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数学必修2一二章知识点整理(含习题)


高中数学必修2 第一章 空间几何体知识点梳理 (一)空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体:多面体:棱柱、棱锥、棱台;旋转体:圆柱、圆锥、圆台、球; 另一种分类方式:①柱体:棱柱、圆柱;②椎体:棱锥、圆锥;③台体:棱台、圆台;④球 简单组合体:一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 2. 棱柱:①直棱柱 斜棱柱 正棱柱 ②三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱

柱等等。 棱柱的性质:①两底面是对应边平行的全等多边形;②侧面、对角面都是平行四边形; ③侧棱平行且相等;④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥:三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等等 (1)棱锥的性质:①侧面、对角面都是三角形;②平行于底面的截面与底面相似,其相似 比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (2)正棱锥的性质:①正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的 高,斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高,侧棱,侧棱在底 面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱 锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥:圆柱的轴 5. 棱台与圆台:统称为台体 (1)棱台的性质:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧 面是梯形;侧棱的延长线相交于一点. (2)圆台的性质:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长 线交于一点;母线长都相等. 6. 球:球体 球的半径 球的直径. 球心 (二)空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影 平行投影 正投影 2.三视图的画法:长对正、高平齐、宽相等。 3.直观图:斜二测画法,直观图中斜坐标系 x ' o ' y ' ,两轴夹角为 45? ;平行于 x 轴长度不变, 平行于 y 轴长度减半。 (三)空间几何体的表面积和体积 1.柱体、锥体、台体表面积求法:利用展开图 2.柱体、锥体、台体表面积体积公式,球体的表面积体积公式: 几何体 棱柱 表面积相关公式 体积公式 圆柱的底面 圆柱的侧面 圆柱侧面的母线

S全 ? 2S底 ? S侧, 其中S侧 ? l侧棱长 ? 直截面周长 c

V ? S ?h

棱锥 棱台 圆柱

S全 ? S底 ? S侧
S全 ? S上底 ? S下底 ? S侧
V ?

V ?

1 S? h 3

1 (S '? 3

S ' S ? S )h

S全 ? 2? r 2 ? 2? rl
(r:底面半径,l:母线长=h:高)

V ? sh ? ? r 2 h
V ? 1 1 sh ? ? r 2 h 3 3
S ' S ? S )h

圆锥

S全 ? ? r 2 ? ? rl
(r:底面半径,l:母线长)

圆台

S全 ? ? (r '2 ? r 2 ? r ' l ? rl )
(r:下底半径,r 上底半径,l:母线长)

V ?

1 (S '? 3

球体

S球面 ? 4? R2

V球 ?

4 ? R3 3

第二章 直线与平面的位置关系 基础梳理 一、空间中直线与直线之间的位置关系 1 平面含义:①没有大小之分,②没有厚度,③平面是平的且可以无限延展的 2.平面的基本性质 (1)公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. ? A ? l, B ? l l 符号表示为 ? ?l ?? B α A ? A ?? , B ?? (2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

α

C A

B
l

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ?

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

α
α
α

A
A

若 A?l ,则点A和 l 确定平面 ?

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

l
m

若 m ? n ? A ,则 m, n 确定平面 ?

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

m n

若 m ? n ,则 m, n 确定平面 ?
β α
P

(3)公理3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条 过这个公共点的直线.

·

L

P ?? , P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
(4)公理4: (平行公理) :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (平行线的传递性)

a ? b, c ? b ? a ? c

四个作用 (1)公理1的作用:①判断直线在平面内;②由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理2的作用:公理2及其推论的作用①确定一个平面,②判断“直线共面”的方法. (3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. (3)公理4的作用:判断空间两条直线平行的依据。 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 (5) 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
a
1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b'

a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相同 ? ?1=?2 a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相反 ? ?1 ? ?2=180?

b

两个角相等。 ∠1+∠2=180° ∠1=∠2

方向相同则

方向相反则

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的

3.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 a 空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; b ?A 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。(既不平行,也不相交) 注:判定异面直线的两种方法: (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. (2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成 的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角). 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一 般取在两直线中的一条上; ② 三步骤:1、平移,转化为相交直线所成角;2、找锐角(或直角)作为夹角;3、求解 。 。 ③两条异面直线所成的角取值范围:[0 ,90 ]. ④当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; ⑤两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; 4.直线与平面的位置关系有三种情况: 在平面内——有无数个公共点 . 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A 平行——没有公共点 符号 a∥α 说明:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a

α来表示

5.平面与平面的位置关系有 平行——没有公共点: 符号 α∥β 相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a

a

二、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线和平面平行的判定 判定直线和平面平行的方法 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线 与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以) 简记为:线线平行,则线面平行。 作用:判定直线和平面平行 2.直线和平面平行的性质定理: 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行。

a ??? ? 符号: b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

简记为:线面平行,则线线平行. 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

? ? 符号: a ? ? ? ? a ?b ? ? ? ? b? ?

a ??

3.两个平面平行的判定定理 判断两平面平行的方法有三种: (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个 平面平行。

简记为: 线面平行, 则面面平行.

a ? ?,b ? ? ? ? 符号: ? b ? A ? ? ? ? ? a a ? ?,b ? ? ? ?

(3)推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这 两个平面平行。符号表示: a ?α,b?α,a∩b=M,a′?β,b′?β,a′∩b′=M′,a∥a′,b∥b′?α∥β. (4)垂直于同一条直线的两个平面平行。 4.两个平面平行的性质定理 (1)两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线平行。

简记为:面面平行,则线线平行.

? ? 符号: ? ? ? ? a ? ? a ? b ? ? ? ? b? ?

? ??

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 (2)补充性质1:平行于同一平面的两平面平行; 补充性质2:夹在两平行平面间的平行线段相等; 补充性质3:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;

1

2

3

? ??

? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?
5.平行问题的转化关系:

? A, C ? ? ? ? ? ? AC ? BD B, D ? ? ? AB ? CD ? ?

? ?? ? ? ?? ? ? ? a ? ?或 ? ? a ?? a ??? a ? ??

注意: (1)在推证线面平行时,一定要强调一条直线不在平面内,一条直线在平面内,否则扣分. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线 与交线平行. 证明两直线平行的主要方法是: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质: 如果一条直线平行于一个平面, 经过这条直线的平面与这个平面相 交,那么这条直线和它们的交线平行; ④平行线的传递性: a ? b, c ? b ? a ? c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行; ⑥垂直于同一平面的两直线平行;

a ??? ? ? a ?b b ?? ?

三、直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 ⑴定义: 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线, 那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 简记为:线线垂直,则线面垂直. 符号:

? ? m?n ? A ?? l ?? l ? m, l ? n ? ?

m, n ? ?

⑶性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号:

a ??? ? ? a ?b b ?? ?

性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行 符号:

? ? l? ? ?? ?? ? ? l?

(4)推论:如果两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 符号语言:a∥b, a⊥α,?b⊥α 2.斜线和平面所成的角 (1)斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角。 (2)直线与平面所成角的取值范围为:[0°,90°] 3.平面与平面垂直 ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。 (只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直) 简记为:线面面垂直,则面面垂直. 符号:
l ? ?? l ???

??? ? ?

推论:如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线,则这个平面与另一个平面垂直。 符号语言 : a∥a,a⊥β?a∥β; ⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 简记为:面面垂直,则线面垂直. 符号:
???

4.垂直问题的转化关系 5.二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 2.二面角的记法:二面角α -l-β或α-AB-β等 3.二面角的平面角取值范围:[0°,180°] 4、求二面角大小的方法:①定义法;②垂面法;③垂线法 四、三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为90° (特别是证明异面直线垂直) ; ; ②线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b;

? ? ? ? ? m? ? ??l ? ? l ?? ? ? l?m ?

③线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. ④利用勾股定理证明两相交直线垂直; ⑤利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ⑥利用三垂线定理证明两直线垂直( “三垂”指的是“线面垂” “线影垂”“线斜垂” , )
P 斜 α A 影 O a 线

如图:PO ? ? ? OA是PA在平面? 上的射影? 又直线a ? ? , 且a ? OA 即:线影垂直 ? 线斜垂直,反之也成立。

? ? a ? PA ?

(2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义:a与α内任何直线都垂直?a⊥α; ②判定定理1:?l⊥α; ③判定定理2:a∥b,a⊥α?b⊥α; ④面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; ⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.

空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取 一点,过该点作另一条直线平行线,
如图:直线a与b异面,b//b?,直线a与直线b?的夹角为两异 面直线 a与b所成的角,异面直线所成角取值范围是(0?,90?]

2. 斜线与平面成成的角: 斜线与它在平面上的射影成的角。 如图: ? PA 是平面 ? 的一条斜线, 为斜足, 为垂足, 叫斜线 PA 在平面 ? 上射影, PAO A O OA 为线面角。

3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角 ? ? l ? ? ,二面角的 大小指的是二面角的平面角的大小。 二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面 角的棱垂直
如图:在二面角? - l - ?中,O棱上一点,OA ? ?,OB ? ?,

且OA ? l , OB ? l , 则?AOB为二面角? - l - ?的平面角。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是: ① 确构成二面角两个半平面和棱;②明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找”“二证”“三计算” 、 、 ) 4.点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图:O 为 P 在平面 ? 上的射影, 线段 OP 的长度为点 P 到平面 ? 的距离求法通常有:定义法和等体积法 5、等体积法: 如图: VS ? ABC ? VA?SBC ? VB?SAC ? VC ?SAB

1.给出如下四个命题:①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有 侧面都有一个共同的公共点;③多面体至少有四个面;④棱台的侧棱所在直线均相交于 同一点,其中命题正确的是( D ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2、下列各组几何体中是多面体的一组是( C ) A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球 3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形,则这个几何体可能是( A ) A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥 4. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积 是 ( D ) A.9π B.10π C.11π D.12π 解析:这是一个上面是以 2 为直径的球,下面是以 2 为直径,以 3 为高的 圆柱拼接起来的组合体,分别代球的表面积和圆柱的表面积公式和计算而 得。 思考:将上式求表面积改为求体积又怎么求呢? 5、若圆台的上下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面积是两底面面积的 2 倍,则圆台的母线 长是( ) A 2 B 2.5 C5 D 10 6.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积 (单位:c m )为( A. 48+12 2 C. 36+12 2
2

) B. 48+24 2 D. 36+24 2

7、如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点,

D1 A1 P B1

C1

1 且 PB1= A1B1,则多面体 P-BCC1B1 4
的体积为( B ) B

8 A 3

16 3

C4

D 16

D

C

8、已知长方体一个顶点上三条棱分别是 3、4、5,且它的顶点都在同一个球面上,则这个 A B 球的表面积是( C ) A 20 2 B 25 2? C 50? D 200? 9、棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体(正四面体)的表面积为——————————体积为
—————————

10、正方体表面积为 a ,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是———————————— 11、下列有关平面的说法正确的是( C ) A 一个平面长是 10cm,宽是 5cm B 一个平面厚为 1 厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 12、下列图形不一定是平面图形的是( B )
2

A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 13、共点的三条直线可确定几个平面 ( D ) A 1 B 2 C 3 D 1或3 14、不共线的四点可以确定—————1 个或 4 个—————————————个平面。 15、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点,则这条直线在这个平面内②过两条相交 直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点, 则两个平面重合④两个平面相交有且 只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面,其中正确的有——②—④—⑤——————— 16、空间两条互相平行的直线指的是( ) A 在空间没有公共点的两条直线 B 分别在两个平面内的两条直线 C 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D 在同一平面内且没有公共点的两条直线 17、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与直线 BD 异面且成 600 角的面对角线有( A )条。 A 4 B 3 C 2 D 1 18、一条直线和一个平面平行,夹在这条直线和平面间的两条线段相等,则这两条线段的 位置关系是( D ) A 平行 B 相交 C 异面 D 以上均有可能 19、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1D1 与平面 ADC1B1 的位置关系是( A ) A 平行 B 相交 C 在平面 ADC1B1 内 D 以上都不正确 一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如下的两个 命题:①若??∥?,则 l∥m;②若 l⊥m,则??⊥?.那么( D A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题 ).

B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ).

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( D .. A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60°

3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( D A.①② 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是( D . A.1 B.2 B ). ). C.3 D.4 ). C.①④ D.②③ ②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; 2 题) (第 ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n.

B.③④

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ). D.只有两个 D.3 个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( B A.不存在 7.给出以下四个命题: B.有唯一的一个 C.有无数个

①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条 直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 B ). B.3 C.2 D.1

8.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形,俯视图 是一个圆,那么这个几何体的体积为( ..
A. 3 ? 4

B



B.

3 ? 3

C.

3 ? 2

D. 3?

9.

如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻两边的长分别为 1 和 2 的矩形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 A. 4 ? 1 C. ? 2 B. ? 1 D. ? 3 ( B )

10. 如图所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形, 俯视图是一个圆, 那么这个几何体的表面积为(D) A. 3 ? C. 5 ? B. 4 ? D. 6? 正视图 侧视图

俯视图

24. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中. (1)求证:AC ? BD1 ; (2)求异面直线 AC 与 BC1 所成角的大小。 25. (本小题满分 7 分,其中(1)问 4 分, (2)问 4 分) 如图,点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,点 E 为 PA 的中点。 (1)求证:PC//平面 BED; (2)求异面直线 AD 与 PB 所成角的大小。 P D1 C1 A1 B1
E

D

D

A

C
B C

A B 24. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点。 (1)求证:EF//平面 ABCD; D1 (2)求两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小。 证明: (1)连接 AC, A1 ? E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点,

C1 B1 F

? E F / / A C, 又 EF ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD , ? EF / /平面ABCD.
…………………..…..……………………………4 分 ( A

E D

C B

2)连接 A B , A1D ,容易证明四边形 A BCD1 是平行四边形,? A1B / / D1C , 1 1

? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角为 ?A1BD ,易知 V A1 BD 是等边三角形, ??A1BD ? 60?. ? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小为 60?. ……………………….…..………..7 分

17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; 证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形,

∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD. 21.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD.

(2)平面 EFC⊥平面 BCD. 证明:(1)在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、BD 的中点, ∴EF∥AD. 又 EF?平面 ACD ,AD?平面 ACD, ∴直线 EF∥面 ACD. (2)在△ABD 中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. 在△BCD 中,∵CD=CB,F 为 BD 的中点, ∴CF⊥BD. ∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面 EFC, 又∵BD?平面 BCD, ∴平面 EFC⊥平面 BCD. 20.(12 分)(2009·浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2, ∠ACB=120°,P,Q 分别为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解:(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点, 所以 PQ∥EB.又 DC∥EB,因此 PQ∥DC, 又 PQ?平面 ACD,DC?平面 ACD 从而 PQ∥平面 ACD.

(2)如图,连接 CQ,DP,因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC,所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC, 所以 EB⊥平面 ABC,因此 CQ⊥EB. 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ= EB=DC, 2 所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ, 因此 DP⊥平面 ABE, ∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角, 在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1, sin∠DAP= 5 , 5 5 . 5

因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为


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