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宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文科)试题


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学
(银川一中第二次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考 题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意

事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 A={x|x +3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则 A∩CRB=(
2

)

A. ? 2.若复数 A.3

B.{-1}

C.[-2,-1]

D.[-2,-1) )

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
B. 1 C.

1 3

D. ?

1 2

3.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 文科数学试卷 第 1 页(共2 6 页) 如图所示,则该几何体的侧面积为( )cm 。 A.48 B.12 C.80 D.20

4.若将函数 f ( x) ?

3 1 sin x ? cos x 的图象 4 4

向右平移 m(0<m< ? )个单位长度,得到的图 象关于原点对称,则 m=( A. C. )

5? 6
2? 3

B. D.

? 6
? 3

5. 已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题
x

)

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 )

6.已知 a 是函数 f ( x) ? 2 ? log1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f ( x0 ) 的值满足(
2

A. f ( x0 ) =0

B. f ( x0 ) >0

C. f ( x0 ) <0

D. f ( x0 ) 的符号不确定

7.若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k) 的图象是( )

A

B

C

D

x2 y2 8.已知 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂 a b
直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.(1,+∞) ) B.(1,2) C.(1,1+ 2 ) D.(2,1+ 2 )

9.已知正数 x,y 满足 ? A.1 B.

?2 x ? y ? 0 1 y ?x ,则 z ? 4 ? ( ) 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 2 4
C.

)

1 16

D.

1 32

?a, a ? b ? 1, 10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” : a ?b ? ? .设函数 ?b, a ? b ? 1.

f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? 1? , x ? R .若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则
实数 c 的取值范围是( )

A. ? ?1,1?

? 2, ???
?
6 ) ? f (cos

B. ? ?2, ?1?

?1,2?

C. ? ??, ?2?

?1, 2?

D. ? ?2, ?1? )

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),且当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( A.

f (sin
f (cos

?
6

)

B.

f (sin1) ? f (cos1) f (cos2) ? f (sin 2)

C.

2? 2? ) ? f (sin ) 3 3
2 2

D.

12.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若任意的 x,y∈R,不等式 f(x -6x+21)+f(y -8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x +y 的取值范围是( A.(3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49) 开始
2 2

)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 如右图所示的程序框图的输出值 y ? (1,2] , 则输入值 x ? 。 输出 y 结束 输入 x 否

x ? 0?


y ? log2 ( x ? 1)

y ? 2? x ? 1

14.把一个半径为 53 2 cm 的金属球熔成一个圆锥, 使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍,则这个圆锥的 高为__________.
2

15.P 为抛物线 y ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(4,5) ,则 PQ 与 PM 长度之 第 3 页(共 6 页) 和的最小值为 文科数学试卷 . 16.已知 AD 是ΔABC 的中线,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是______. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,an+1=2Sn+1( n ? N ).
*

(Ⅰ)当 t 为何值时,数列{an}是等比数列? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若等差数列{bn}的前 n 项和 Tn 有最大值, 且 T3=15, 又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=1,D 是 BC 的中点,点 P 在平面 BCC1B1 内,PB1=PC1= 2 . (Ⅰ)求证:PA1⊥BC;

(Ⅱ)求证:PB1∥平面 AC1D; (Ⅲ)求 VA1 ? ADC1 . 19. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中随机抽 取 50 名测量身高,被测学生身高全部 介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结 果按如下方式分成八组:第一组 [ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ), …,第八组[ 190 , 195 ],右图是按上 述分组方法得到的频率分布直方图的 第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为
0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 身高(cm) (cm)

频率/ /组距 频率 组距 0.06

0.04

一部分,已知第一组与第八组人数相同,

x, y ,事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E

F) .

20. (本小题满分 12 分) 5 ? 1? 如图, 在直角坐标系 xOy 中, 点 P?1, ?到抛物线 C: y2=2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1) 4 ? 2? 是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点, 且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 设 f ( x ) ? e ( ax ? x ? 1 ) .
x 2

(I)若 a>0,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)x =1 时, f ( x ) 有极值,证明:当 ? ∈[0,

? ]时, | f (cos ? ) ? f (sin ? )|? 2 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲.

如图,在 RtΔABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是ΔBDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD= 2 3 ,AE=6,求 EC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 0≤ ? < ? ). (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

? x ? t cos? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, 2 sin ? ? y ? 1 ? t sin ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 文科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

银川一中届高三第二次模拟数学(文科)试卷参考答答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 C 10 B 11 D 12 C

二、填空题:

? 1 ? ?1,3? 13. ? ? ? log 2 3,
三、解答题: 17.

?

14. 20

15.

34 ?1

16. 1

18.

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50 1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; ……………………………4 分 (Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 …………………………6 分 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人. ………………8 分 (Ⅲ)第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B , 则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况, 因事件 E ? { x ? y ? 5 }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本事件
19.(Ⅰ)第六组的频率为 为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P ( E ) ? 由于 x ? y max

7 . ……………………10 分 15 ? 195 ?180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P( F ) ? 0

[来

由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P ( E

F ) ? P( E ) ? P( F ) ?

7 ………12 分 15

1 2pt=1, ? ? ? ?p=2, 20.解:(1)由题意得? p 5 得? ? ? ?1+2=4, ?t=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知 M(1,1), ∴直线 OM 为 y=x,故可设线段 AB 的中点坐标为 Q(m,m). 由(1)得抛物线 C 的方程为 y2=x,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). 2 ? ?y1 =x1, 由? 2 得(y2-y1)(y1+y2)=x2-x1,得 k· 2m=1, ?y2 =x2, ? 1 所以直线的方程为 y-m= (x-m),即 x-2my+2m2-m=0. 2m 2 ? ?x-2my+2m -m=0, 由? 2 整理得 y2-2my+2m2-m=0, ?y =x, ? Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m. 1 从而得|AB|= 1+ 2|y1-y2|= 1+4m2 4m-4m2. k 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 |1-2m+2m2| d= , 1+4m2 设△ABP 的面积为 S, 1 则 S= |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 t= m-m2,0<t≤ ,则 S=t(1-2t2). 2 1 2 设 S=t(1-2t ),0<t≤ ,则 S′=1-6t2. 2 1 6 0, ? , 由 S′=1-6t2=0,得 t= ∈? 6 ? 2? 6 6 1 0<t< 时,S′>0, <t≤ 时,S′<0, 6 6 2 6 6 所以 Smax= ,故△ABP 面积的最大值为 . 9 9
[来源: .Com]

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