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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 变化率与导数 复习参考教案


变化率与导数 复习
一、教学目标:1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量,瞬时变化 率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量; 2、理解导数概念的实际背景和几何意义,并能用导数定义计算简 单的幂函数的导数。 3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数,并能解 决简单的求曲线的切线的问题。 二、教学重点:导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函

数 的导数运算 教学难点:利用极限的语言刻画导数概念和讨论导数的运算法则 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:导数概念的实际背景和几何意义,导数公式表和运算法则。 (二)、探究新课 例 1、求下列函数的导数: (1) y ?

x 3 ? x 3 ? ln x ; x2

(2) y ? x 2 ( x ? 3)(x ? 3) ;

(3) y ? x 1 ? sin 2 x , x ? (0, ) ; 4
1

?

e 2 x ?1 (4) y ? 。 (1 ? 3x) 3

解: (1)∵ y ?

? x 3 ? x 3 ? ln x ln x ? x 2 ?x? 2 , 2 x x

1 ∴ y? ? ? x 2

3 ? 2

1 2 ? x ? ln x ? 2 x 3 1 ?2 1 ? 2 ln x x 。 ?1? ? ? x ?1? 4 2 x x3

(2)∵ y ? x 2 ( x ? 3)(x ? 3) ? x 4 ? 9x 2 ∴ y? ? 4x 3 ? 18x (3)∵ y ? x 1 ? sin 2 x ? x (sin x ? cos x) 2 ? x sin x ? cos x ,

? 又∵ x ? (0, ) ,∴ sin x ? cos x ,∴ y ? x(cosx ? sin x) 4
∴ y ? ? 1 ? (cosx ? sin x) ? x ? (? sin x ? cos x) ? (1 ? x) cos x ? (1 ? x) sin x 。

-1-

(4) y ? ?

(e 2 x ?1 )?(1 ? 3x) 3 ? e 2 x?1[(1 ? 3x) 3 ]? 2e 2 x?1 (1 ? 3x) 3 ? e 2 x?1 ? 3(1 ? 3x) 2 ? (?3) ? [(1 ? 3x) 3 ]2 (1 ? 3x) 6 ? e 2 x ?1 (11? 6 x) (1 ? 3x) 4

例 2、已知曲线 C1: y ? x 2 与曲线 C2: y ? ?( x ? 2) 2 ,直线 l 与 C1、C2 都相切,求 直线 l 的方程。 解:设 l 与 C1 相切于点 P 1 ( x1 , y1 ) ,l 与 C2 相切于点 P 2 ( x 2 , y 2 ) ,直线 l 的斜率为 k。
k k2 C1: y ? x 2 , y ? ? 2 x , k ? 2 x1 , P1 ( , ) 2 4 k k2 C2: y ? ?( x ? 2) 2 , y ? ? ?2( x ? 2) , k ? ?2( x2 ? 2) , P2 (2 ? ,? ) 。 2 4

由斜率公式得

k2 k2 ? (? ) 4 4 ? k ,解得: k k ? (2 ? ) 2 2

k ? 0或k ? 4。

当 k ? 0 时,P1 (0,0) ,l 的方程为 y ? 0 ;当 k ? 4 时,P1 (2,4) ,l 的方程为 y ? 4 x ? 4 。 例 3、已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 在 x ? ?1 处的导数等于 0,且 f (1) ? ?1 ,求 a,b,c 的值。 解:方法一: x ? ?1 是方程 f ?( x) ? 0 的根,即 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 的两根,
? 2b ? ?0 ? ? 3a ∴? ? c ? ?1 ? ? 3a ① ②

又 f (1) ? ?1 ,∴ a ? b ? c ? ?1

③由①②③得 a ?

1 3 , b ? 0, c ? ? 。 2 2

方法二: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由 f ?(?1) ? f ?(1) ? 0 , f (1) ? ?1 ,
?3a ? 2b ? c ? 0 1 3 ? 得 ?3a ? 2b ? c ? 0 ,∴ a ? , b ? 0, c ? ? 。 2 2 ? a ? b ? c ? ?1 ?

(三) 、小结:1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量,瞬时变化

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率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量; 2、理解导数概念的实际背景和几何意义,并能用导数定义计算简单 的幂函数的导数。 3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数,并能解决 简单的求曲线的切线的问题。 (四) 、练习:课本 P53 复习题:A 组 1、2、3、4. (五) 、作业:课本 P53 复习题:A 组 5; 五、教后反思: B组2

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