.下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是( A.y=cos 2x C.y=tan 2x )

B.y=sin 2x、 π? D.y=sin? ?2x-2? )

π ωx- ?(ω>0)的最小正周期为 π, 2. 已知函数 f(x)=2sin? 则 f(x)的单调递增区间为( 6? ? π 5π π π kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z) B.?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) A.? 3 6? 6 3? ? ? π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) C.? 3 6? ? π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z)、 D.? 6 3? ?

π ? 3.函数 y=cos? ?4-2x?的单调减区间为________. π 2x+ ?的图像与 x 轴交点的坐标是________. 4.函数 y=tan? 4? ? 1 cos x,- ?,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 5.(2013· 陕西高考)已知向量 a=? 2? ? f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期. π? (2)求 f(x)在? ?0,2?上的最大值和最小值.

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