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云南省玉溪一中2016届高三第一次月考理科数学试题 Word版含答案


玉溪一中高 2016 届高三上第一次月测(理科)
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.知集合 A ? {0,1} , B ? {?1,0, a ? 3},且 A ? B ,则 a ? ( A. 1 B. 0 C. ? 2 D. ? 3 ) D. 第四象限
开始

)

2. i 为虚数单位,复数 A.第一象限

10 在复平面内表示的点在( 3?i
B. 第二象限

C. 第三象限

k=1 S=0

3.非零向量 a 、 b ,“ a ? b ? 0 ”是“ a // b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

M?




4.按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15,则 M 处条件为( A. k ? 16
3

S=S+k
k ? 2? k

输出 S 结束

B. k ? 8

C. k ? 16 )

D. k ? 8

2 8 5. ( x ? ) 二项展开式中的常数项为 ( x
A. 56 B. 112 C. -56

D. -112

6.以下四个命题中: ①为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 40 的样本,考虑用系统抽样,则分 段的间隔 k 为 40.

?x ? a ? ?b ? 恒过样本中心 ( x , y ) ②线性回归直线方程 y
③在某项测量中,测量结果ξ 服从正态分布 N (2, ? ) (? ? 0) .若ξ 在 (??,1) 内取值的概率为 0.1 ,则ξ 在 (2,3)
2

内取值的概率为 0.4 ; 其中真命题的个数为 ( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3

7.已知 a ? b ? 0 ,且 ab ? 1 ,若 0 ? c ? 1 , p ? log c A. p ? q B. p ? q C. p ? q

a 2 ? b2 1 )2 ,则 p, q 的大小关系是( ,q ? log c ( 2 a? b
D. p ? q )

)

8.在等差数列 {an } 中, a9 ? A. 24 B. 48

1 a12 ? 3 ,则数列 {an } 的前 11项和 S11 ? ( 2
C. 66 D. 132

9.将函数 y ? tan( ?x ? ω 的最小值为( A. )

?
4
1 4

) (? ? 0) 的图象向右平移

? ? 个单位长度后,与函数 y ? tan( ?x ? ) 的图象重合,则 6 6
1 2
1

1 6

B.

C.

1 3

D.

10.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? 1 , PA ? 3 ,则该三棱锥外接球的表面 积为( ) B. 2? C. 20? D. 4? ( )

A. 5?

11.已知 f ( x) 为 R 上的可导函数,且 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) ,则 A. e2015 f (?2015 ) ? f (0) , f (2015 ) ? e2015 f (0) C. e2015 f (?2015 ) ? f (0) , f (2015 ) ? e2015 f (0)

B. e2015 f (?2015 ) ? f (0) , f (2015 ) ? e2015 f (0) D. e2015 f (?2015 ) ? f (0) , f (2015 ) ? e2015 f (0)

12.双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两 a 2 b2
2

点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e ? ( ) A. 1 ? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.与直线 x ? 3 y ?1 ? 0 垂直的直线的倾斜角为________
2 14.命题“? x ? R , 2 x ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是________

?x ? y ? ? ? 15.设不等式组 ? x ? y ? 0 所表示的区域为 M ,函数 y ? sin x, x ??0, ? ? 的图象与 x 轴所围成的区域为 N ,向 M 内 ? y?0 ?
随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为 16. 设m? R , 过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) , 则 | PA | ? | PB | 的最大值是

三.解答题(共 70 分,要求写出具体的解题步骤) 17. ( 12 分 ) ?A B C的 内 角 A, B, C 及 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 已 知 a ? b , c ? 3 ,

cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

18. (12 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? PB ? AB ? 2 ,BC ? 3 ,?ABC ? 90 °, 平面 PAB ? 平面 ABC ,

D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点.
(1)求证: AB ? PE ;
2

P

A

(2)求二面角 A ? PB ? E 的大小.

19.(12 分)2015 年春节期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中,按进服务区的 先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法,抽取了 40 名驾驶员进行调查,将他们在某段高速公路上的车速(km/t) 分成 6 段: ?60,65? , ?65,70? , ?70,75? , ?75,80? , ?80,85? , ?85,90? 后得到如图4的频率分布直方图。问: (1)该公司在调查取样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值; (3)若从车速在 ?60,70? 中的车辆中任取 2 辆,求抽出的这两辆车中速度在 ?65,70? 中的车辆数 x 的分布列及其数 学期望。

20.(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,它的一个短轴端点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的焦点。 2

(2)已知 P(2,3) , Q(2,?3) 是椭圆上的两点, A, B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点,当 A, B 运动时,满足

?APQ ? ?BPQ ,试问:直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由。

21 . (12 分)设函数 f ( x) ? (1 ? x) ?2 ln( 1 ? x)
2

(1)若关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 0 在 [0 , e ? 1] 有实数解,求实数 m 的取值范围;

3

(2)设 g( x) ? f ( x) ? x 2 ? 1,若关于 x 的方程 g( x) ? p 至少有一个解,求 p 的最小值. (3)证明不等式: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ??? (n ? N ? ) 2 3 n

请考生在第 23、24 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题记分. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

1 ? x? t ? ? x ? 2 ? cos ? 2 ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 。 ? y ? sin ? ? y ? 3 t ?1 ? ? 2
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,

?
3

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ? R . (1)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

高 2016 届高三上第一次月测(理科答案)
1-12: C A 13. A A B 14. [?2 2, 2 2] C B C D A 15. D C

? 3

8 ?2

16. 5

17.(12 分)
4

解:(1)由倍角公式,原等式可化为 即 sin(2 B ?

cos 2 A ? 1 cos 2 B ? 1 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B 2 2 2 2

?

) ? sin(2 A ? ) , 6 6
又? A, B ? (0, ? )

?

? a ? b,? A ? B
? 2B ?

?
6

? 2A ?

?
6

? ? ,? C ?

?
3

(2) 由正弦定理可求得 a ?

8 3 ,?a ? c ,? cos A ? 5 5

sin B ? sin( A ? C ) ?

4?3 3 10

1 8 3 ? 18 ? S?ABC ? ac sin B ? 2 25
P

18.(12 分) 解: (1)连结 PD
A D B E C

? PA ? PB , ? PD ? AB . ? DE / / BC , BC ? AB ,? DE ? AB .
又 PD ? DE ? D , ? AB ? 平面 PDE 而 PE ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE .

z P _

(2)因为平面 PAB ? 平面 ABC 交于 AB , PD ? AB ,所以 PD ? ABC 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2

A _ D _ B _ _ E y C _

??? ? ??? ? 3 . ? PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, , ? 3 ) 2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

x

? x ? 3z ? 0, ? 令z? 3 ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?2

得 n1 ? (3, 2, 3) .

??

?? ? ? DE ? 平面 PAB, ? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1,0) .
设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,

5

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ,所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60 ? . n1 ? n2 2

19(12 分) 解:(1)系统抽样 (2)众数与中位数的估计值均为 77.5 (说明:一个答案得 2 分) (3)由图可知,车速在 ?60,65? 的车有 2 辆,在 ?65,70? 的车有 4 辆,

x 的取值是 0,1,2
2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 P( x ? 1) ? ? , P( x ? 1) ? 2 ? , P( x ? 1) ? ? 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

x 的分布列如下:
x 0 1 2

E? ? 0 ? 1 ?

8 6 4 ? 2? ? 15 15 3

20.(12 分)

x2 y2 解: (1)设 C 方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,则 b ? 2 3 。 a b
c 1 2 2 2 由 ? , a ? b ? c ,得 a ? 4 a 2

x2 y2 ? ?1 故椭圆 C 的方程为 16 12

(2)当 ?APQ = ?BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0, 设直线 PA 的斜率为 k ,则 PB 的斜率为- k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) , 代入

x2 y2 ? ? 1 中整理得 16 12
8( 2 k ? 3) k , 3 ? 4k 2

(3 ? 4k 2 ) x 2 + 8(3 ? 2k )kx 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,2+ x1 =
同理 2+ x2 =

8( 2 k ? 3) k ? 48 k 16k 2 ? 12 x x , + = , x1 - x 2 = , 1 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 ? 4k

6

从而 k AB ?

y 2 ? y1 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 = ? ,即直线 AB 的斜率为定值 x 2 ? x1 x1 ? x 2 2

21 . (12 分) 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域: (?1, ??)

f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 2 x( x ? 2) ? 1? x 1? x

易知函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (?1, 0) ,单调递增区间为 (0, ??)

f ( x) ? m ? 0 在 [0 , e ? 1] 有实数解等价于 f ( x)max ? m ( x ?[0, e ? 1])

? 函数 f ( x) 在区间 (0, e ? 1) 上单调递增,? f ( x)max ? f (e ?1) ? e2 ? 2
? m ? e2 ? 2
(2) g ( x) ? 2( x ? ln(1 ? x)) ( x ? (?1, ??) )

g ?( x ) ?

2x , 1? x

易知 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减, (0, ??) 上单调递增

? g ( x)min ? g (0) ? 0
因为方程 g( x) ? p 至少有一个解,所以 p ? 0 ,所以 pmin ? 0

1 ? x)] ? 0 在 (?1 , ? ?) 上恒成立 (3)由(2)可 知: g( x) ? 2 [ x ? ln(
所以 令x ?

ln(1 ? x) ? x ,当且仅当 x=0 时等号成立
(n ? N * ) ,则 x ? (0 , 1) n ?1 1 ? , n n
即 代入上面不等式得: ln(1 ?

1 n

1 1 )? n n

即 ln

ln( n ? 1) ? ln n ?

1 n

所以, ln 2 ? ln 1 ? 1 , ln 3 ? ln 2 ? 将以上 n 个等式相加即可得到:

1 1 1 , ln 4 ? ln 3 ? ,?, ln( n ? 1) ? ln n ? 2 3 n 1 1 1 ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 n

23.(本小题满分 10 分)

7

解: (1)点 P 的直角坐标方程为 (2, 2 3) ,令

1 ? 2? t ? 2 ? ,关于 t 的方程组无解,所以点 P 在直线外 ? ?2 3 ? 3 t ? 1 ? ? 2

(2)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 1 ? 0 , 设 Q(2 ? cos ? ,sin ? ) , Q 点到 l 的距离为 d 则d ?

| 3(2 ? cos ? ) ? sin ? ? 1| ? 1 ?| sin( ? ? ) ? 3 ? | 2 3 2

所以, 当 sin(

?
3

? ? ) ? ?1 时, d min ?

2 3 ?1 , 2

当 sin(

?
3

? ? ) ? 1 时, dmin ?

2 3 ?3 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式 解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? 0 即 | x ? 2 | ? | 2 x ? 3|? 0

3 ? ? x? 等价于: ? 2 ? x ? 1 ? 0 ?
解得 1 ? x ?



? 3 ? ?x?2 ? 2 ? ? ?3 x ? 5 ? 0



? 2? x ? ?? x ? 1 ? 0

3 3 5 或 ? x ? 或 x ?? 2 2 3 5 3

所以原不等式的解集为: {x |1 ? x ? }

(2) f ( x) ? 2 ? x? | 2 x ? a | 所以 f ( x) ? 0 可化为 | 2 x ? a |? 2 ? x 即 2x ? a ? 2 ? x 或 2x ? a ? x ? 2 ①式恒成立等价于 (3x ? 2)min ? a 或 ( x ? 2)max ? a ①

? x ? (??, 2) , ? a ?? 或 a ? 4
?a ? 4

8


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