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5.3 对数函数的图像和性质2


第 三 章 指 数 函 数 和 对 数 函 数
5.3

理解教材新知

§5
对数 函数

对数 函数 的图 像和 性质

把握 热点 考向

考点一
考点二 考点三

应用创新演练

作出函数 y=l

og2x 和 y=log 1 x 的图像如下:
2

问题1:函数y=log2x的定义域、值域、函数值的情况及
单调性如何?

提示:定义域:(0,+∞),值域:(-∞,+∞),
函数值变化情况:x>1时,y>0;x=1时,y=0; 0<x<1时,y<0. 单调性:在(0,+∞)上是增函数.

问题 2:函数 y=log 况及单调性如何?

1 2

x 的定义域、值域、函数值的情

提示:定义域:(0,+∞),值域:(-∞,+∞), 函数值变化情况:x>1 时,y<0;x=1 时,y=0; 0<x<1 时,y>0. 单调性:在(0,+∞)上是减函数. 问题 3:它们的图像有什么关系? 提示:关于 x 轴对称.

对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像与性质 a>1 0<a<1





a>1

0<a<1 定义域:(0,+∞) 值域: R

图像过定点: (1,0)
性 当x>1时,y > 0, 当x>1时,y < 0, 质 当0<x<1时,y < 0 当0<x<1时,y > 0

增区间: (0,+∞)
奇偶性: 非奇非偶函数

减区间: (0,+∞)

1.同底数的指数函数与对数函数的相同点及联系 (1)a>1时同为增函数,0<a<1时同为减函数; (2)互为反函数,图像关于y=x对称; (3)指数函数的定义域是对数函数的值域,指数函数

的值域是对数函数的定义域.

2.对数式logax的符号(x>0,a>0,且a≠1) (1)当0<x<1,0<a<1或x>1,a>1时,logax>0,即当真数x

和底数a同大于(或小于)1时,对数logax>0,也就是为正数,
简称为“同正”; (2)当0<x<1,a>1或x>1,0<a<1时,logax<0,即当真数x 和底数a中一个大于1,而另一个小于1时,也就是说真数x和 底数a的取值范围“相异”时,对数logax<0,即为负数,简称

为“异负”.因此对数的符号简称为“同正异负”.

[例1] 比较大小.

(1)log23.4,log28.5;
(2)log0.31.8,log0.32.7; (3)log67,log76; (4)log3π,log20.8; (5)log7 12,log8 12.

[思路点拨]

①(1)(2)底数相同,可利用单调性比较;

②(3)与(4)可分别与“1”和“0”比较大小; ③(5)可结合图像比较大小. [精解详析] (1)考查对数函数y=log2x,

∵2>1,∴它在(0,+∞)上是增函数. ∴log23.4<log28.5;

(2)考查对数函数y=log0.3x, ∵0<0.3<1,∴它在(0,+∞)上是减函数, ∴log0.31.8>log0.32.7;

(3)∵log67>log66=1,log76<log77=1,
∴log67>log76; (4)∵log3π>log31=0,log20.8<log21=0, ∴log3π>log20.8;

(5)在同一坐标系中作出
函数y=log7x与y=log8x的图 像,由底数变化对图像位置 的影响知: log712>log812.

[一点通]

比较对数大小的思路:
(1)底相同,真数不同的,可看作同一对数函数上的几个 函数值,用对数函数的单调性比较大小; (2)底数不同,真数相同的几个数,可通过图像比较大小, 也可通过换底公式比较大小;

(3)底不相同,真数也不相同的几个数,可通过特殊值来
比较大小,常用的特殊值是“0”或“1”.

1.下列四个数中最大的是 A.(ln 2)2 C.ln 2

( B.ln(ln 2) D.ln 2

)

解析:∵y=lnx 为增函数,∴0<ln 2<ln2<1< 2. ∴ln(ln 2)<ln 2<ln2<1. (ln 2)2<ln 2,故 ln 2 最大.

答案:D

2.设 a=log 1 2,b=log
3

1 2

1 0.3 ,c=(2) ,则 B.a<c<b D.b<a<c

(

)

A.a<b<c C.b<c<a
3 3

解析:∵log 1 2<log 1 1=0,∴a<0; ∵log 1
2

1 3>log 1 =1,∴b>1; 2

1 0.3 ∵(2) <1, ∴0<c<1.

答案:B

[例2]

作出函数y=lg|x|的图像,并由图像判断其奇

偶性,并求出f(x)>0的解集. [思路点拨] 先去掉绝对值号,画出y轴右边的图像,

再由对称性作出另一部分,最后结合图像求解集.
[精解详析]
?lgx, ? =? ?lg?-x?, ?

f(x)=lg|x| x>0, x<0.

又y=lgx与y=lg(-x)关于y轴对称,从而将函数y=lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y=lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像,如图所示.由图知:此函数是偶函数, f(x)>0的解集为 (-∞,-1)∪(1,+∞).

[一点通] 1.作函数图像的基本方法是列表描点法.另外,对形如

y=f(|x|)的图像可先作出y=f(x)的图像在y轴右侧的部分,再
作关于y轴对称的图像,即可得到y=f(|x|)的图像.y=|f(x)|的 图像可先作出y=f(x)的图像,然后x轴上方的不动,下方的关 于x轴翻折上去即可得到y=|f(x)|的图像. 2.如果只需要作出函数的大致图像时可采用图像变换.

3.如图是三个对数函数的图像,则a、b、c的大小关 系是 ( )

A.a>b>c

B.c>b>a

C.c>a>b

D.a>c>b

解析:y=logax的图像在(0,+∞)上是上升的,所以 底数a>1,函数y=logbx,y=logcx的图像在(0,+∞) 上都是下降的.因此b,c∈(0,1),又易知c>b,故 a>c>b. 答案:D

4.若函数f(x)=a-x(a>0,a≠1)是定义域为R的增函数, 则函数f(x)=loga(x+1)的图像大致是 ( )

1x 1 解析:由 f(x)=a =(a) 是 R 上的增函数,可知a>1,即
-x

0<a<1.f(x)=loga(x+1)的图像可看作由对数函数 f(x)= logax(0<a<1)的图像向左平移一个单位得到.

答案:D

5.方程a-x=logax(a>0,且a≠1)的实数解的个数为

________.
解析:当 a>1 时,在同一坐标系中作出 y=logax 与 y= 1x a =(a) 的图像如图(1), 由图像知两函数图像只有一个
-x

交点;同理,当 0<a<1 时,由图(2)知两图像也只有一个 交点.因此,方程只有一个实根.

答案:1

[例 3]

x+1 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1), x-1

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性和单调性. [思路点拨] 先求函数的定义域,再利用有关定义

去讨论其他性质.

[精解详析]
?x+1<0, ? ? ?x-1<0, ?

?x+1>0 ? (1)要使此函数有意义,则有 ? ?x-1>0 ?



解得 x>1 或 x<-1,此函数的定义域为(-∞,

-1)∪(1,+∞),关于原点对称; -x+1 x-1 x+1 (2)f(-x)=loga =loga =-loga =-f(x), -x-1 x+1 x-1 ∴f(x)为奇函数. 任设 x1<x2∈(1,+∞), 则 x2-x1>0.

x1+1 x2+1 令 t1= ,t = , x1-1 2 x2-1 x2+1 x1+1 2?x1-x2? 则 t2-t1= - = x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? ∵x2-1>0,x1-1>0,x1-x2<0, ∴t2-t1<0,即 t2<t1,

当0<a<1时,logat2>logat1,即f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(1,+∞)单调递增.

当a>1时,logat2<logat1,即f(x2)<f(x1),
∴f(x)在(1,+∞)单调递减. ∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同, ∴当0<a<1时,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增. 当a>1时,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减.

[一点通] 1.判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看是

否关于原点对称.对于类似于f(x)=logag(x)的函数,
利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性较简便. 2.判断函数的单调性利用单调性的定义. 3.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有

单调性,则单调性相反.

6.已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则
a的取值范围是 A.0<a<1 C.1<a<2 ( B.a>1 D.1<a≤2 )

解析:∵函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数, ?2-a>0, ? ∴?loga2>loga?2-a?, ?a>0且a≠1, ?

解之得:1<a<2.

答案:C

7.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).

(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的增减性; (3)当a取何值时,图像在y轴的左侧? 解:(1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0, 当0<a<1时,x<0.

故当a>1时,定义域为(0,+∞);
当0<a<1时,定义域为(-∞,0);

(2)当a>1时,任设x1<x2∈(0,+∞),则ax2>ax1, ∴ax2-1>ax1-1, ∴loga(ax2-1)>loga(ax1-1),

即f(x2)>f(x1)。
∴当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增. (3)∵图像在y轴的左侧, ∴定义域为(-∞,0),

由(1)知此时0<a<1,故当0<a<1时,图像在y轴的左侧.

1.对数值比较大小常用的方法: (1)直接法:利用对数函数的单调性比较大小. (2)作商法:将同号的两数相除,其商再与1比较大小. (3)作差法:可利用对数的运算,比较其差与1的大小. (4)搭桥法:主要根据对数函数值分析.借助于“0”和“1”

比较大小.

(5)图像法:主要利用不同底数在同一坐标系下的图像 位置关系. (6)转化法:主要利用指数或对数的有关性质,将两数 作合理变形,转化为两个新数进行大小比较.

2.数形结合是重要的数学思想方法之一,因此解决对
数函数问题时,心中要时刻装有图像,对数函数图像是解决 相关问题的基础. 3.解决对数的综合问题时,要遵循“定义域优先”的原则.

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