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正态分布及其经典习题和答案


25.3 正态分布
【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念; 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题; 3、通过实际问题,借助直观(如实际问题的直观图) ,认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例 1: (1)已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,V(X)=1.44,则二项分布的参数 n,

p 的值为 ( ) A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 (2)正态曲线下、横轴上,从均数到 ? ? 的面积为( )。 A.95% B.50% C.97.5% D.不能确定(与标准差的大小有关) (3)某班有 48 名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为 80,标准差为 10,理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ( ) A 32 B 16 C 8 D 20 (4)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为___________ 。 (5)如图,两个正态分布曲线图:
4 3

1 为 ? ?1,? ( x) ,2 为 ? ?2? 2 ( x) ,
1

2

1

则 ?1

?2 ,?1

? 2 (填大于,小于)

1
-4 -2

2
2 4

-1

例 2:甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其 中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (Ⅰ)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. X P Y P 1 a 1 0.3 2 0.1 2 b 3 0.6 3 0.3

例 3:甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 X 和 Y,其分布列如下:

(1)求 a,b 的值; (2)比较两名射手的水平.

例 4:一种赌博游戏:一个布袋内装有 6 个白球和 6 个红球,除颜色不同外,6 个小球完全一样,每次从袋 中取出 6 个球,输赢规则为:6 个全红,赢得 100 元;5 红 1 白,赢得 50 元;4 红 2 白,赢得 20 元;3 红 3 白, 输掉 100 元;2 红 4 白,赢得 20 元;1 红 5 白,赢得 50 元;6 全白,赢得 100 元.而且游戏是免费的.很多人认为 这种游戏非常令人心动,现在,请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。

1

1 答案:B。解析: E? X ? ? np ? 2.4 , V ? X ? ? np(1 ? p) ? 1.44 。 2.答案:B。解析:由正态曲线的特点知。3.答案:B。解析:数学成绩是 X—N(80,102),
90 ? 80 ? ? 80 ? 80 4. P(80 ? X ? 90) ? P ? ?Z ? ? ? P(0 ? Z ? 1) ? 0.3413, 48 ? 0.3413 ? 16 。 10 10 ? ? 答案:8.5。解析:设两数之积为 X,
X P 2 0.1 3 0.1 4 0.1 5 0.1 6 0.1 8 0.1 10 0.1 12 0.1 15 0.1 20 0.1

E(X)=8.5. 5. 答案:<,>。解析:由正态密度曲线图象的特征知。 例 答案:解: (Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ 的概率分布如下: 甲答对试题数ξ 的数学期望 Eξ = 0 ? ξ P 0 1 2 3

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5

(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则 P(A)=
2 1 3 1 3 C6 C 4 ? C6 C82 C2 ? C8 60 ? 20 2 56 ? 56 14 ? = , P ( B )= ? ? . 3 3 120 3 120 15 C10 C10

1 30

3 10

1 2

1 6

因为事件 A、B 相互独立,

方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P A ? B ? P A ? P B ? ?1 ? ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ? 1 ? P A ? B ? 1 ? 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

?

? ?? ??
?

? ?

2 ?? 14 ? 1 ??1 ? ? ? 3 ?? 15 ? 45

?

1 44 ? 45 45

44 . 45

方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

2 1 1 14 2 14 44 ? ? ? ? ? ? 3 15 3 15 3 15 45 44 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 45 P ? P A ? B ? P A ? B ? P? A ? B ? ?
例 答案: (1)a=0.3,b=0.4; (2) EX ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.6 ? 2.3, EY ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.3 ? 2

?

? ?

?

DX ? 0.855, DY ? 0.6 所以说甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙稳定..
答案:设取出的红球数为 X,则 X—H(6,6,12) , P( X ? k ) ? 设赢得的钱数为 Y,则 Y 的分布列为
X P 100 50 20 —100
6?k C6k ? C6 6 C12

,其中 k=0,1,2,?,6

1 462

6 77

75 154

100 231

∴ E(Y ) ? 100 ?

1 6 75 100 。 ? 50 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ?29.44 ,故我们不该“心动” 462 77 154 231

2

【课内练习】 1.标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A.0 与 1 B.1 与 0 C.0 与 0 D.1 与 1 2.正态分布有两个参数 ? 与 ? ,( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A. ? 越大 B. ? 越小 C. ? 越大 D. ? 越小 3.已在 n 个数据 x1 , x2 ,?, xn ,那么 A. ? B. ? C. ?
2

2 1 n xi ? x 是指 ? n i ?1

?

?

D. ? 2 (

) 。

4.设 ? ~ B(n, p) , E ?? ? ? 12 , V ?? ? ? 4 ,则 n 的值是

3 2 5.对某个数学题,甲解出的概率为 ,乙解出的概率为 ,两人独立解题。记 X 为解出该题的人数,则 E 4 3 (X)= 。

6.设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,则下列结论正确的是 (1) P(| ? |? a) ? P(| ? |? a) ? P(| ? |? a)(a ? 0) (2) P(| ? |? a) ? 2P(? ? a) ? 1(a ? 0) (3) P(| ? |? a) ? 1 ? 2P(? ? a)(a ? 0) (4) P(| ? |? a) ? 1 ? P(| ? |? a)(a ? 0)



7.抛掷一颗骰子,设所得点数为 X,则 V(X)= 。 8.有甲乙两个单位都想聘任你,你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:

甲单位 概率
乙单位 概率

1200 0.4 1000 0.4

1400 0.3 1400 0.3

1600 0.2 1800 0.2

1800 0.1 2200 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位并说明理由。

9.交 5 元钱,可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球 10 个,其中有 8 个标有 1 元钱,2 个标有 5 元钱, 摸奖者只能从中任取 2 个球,他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和(设为 ? ) ,求抽奖人获利的数学期望。

10.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6,被甲或乙解出的概率为 0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率; (2)求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差.

3

1.答案:A。解析:由标准正态分布的定义知。2.答案: C。解析:由正态密度曲线图象的特征知。 3.答案:C。解析:由方差的统计定义知。 4. 答案:4。解析: E?? ? ? np ? 12 , V ?? ? ? np(1 ? p) ? 4 5. 答案:
17 1 1 1 2 1 1 4 5 2 3 1 。解析: P( X ? 0) ? ? ? , P( X ? 1) ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 。 12 3 4 12 3 4 3 4 12 3 4 2

1 5 1 17 ∴ E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 。 2 12 2 12 6. 答案:(1),(2),(4)。解析: P(| ? |? a) ? 0 。

7. 答案:

35 7 35 1 。解析: P( X ? k ) ? , k ? 1, 2,?,6 ,按定义计算得 E( X ) ? ,V ( X ) ? 。 12 2 12 6

8 答案: 由于 E(甲)=E(乙) ,V(甲)<V(乙) ,故选择甲单位。 解析:E(甲)=E(乙)=1400,V(甲)=40000,V(乙)=160000。 9..答案:解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B. 设甲独立解出此题的概率为 P1,乙为 P2. 则 P(A)=P1=0.6, P(B)=P2 10.答案:解:因为 ? 为抽到的 2 球的钱数之和,则 ? 可能取的值为 2,6,10.

P(? ? 2) ?
E? ? 2 ?

1 1 2 C82 28 C8 C 2 16 C2 1 , , ? P ( ? ? 6 ) ? ? P ( ? ? 10 ) ? ? 2 2 2 45 C10 45 C10 C10 45

28 16 1 162 18 ? 6? ? 10 ? ? ? 45 45 45 45 5

设 ? 为抽奖者获利的可能值,则? ? ? ? 5 ,抽奖者获利的数学期望为

E? ? E (? ? 5) ? E? ? 5 ?

18 7 7 ? 5 ? ? 故,抽奖人获利的期望为- 。 5 5 5

P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? (1 ? P 1 )(1 ? P 2) ? P 1 ? P 2 ? P 1P 2 ? 0.92 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (6分) (2) P (? ? 0) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P (? ? 1) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P (? ? 2) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
P 0 0.08 1 2 0.48

0.44 E? ? 0 ? 0.08 ? 1? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4 ,

V (? ) ? (0 ? 1.4)2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4)2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4)2 ? 0.48 ? 0.1568 ? 0.0704 ? 0.1728 ? 0.4 ,

或利用 V (? ) ? E(? 2 ) ? ( E? )2 ? 2.36 ?1.96 ? 0.4 。 【作业本】
4

A组 1.袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 X 表示取出球的最大号码,则 E(X)等于 ( ) A、4 B、5 答案:C。解析:X 的分布列为
X P 3 0.1

C、4.5
4 0.3

D、4.75
5 0.6

故 E(X)=3 ? 0.1+4 ? 0.3+5 ? 0.6=4.5。 2.下列函数是正态分布密度函数的是 A. f ( x ) ?


x2



1 2? ? 1 2 2?

? x ? r ?2

e

2?

2? ? 2 B. f ( x ) ? e 2?
D. f ( x) ?

C. f ( x ) ?

? x ?1?2

e

4

1 2?

e

x2 2

答案:B。解析:选项 B 是标准正态分布密度函数。 3.正态总体为 ? ? 0, ? ? ?1 概率密度函数 f ( x) 是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:B。解析: f ( x) ?
1 ? 2? e
? x2 2





。 时达到最高点。

4.已知正态总体落在区间 ?0.2,??? 的概率是 0.5,那么相应的正态曲线在 x ? 答案:0.2。解析:正态曲线关于直线 x ? ? 对称,由题意知 ? ? 0.2 。

5.一次英语测验由 40 道选择题构成,每道有 4 个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得 3 分,选 错或不选均不得分, 满分 120 分, 某学生选对一道题的概率为 0.7, 求该生在这次测验中的成绩的期望为 ; 方差为 。 答案: 84; 75.6。 解析: 设 X 为该生选对试题个数, η 为成绩, 则 X~B (50, 0.7) , η =3X∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4 故 E(η )=E(3X)=3E(X)=84 V(η )=V(3X)=9V(X)=75.6 6.某人进行一个试验,若试验成功则停止,若实验失败,再重新试验一次,若试验三次均失败,则放弃试 验,若此人每次试验成功的概率为 解:X 的分布列为
X P 1 2 3

2 ,求此人试验次数 X 的分布列及期望和方差。 3

2 3

2 9

1 9

2 2 1 13 2 2 1 13 38 故 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? , V ( X ) ? 1? ? 4 ? ? 9 ? ? ( )2 ? 。 3 9 9 9 3 9 9 9 81

7.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中 10 环的概率为 0.5,乙射击一次命中 10 环的概率为 s,若他们 独立的射击两次,设乙命中 10 环的次数为 X,则 EX= 分布列及期望. 答案:解:由已知可得 X ~ B(2, s) ,故 EX ? 2 s ?

4 ,Y 为甲与乙命中 10 环的差的绝对值.求 s 的值及 Y 的 3

4 2 , 所以 s ? . 3 3
5

有 Y 的取值可以是 0,1,2.

1 2 1 2 1 , 2 3 36 1 1 1 1 2 1 1 2 2 甲、乙两人命中 10 环的次数都是 1 次的概率是 ( ? ? ? )( ? ? ? ) ? , 2 2 2 2 3 3 3 3 9 1 1 2 2 1 甲、乙两人命中 10 环的次数都是 2 次的概率是 ( ? )( ? ) ? 2 2 3 3 9 1 2 1 13 ? ? ? 所以 P (Y ? 0) ? ; 36 9 9 36 1 2 1 2 1 甲命中 10 环的次数是 2 且乙命中 10 环的次数是 0 次的概率是 ( ) ? ( ) ? , 2 3 36 1 1 2 2 1 甲命中 10 环的次数是 0 且乙命中 10 环的次数是 2 次的概率是 ( ? )( ? ) ? 2 2 3 3 9 1 1 5 1 ? ? 所以 P(Y ? 2) ? ,故 P (Y ? 1) ? 1 ? P (Y ? 0) ? P (Y ? 2) ? 36 9 36 2
甲、乙两人命中 10 环的次数都是 0 次的概率是 ( ) ? ( ) ? 所以 Y 的分布列是 Y P 1 2 3

13 36

1 2 7 。 9

5 36

所以 Y 的期望是 E(Y)=

8.一软件开发商开发一种新的软件,投资 50 万元,开发成功的概率为 0.9,若开发不成功,则只能收回 10 万元的资金,若开发成功,投放市场前,召开一次新闻发布会,召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费 10 万元,召开新闻发布会成功的概率为 0.8,若发布成功则可以销售 100 万元,否则将起到负面作用只能销售 60 万 元,而不召开新闻发布会则可能销售 75 万元. (1)求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. (2)求开发商盈利的最大期望值.

答案:解: (1)设 A=“软件开发成功” ,B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概 率是 P(AB)=P(A)P(B)=0.72. (2)不召开新闻发布会盈利的期望值是 E1 ? ?40 ? (1 ? 0.9) ? (75 ? 50) ? 0.9 ? 18.5 (万元); 召开新闻发布会盈利的期望值是

E2 ? ?40? (1 ? 0.9) ? (100? 50) ? 0.72 ? 0.9 ? (1 ? 0.8) ? (60 ? 50) ? 10? 0.9 ? 24.8 (万元)
故开发商应该召开新闻发布会,且盈利的最大期望是 24.8 万元..

B组 1.某产品的废品率为 0.05,从中取出 10 个产品,其中的次品数 X 的方差是 (
6



A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5 )0 1? 5 0 . 0 5 9 . 05 7 4 . 0? 答案:B。解析:X—B(10,0.05) ,V (X 2.若正态分布密度函数 f ( x) ?
1 2? e
?

?

?

。 ( )

? x ?1?2
2

, ( x ? R) ,下列判断正确的是

A.有最大值,也有最小值 B.有最大值,但没最小值 C.有最大值,但没最大值 D.无最大值和最小值 答案:B。 3 .在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布 (100,36) ,那么考试成绩在区间 ?88,112 ? 内的概率是 ( ) A.0.6826 B.0.3174 C.0.9544 D.0.9974 答案:C。解析:由已知 X—N(100,36) , 88 ? 100 112 ?100 故 P(88 ? X ? 112) ? P( ?Z? ) ? P(?2 ? Z ? 2) ? 2P(Z ? 2) ? 1 ? 0.9544 。 6 6 4.袋中有 4 个黑球,3 个白球,2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球得 0 分,每取到一个白球得 1 分,若取到一个红球则得 2 分,用 X 表示得分数,则 E(X)=________;V(X)= _________. 答案:

14 165 ; 。解析:由题意知,X 可取值是 0,1,2,3,4。易得其概率分布如下: 9 162
X P 0 1 2 3 4

1 1 1 11 1 6 3 6 36 36 1 1 1 14 11 1 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = 6 3 6 9 36 36
1 2 1 1 11 1 165 ? 14 ? 2 2 2 V(X)= 0 × + 1 × + 2 × +3 × +4 × -? ? = 162 6 3 6 36 36 ? 9 ?
2

2

注:要求次品数的数学期望与方差,应先列出次品数 X 的分布列。 5. 若随机变量 X 的概率分布密度函数是 ? ? ,? ( x) ?

1 2 2?

e

?

? x ? 2 ?2
8

则 E (2 X ? 1) = , ( x ? R) ,



答案:-5。解析: ? ? 2, ? ? ?2, E (2 X ? 1) ? 2E ( X ) ? 1 ? 2 ? (?2) ? 1 ? ?5 。 6.一本书有 500 页,共有 100 个错字,随机分布在任意一页上,求一页上错字个数 X 的均值、标准差。 解:∵X—B (100,
1 1 1 1 ),? E( X ) ? 100 ? ? 0.2, V ( X ) ? 100 ? ? (1 ? ) ? 0.1996 500 500 500 500

X 的标准差 ? ? V ( X ) ? 0.04468 。 7.某公司咨询热线电话共有 10 路外线,经长期统计发现,在 8 点至 10 点这段时间内,外线同时使用情况 如下表所示: 电话同时打入次数 X 概率 0 0.13 1 0.35 2 0.27 3 0.14 4 0.08 5 0.02 6 0.01 7 0 8 0 9 0 10 0

若这段时间内,公司只安排 2 位接线员(一个接线员只能接一部电话). (1)求至少一路电话号不能一次接通的概率; (2)在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通,那么公司形象将受到损 害,现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”,,求这种情况下公司形象的“损害度”;
7

(3)求一周五个工作日的时间内,同时打入电话数 X 的数学期望. 答案:解:(1)只安排 2 位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25; (2) “损害度” C 5 ( ) ( ) ?
3 3 2

1 4

3 4

45 ; 512

(3)一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是 4.87,所以一周内 5 个工作日打入电话数的期望是 24.35.. 8.一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为 35.6 小时、标准差为 4.4 小时的正态分布,随机从这 批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率是多少? 答案:解:电池的使用寿命 X—N(35.6,4.42) X ? 35.6 40 ? 35.6 则 P( X ? 40) ? P( ? ) ? P(Z ? 1) ? 1 ? P(Z ? 1) ? 0.1587 4.4 4.4 即这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率是 0.1587。

8


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