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【数学】山东省青岛市2013届高三第二次模拟考试(文)


山东省青岛市 2013 届高三第二次模拟考试(文)
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 ?M? 1.已知全集 U ? {x | x ? 0} , M ? {x | x ? 2 x} ,则 U

A. {x | x ? 2} C. {x | x ? 0 或 x ? 2}

B. {x | x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}
开始

2.若 a, b ? R , i 是虚数单位, a ? (b ? 2i)i ? 1 ? i ,则 a ? b 为 A. 0 B. 1
2

S ? 0, n ? 1

C. 2

D. 3

S ? S ?n

3. a ? 3 ”是“ ?x ? [1, 2], x ? a ? 0 ”为真命题的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.要不充分条件 D.既不充分也不必要条件


n ? 2n

是 输出 S 结束

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 31 , 则框图中①处可以填 入 A. n ? 8 B. n ? 16 C. n ? 32 D. n ? 64

5.下列函数中,与函数 y ? A. y ?

3

1 定义域相同的函数为 x
C. y ?

1 sin x

B. y ?

ln x x

cos x x

D. y ? x e

3 x

?x ? y ? 3 ? 6.设变量 x 、 y 满足线性约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? log 7 (2 x ? 3 y ) 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A. 7 B. log 7 23 C. log 7 8 D. 1

7.已知函数 f ( x) ? 2 2 sin x cos x ,为了得到函数 g ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只需要 将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 4 ? C.向右平移 个单位长度 8
A.向右平移 8.已知 F1 、 F2 分别是双曲线 C :

? 个单位长度 4 ? D.向左平移 个单位长度 8
B.向左平移

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线右 a 2 b2 ???? ???? ? ???? ???? ? ? 支上的一点, PF2 ? F1 F2 ,且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为
A.

3

B. 1 ? 2

C. 2 2

D. 1 ? 5

9.已知 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列五个命题: ①若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l // ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l //

? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ;
? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? ;⑤若 ? ? ? ? m ,

l // ? , l // ? ,则 l // m .则所有正确命题的序号是
A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ①②④

10.已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, S n 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ? S n ? 中的唯 一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 A. [?30, ?27] C. (?30, ?27) B. (30,33) D. [30,33]

11. 某几何体的三视图如图所示, 当这个几何体的体积最大时, 以下结果正确的是 A. a ? b ? 8 B. b ? 4 C. a ? 1 D. a ? 2 12.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的实数 k ,

定义函数 g ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? k 1 , 设函数 f ( x) = x 2 ? x ? x ? 3 ,若对任意的 x ? (??, ??) e ? k , f ( x) ? k

恒有 g (x) ? f (x) ,则 A. k 的最大值为 ?2 B. k 的最小值为 ?2 C. k 的最大值为 2 D. k 的最小值为 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相垂直,则 a 等于 ;

14.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23 ,样本的中心点为 (5, 4) ,则回归直线方程 是 ;

? 15.无限循环小数可以化为分数,如 0.1 ?

1 ? ? 13 ? ? 5 , 0.13 ? , 0.015 ? ,? , 9 99 333

? ? 请你归纳出 0.1999 ?
16.一同学为研究函数
2 2


D
C

F

f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质,构造了 如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是 边 BC 上的一动点, CP ? x, 则 AP ? PF ? f ( x) . 设 请你参 考这些信息,推知函数 g ( x) ? 3 f ( x) ? 7 的零点的个数

P A B E

是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? ?上的单调递减区间; (Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c , f ( A ? , 设 且 ) 0 若向量 m ? (1,sin B) 与向量 n ? (2,sin C ) 共线,求

?
6

) ? 2cos 2 x .

??

?

a 的值. b

2 18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,B ? {x | y ? lg( x ? 2)(3 ? x)} .

(Ⅰ)从 A ? B 中任取两个不同的整数,记事件 E ? {两个不同的整数中至少有一个是集合

A ? B 中的元素},求 P( E ) ;
(Ⅱ)从 A 中任取一个实数 x ,从 B 中任取一个实数 y ,记事件 F ? { x 与 y 之差的绝对值 不超过 1 },求 P( F ) .

19. (本小题满分 12 分)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 CD 的中点,

F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将三角
形 ADE 向上折起,在折起的图形中

D
F

E

C

D F

E
C

解答下列两问: (Ⅰ) 在线段 AB 上是否存在一点 K ,

A

B

A

B

使 BC ∥面 DFK ?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由; (Ⅱ)若面 ADE ? 面 ABCE ,求证:面 BDE ? 面 ADE . 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ? ?1 ( n ? 2 且 n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)设 bn ?

an ?1 (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (an ? 1)(an ?1 ? 1)

x2 y 2 21. (本小题满分 13 分)已知点 F (1,0) 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点,过点 a b
A(a,0) 、 B(0, b) 的直线与圆 x 2 ? y 2 ?
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点,求证: 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

12 相切. 7

1 1 ? 为定值. MF NF

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? ln(a ? 1) (其中 a 为常数) 3

(Ⅰ)若 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 ?( x) ? f ( x) ? (a ? 1) x ? ln x 的图象相切,且
2

切点的横坐标 x0 满足 x0 ? 2 ,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)记函数 y ? f ( x) 的极大值点为 m ,极小值点为 n ,若 2m ? 5n ?

3 sinx 对于 cos x ? 2

x ?[0,? ]恒成立,试求 a 的取值范围.

数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. AABBC DDBCC DA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?

1 2

y 14. ? ? 1.23x ? 2.15

15.

1999 9999

16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2cos 2 x ? (cos 2 x ? 1)

? sin 2 x cos
?

?
6

? cos 2 x sin

?
6

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ……………………………………………3 分 2 2 6

3? ? 5? (k ? Z) 得: k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 2 6 2 3 6 ? 5? 所以, f ( x) 在 ?0, ? ?上的单调递减区间为 [ , ] ………………………………………6 分 3 6
由 2k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2 A ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? ? ? ? ,? 2 A ? ? , A ? ………………………8 分 ? 0 ? A ? ? ,?? ? 2 A ? ? 3 6 6 6 6 2 ?? ? ?向量 m ? (1,sin B) 与向量 n ? (2,sin C ) 共线,?sin C ? 2sin B ,
由正弦定理得, c ? 2b
2 2

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

…………………………………………………………………10 分
2

由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos

?
3

,即 a ? b ? 4b ? 2b
2 2 2

2

a ? ? 3 b

………………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得: A ? {x | ?3 ? x ? 1} , B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,

? A ? B ? {x | ?3 ? x ? 3} , A ? B ? {x | ?2 ? x ? 1}

? A ? B 中的整数为 ?2, ? 1, 0, 1, 2 ,?从中任取两个的所有可能情况为
{?2, ?1},{?2,0},{?2,1},{?2, 2},{?1,0},{?1,1},{?1, 2},{0,1},{0, 2},{1, 2} 共 10 种,…3 分

? A ? B 中的整数为 ?1, 0 ,?事件 E 包含的基本事件为
{?2, ?1},{1, ?1},{2, ?1},{?2,0},{1,0},{2,0},{0, ?1} 共 7 个, …………………………5 分

? P( E ) ?

7 10

………………………………………………………………………………6 分
y
3

(Ⅱ) ( x, y ) 可看成平面上的点,全部结果构成的区域为

? ? {( x, y) | ?3 ? x ? 1, ? 2 ? y ? 3} ,其面积为
S? ? 4 ? 5 ? 20 , …………………………………………8 分
事件 F 构成的区域为
?1
?3

2 1

y ? x ?1

y ? x ?1

O

1

x

?1
?2

F ? {( x, y) | ?3 ? x ? 1, ? 2 ? y ? 3, | x - y |? 1} ,其为图中
阴影部分,它的面积为 S F ?

1 1 ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 6 ……………………………………11 分 2 2

? P( F ) ?

SF 3 ? …………………………………………………………………………12 分 S? 10

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)线段 AB 上存在一点 K ,且当 AK ? 证明如下: 设 H 为 AB 的中点,连结 EH ,则 BC ∥ EH 又因为 AK ?

1 AB 时, BC ∥面 DFK 4

………1 分

1 AB , F 为 AE 的中点 4

所以 KF ∥ EH ,所以 KF ∥ BC ,………………………………………………………4 分

? KF ? 面 DFK , BC ? 面 DFK ,? BC ∥面 DFK …………………………………5 分
(Ⅱ)因为 F 为 AE 的中点, DA ? DE ? 1 , 所以 DF ? AE .………………………………………6 分 因为面 ADE ? 面 ABCE ,所以 DF ? 面 ABCE 因为 BE ? 面 ABCE ,所以 DF ? BE …………8 分

D
F
A

E

C

K

H

B

又因为在折起前的图形中 E 为 CD 的中点, AB ? 2 , BC ? 1 , 所以在折起后的图形中: AE ? BE ? 从而 AE ? BE ? 4 ? AB
2 2 2

2,

所以 AE ? BE ………………………………………………………………………………10 分

因为 AE ? DF ? F ,所以 BE ? 面 ADE , 因为 BE ? 平面 BDE ,所以面 BDE ? 面 ADE . ………………………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由题 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ? ?1 ……①

? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?1 ……②
由① ? ②得: an?1 ? 2an ? 0 ,即

an ?1 ? 2(n ? 2) …………………………………………3 分 an a2 ?2 a1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ?1 ,? a1 ? 1 ,? a2 ? 2 ,

所以,数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列 故 an ? 2
n ?1

( n ? N )………………………………………………………………………6 分
*
n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ) an ? 2 所以 bn ?

( n?N )
*

an ?1 2n 1 1 ? n ?1 ? 2( n ?1 ? n ) …………………9 分 n (an ? 1)(an ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 1 2 3

1 1 3 5

1 2
n ?1

1 )] ?1 2 ?1 ?
n

1 1 2n ? 1 ? 2( ? n ) ? n …………………………………………………………………12 分 2 2 ?1 2 ?1
21.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 F (1,0) 为椭圆的右焦点,所以 a ? b ? 1 ……①
2 2

……………………1 分

x y AB 的直线方程为 ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 a b
所以 d ?
2

(ab) 2 12 ? ,化简得 12(a 2 ? b2 ) ? 7a 2b2 ……② …………………………3 分 a 2 ? b2 7
2 2

由①②得: a ? 4 , b ? 3

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………4 分 所以椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 )

当直线 l 的斜率不存在时, x1 ? x2 ? 1 ,则

1 y12 9 ? ? 1 ,解得 y12 ? 4 3 4

所以 MF ? NF ?

1 1 4 3 ? ? ………………………………………………6 分 ,则 MF NF 3 2

? y ? k ( x ? 1) ? 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 1) ,联立 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4
化简得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0
2 2 2 2

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 …………………………………………………………8 分 , x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

MF ? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? k 2 ( x1 ? 1)2 ? 1 ? k 2 x1 ? 1
2 同理 NF ? 1 ? k x2 ? 1

不妨设 x2 ? 1, x1 ? 1 ,则

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 MF NF 1 ? k x2 ? 1 x1 ? 1

?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 1 1 1 ( ? )? ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1 1 ? k 2 1 ? x2 x1 ? 1 1? k 2 1

?

1 1? k 2

( ?

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4? 1 12 1 ? k 2 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 9 3 1? k 2 ? ?1 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

所以

1 1 4 ? 为定值 ………………………………………………………………13 分 MF NF 3

22. (本小题满分 13 分)

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? ln(a ? 1) ,? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 3 因为函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,所以函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点. 而 f ?( x) ? 0 的两根为 a ? 1, a ? 1 ,区间长为 2 , ∴ f ?( x) 在区间 (?1,1) 上不可能有 2 个零点. 所以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 , …………………………………………………………………2 分
解: (Ⅰ)? f ( x) ? 即 a (a ? 2)(a ? 2) ? 0 ,又由题意可知: a ? ?1
2

∴ a ? (?1,0) ? (0,2) .………………………………………………………………………3 分

1 3 1 x ? ax 2 ? ln x ? ln(a ? 1) ,??( x) ? x 2 ? 2ax ? , 3 x 2 存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 ?( x) ? f ( x) ? (a ? 1) x ? ln x 的图象相切,且切点的 ? 横坐标 x0 , 1 1 1 ???( x0 ) ? x0 2 ? 2ax0 ? ? 0 ? a ? ( x0 ? 2 ) , ( x0 ? 2) ………………………5 分 x0 2 x0 1 1 1 2 令 h( x) ? ( x ? 2 ) ( x ? 2) ,则 h?( x) ? (1 ? 3 ) 2 x 2 x 1 2 当 x ? 2 时, h?( x) ? (1 ? 3 ) ? 0 , 2 x 1 1 ? h( x) ? ( x ? 2 ) 在 (2, ??) 上为增函数, 2 x 1 1 9 从而 h( x0 ) ? ( x0 ? 2 ) ? h(2) ? ,又由题意可知: a ? ?1 2 x0 8 9 ……………………………………………………………………………………8 分 ?a ? 8 2 2 (Ⅲ) f ?( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 得: x ? a ? 1 ,或 x ? a ? 1 , 当 x 变化时, f ( x), f ?( x) 变化如下表 (??, a ?1) (a ? 1, a ? 1) (a ? 1, ??) a ?1 a ?1 x f ?( x) 0 0 ? ? ? f ( x) 极大值 极小值
(Ⅱ)?( x) ? f ( x) ? (a 2 ? 1) x ? ln x ? 由表可知:

f ( x) 的极大值点 m ? a ?1 ,极小值点 n ? a ? 1 ……………………………………………………………………10 分 ?2m ? 5n ? 7a ? 3
3(2 cos x ? 1) 3 sin x , x ?[0, ? ] ,则 h?( x) ? , (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 2? 由 h?( x) ? 0 ? x ? , 3 2? 2? 当 x ? [0, ) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ? ] 时, h?( x) ? 0 , 3 3 2? 2? 时, h( x ) 取最大值为 h( ) ? 1 ,…………………………………………12 分 ?当 x ? 3 3 为满足题意,必须 2m ? 5n ? h( x) max ,所以 7a ? 3 ? 1 , 2 又由题意可知: a ? ?1 , ? a ? ? ……………………………………………………13 分 7
令 h( x ) ?


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