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江西省宜春市2012届高三数学上学期期末统考试卷 理 新人教A版


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江西省宜春市 2012 届高三上学期期末统考试卷数学(理)试题
(注意:请将答案填在答题卡上) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A=﹛a, 3﹜,集合 B ? ?x | ?1 ? x ? 2, x ? Z ?,且 A∩B={0},若集合 S=A∪B,则 S 的真子集有 ( ). A.7 个 B.8 个 C.15 个 D.16 个 2.设 m ? R ,且 (m ? i) 2 ? i 3 ( i 为虚数单位)为负实数,则 m =( A. 2 3.函数 f ( x) ? x ? ln A. (0,1) 4. ( x ? B. 1 C. 0 ) D. (3,+∞) )

D. -1

1 ? 2 的零点所在区间为( x
B. (1,2)

C. (2,3)

2 6 ) 的展开式中常数项是( ) x 3 A. ? C6 B.160 C.-160 D.-8 ? 7? 5.由直线 x ? ? , x ? ,y=0 与曲线 y=sinx 所围成的封闭图形的面积为( 6 6
A. 2- 3 B.4- 3 C. 2 ? 3 D. 4 ? 3



6.已知 ?ABC ,D 是 BC 边上的一点, AD ? ? ? 若记

? ? ? ? AB ? a, AC ? b ,则用 a , b 表示 AD 所得的结果为(
1 ? 1? B. a ? b 3 3 1 ? 1? C. ? a ? b 3 3
) D.

? AB AC ? ?, | AB |? 1, | AC |? 2 , ? ? | AB | | AC | ? ? ?


1 ? 1? A. a ? b 2 2

2 ? 1? a? b 3 3

7.函数 y ? 2 x ? 1 ? x 取得最大值时的 x 为(

A.

4 5

B.

2 5

C.

2 5 5

D.1

? x ? y ? ?1 3 2 ? ? 的最小 8. x、 y 满足 ? x ? y ? 1 ,若 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) \的最大值为 7,则 2a b ?2 x ? y ? 2 ?
值为( A. )

7 2

B.7

C.

13 2

D.9 )

9.某几何体的主视图与左视图如图所示,则该几何体的俯视图可以是(

主视图 ① ② ③
1

左视图



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A.①②③ B. ②③④

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D. ①③④
3

C. ①②④

(a3 ? 1) ? 2011 (a3 ? 1) ? s i n 10 . 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知

(a 2009 ? 1) 3 ? 2011(a 2009 ? 1) ? cos
A.0 B.2011

2011? ,则 S 2011 =( 6
D. 2011 3

2011 ? , 3



C.4022

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中横线上) 11.3 位教师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况,若每个村 最多去 2 人,则不同的分配方法种数是
2 2

.(用数字作答)

12.已知双曲线的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切, 且双曲线的右焦点为抛物线 y ? 12x 的焦点,
2

则该双曲线的标准方程为 13.右图给出的是计算

.

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20
.

其中判断框内应填入关于 i 的条件是 14.若存在 x ? ( ,3) 使不等式 t + 则实数 t 的取值范围为 .

1 2

1 ? x ? e|ln x| 成立, x

第 13 题

15.设函数 f ( x ) 的定义域为 D,如果存在正实数 k ,使对任意 x ? D ,都有 x ? k ? D , 且 f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x ) 为 D 上的“ k 型增函数”.已知 f ( x ) 是 定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x ) 为 R 上的 “2012 型增函数”,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 16. (本小题 12 分)在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c, a ? 4 (1)若 b ?

24 4 , cos B ? ,求 A 的值; 5 5
2

(2)若 AB ? AC ? 8 , ?BAC ? ? ,求函数 f (? ) ? 2 cos ? ? 3 cos(

?
2

? 2? ) 最小值.

17. (本小题 12 分)一个袋中装有 4 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1、2、3、 4,甲、乙、丙、丁依次有放回地随机抽取 1 个球 ,摸到球的编号分别为 a, b, c, d . (1)若四人抽取的编号数都不相同,则称这四人为“完美组” ,求这四人在一次
2

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抽取中荣获“完美组”的概率;

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(2)若某人抽取的编号 x 能使方程 x ? a ? b ? c ? d ? 6 成立,就称该人为“幸运人” , 设这 4 人在一次抽取中 获得“幸运人”的人数为 ? ,求 ? 的分布列及期望 E? . .....

18. (本小题12分) 如图所示, 平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成, 已知AB//DC , BD=2AD=4,AB=2DC= 2 5 ,现将△PAD沿AD折起,使点P的射影 O 恰好落在直线AD上. (1)求证:BD⊥平面PAD; (2)求平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值. P D C D C

P

A

B

A

B

19. (本小题 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: a(S n ? an ) ? S n ? a ( a 为常数). (1)求 {an } 的通项公式; (2)若 a ? 2 时,证明:

1 1 1 1 2 ? ? ??? ? . S1 ? 1 S 2 ? 1 S 3 ? 1 Sn ?1 3

20. (本小题 13 分)已知 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,M 为 a2 b2

椭圆的上顶点,O 为坐标原点,N( ? 2,0 ) ,并且满足 F1 F2 ? 2NF1 , MN ? MF1 ? 3 . (1)求此椭圆的方程; (2)设 A、B 是上半椭圆上满足 NA ? ? NB 的两点,其中 ? ? ( ,1] ,求直线 AB 的 斜率的取值范围.
3

1 3

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21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 . (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)设 F (x) ?2 f ( x) ? 3 x 2?kx(k ? R) ,若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) ,

且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能, 求出该切线方程;若不能,请说明理由.

数学(理科)答题卡 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 14. ;12. ;15. ;13. . 1 2 3 4 5 6 7 8

座位号

9

10



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤) 16、 (本小题 12 分)

4

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17、 (本小题 12 分)

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18、 (本小题 12 分) P P D C D A B A

C

B

19、 (本小题 12 分)

5

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20、 (本小题 13 分)

6

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21、 (本小题 14 分)

参考答案与评分标准 一、CDBCB,DAACB

1006 1 x2 y 2 ?1; 二、 11. 60; 12. ? 13. i >10 (或 i ? 11 或 i ? 11 ) ; 14.t ? ; 15.a ? 3 3 5 4 4 3 16.解: (Ⅰ)由 cos B ? 得 sin B ? , 5 5 a b 1 ? 又由正弦定理 ,可得 sin A ? ,???2 分 sin A sin B 2 ? ? ? ? ? 0 ? A ? 180 ? A ? 30 或150 , 3 又 cos B ? ,? 30? ? B ? 90? ? A ? 30? ???5 分 2
(2) bc ? cos ? ? 8 , b2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? 42 即 b2 ? c 2 ? 32 又 b2 ? c 2 ? 2bc 所以 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16 ????7 分

7

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所以 0< ? ?

8 ? 16 cos ?

所以 cos ? ?

f (? ) ? 3 ? [1 ? cos( ? 2? )] ? 1 ? cos 2? ? 3 ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 1 2
? 2sin(2? ?
因 0< ? ? ∴ 2? ?

?

1 , 又 0< ? < ? 2

?
3

??8 分

?
6

) ? 1 ?9 分

?
3

,所以

? 1 ? ? 5? ? sin(2? ? ) ? 1 ?11 分 < 2? ? ? , 6 2 6 6 6

?
6

?

1 5? ? ,当 ? ? , f (? ) min ? 2 ? ? 1 ? 2 ?12 分 2 6 3

17.解: (1)这四人在一次抽取中的基本事件有:

4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 4 种,

4 抽取的编号都不相同的基本事件有: A4 ? 24 种,故所求的概率 P ?

24 3 ? ?6 分 4 4 32

(2) ? 可能取值为 0,3,即摸到 1 且 4 人的和是 5 的有(1,1,1,2) , (1,1,2,1) , (1,2,1,1) , (2,1,1,1) ,此时人数均为 3; 而摸到 2 的且另 3 人的和是 2 不可能有,摸到 3 的且另 3 人的和是 1 不可能有, 摸到 4 的且另 3 人的和是-2 不可能有,此时人数为 0.?8 分 P( ? =3)=4/256=1/64,P( ? =0)=252/256=63/64,?10 分

?
P

0 63/64

3 1/64 ?11 分

E? =3/64.?12 分

18.(1)证明:由题意知平面 PAD⊥平面 ABCD,又 BD=2AD=4,AB= 2 5 可得 AB =AD +BD ,
2 2 2

则 BD⊥AD,又 AD 为平面 PAD 与平面 ABCD 的交线,则 BD⊥平面 PAD;??6 分 (2)如图建立空间直角坐标,易知 A(1,0,0) , B(-1,4,0) ,P(0,0, 3 ) , P z

PB ? (?1,4,? 3) , BA ? (2,?4,0) ,
平面 PDA 的法向量为 m =(0,1,0) , D O A x y B C

? ?n ? PB ? 0 设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 ? , ? n ? BA ? 0 ? ?? x ? 4 y ? 3 z ? 0 得? , 2 x ? 4 y ? 0 ?

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故可取 n ? (2,1,

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2 3 m?n 57 , ) ,则 cos? m, n? ? ? 3 | m | ? | n | 19
57 .??12 分 19

所以平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值为

19.解: (1)当 n ? 1 时∴ a1 ? a, ,当 n ? 2 时,由 a(S n ? an ) ? S n ? a , 得 a(S n?1 ? an?1 ) ? S n?1 ? a 相减得 an ? aan?1 ?3 分 当 a ? 0 时 an ? 0 ,?4 分 ∴ an ? a ? an?1 ? an ;?5 分 (2)若 a ? 2 时, S n ? 2
n?1

当a ? 0时

an ? a ,即 {an } 是等比数列. an ?1
n

综上: an ? a ?6 分

?2,

?

1 1 1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? ???8 分 S n ? 1 2 ? 1 2 ? 2 2 S n?1 ? 1 1 1 1 ? ??? , S1 ? 1 S 2 ? 1 Sn ? 1

设S ?

则S ?

1 1 1 1 1 1 1 ?( ? ??? )? ? (S ? ) ?10 分 S1 ? 1 S1 ? 1 S 2 ? 1 S n?1 ? 1 S1 ? 1 2 Sn ? 1

S?

2 1 2 1 2 ? ? ? ? ??12 分 S1 ? 1 S n ? 1 3 S n ? 1 3

20.解: (1)由 F1 F2 ? 2NF1 , MN ? MF1 ? 3 ,M(0,b),F1(-c,0),F2(c,0)

?2c ? 2(2 ? c) ?c ? 1 ?? ?? 2 ?b ? 1 ?2c ? b ? 3
从而所求椭圆的方程为

, ? a2 ? b2 ? c2 ? 2

x2 ? y 2 ? 1. ??????6 分 2

(2)? NA ? ? NB, ? A, B, N 三点共线,而点 N 的坐标为(-2,0). 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,其中 k 为直线 AB 的斜率,依条件知 k≠0.

? y ? k ( x ? 2), 1 ? 2k 2 ? 1 2 4 2 2 ( y ? 2 ) ? 2 y ? 2 由 ? x2 消去 x 得 ,即 y ? y ? 2 ? 0. 2 k k k2 ? ? y ?1 ?2

9

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根据条件可知

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4 2k 2 ? 1 ? ? ( )2 ? 8 ? ?0 k k2

k?0

解得 0 ?| k |?

2 . ???8 分 2

4k ? y1 ? y 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则根据韦达定理,得 ? 2 ? y y ? 2k . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
又由 NA ? ? NB, 得( x1 ? 2, y1 ) ? ?( x2 ? 2, y2 )
(1 ? ? ) y 2 ? , ? ? x1 ? 2 ? ? ( x2 ? 2), ? 2k 2 ? 1 ?? 从而 ? 2 ??y 2 ? 2k ? y1 ? ?y 2 . . 2 2 ? ? 2k ? 1 ? 4k

消去 y 2 得

(1 ? ? ) 2

?

?

8 2k ? 1
2

.

令 ? (? ) ?

(1 ? ? ) 2

?

1 1 ?2 ? 1 ?1 ? , ? ? ? ,1? ,则 ? ?(? ) ? (? ? ? 2)? ? 1 ? 2 ? . ? ? ?2 ?3 ?

由于

1 ?1 ? ? ? ? 1, ? ?(? ) ? 0 , ? (? ) 在 ? ,1? 上的减函数, 3 ?3 ? 16 8 16 1 1 1 2 ? ,即, 4 ? ? ? k 2 ? ? ?| k |? 2 3 3 2k ? 1 4 2 2 2

从而 4 ? ? (? ) ?

又 0 ?| k |?

2 . 2

1 2 , k ? 0,? ? k ? 2 2 1 2 ??????13 分 ?k? 2 2
2

因此直线 AB 的斜率的取值范围是

21.解: (1) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x ? ax, g ?( x) ?

1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min . x
又 x ? 0, 2 x ?

?? 3 分

1 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. x 2
??6 分
2

故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 .

1 x

(2)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2ln x ? x ? kx.

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?2 ln m ? m2 ? km ? 0, ? 2 ?2 ln n ? n ? kn ? 0, ? 结合题意,有 ?m ? n ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x0 ? k ? 0, ? ? x0
①—②得 2ln

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① ② ③ ④ ??9 分

m ? ( m ? n)( m ? n) ? k ( m ? n). n

m n ? 2 x . 由④得 k ? 2 ? 2 x . 所以 k ? 0 0 x0 m?n 2ln
m ? 1) m 2(m ? n) n 所以 ln ? ? .⑤ m n m?n ?1 n m 2(u ? 1) ? 0(u ? (0,1)). 设 u ? ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? n u ?1 2(u ? 1) (u ? (0,1)) , 设 y ? ln u ? u ?1 2(

??11 分

y? ?

1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 ? ? ? ? 0, u (u ? 1)2 u(u ? 1)2 u(u ? 1) 2

2(u ? 1) 在 (0,1) 上单调递增, u ?1 2(u ? 1) ? 0. 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? u ?1 m 2( ? 1) m n 也就是, ln ? ,此式与⑤矛盾. m n ?1 n
所以函数 y ? ln u ? 所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴. ??14 分

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