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考点4 函数y=Asin(wx+¢)的图像、三角函数模型的简单应用


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+¢)的图像 考点 4 函数 y=Asin(wx+¢)的图像、三角函数模型的简单应用 ( +¢)的图像、
1 . (2010 莘 县 高 一 检 测 ) 如 下 图 所 示 : 某 地 一 天 从 6 ~ 14 时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 :

f ( x ) = A sin(ωx + ? ) + b , x ∈ [6,14] ,则这段曲线的解析式为(

) 。

A. f ( x ) = 12 sin(

3π π 3π ) + 12 ) + 12 B. f ( x ) = 6 sin( x + 8 4 8 4 1 3π 1 3π ) + 12 ) + 12 C. f ( x ) = 6 sin( x + D. f ( x ) = 12 sin( x + 8 4 8 4 18 ? 6 2π π 解析】 = 6 , T = 2(14 ? 6) = 16, ω = = 。 【解析】选 B。 b = 12, A = 2 16 8 π 5π 3π 由(10,12)得 × 10 + ? = kπ ,∴? = kπ ? , k ∈ Z ,令 k = 2 得 ? = 。 8 4 4 π 3π ) + 12 。 故 f ( x ) = 6 sin( x + 8 4 x+
2.(2010 喀左高一检测)函数 y = 2sin(2 x ?

π

π

A. [ kπ ?

5π ](k ∈ Z ) 6 6 π 5π C. [ kπ ? , kπ + ](k ∈ Z ) 12 12 , kπ +

π

【解析】选 C。令 2kπ ? 解析】 ∴单调区间为 [ kπ ?

π

π
12

2

≤ 2x ?

π

5π ](k ∈ Z ) 6 6 π 5π D. [2kπ ? , 2kπ + ](k ∈ Z ) 6 12
B. [2kπ ?

3

) 的单调增区间为(



π

, 2k π +

, kπ +

5π ](k ∈ Z ) 。 12

3

≤ 2 kπ +

π

2

,解得 kπ ?

π

12

≤ x ≤ kπ +

5π , 12

3.(2010 吉林高一检测) 函数 f ( x ) = sin(ω x + A、关于点 ( ,) 0 对称

π
3

)(ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数的图象(



π

4

B、关于点 ( ,) 0 对称

π

C、关于直线 x =

π
3

3

对称

D、关于直线 x =

π
4

对称
1

【解析】选 B。 T = 解析】



ω

= π , ω = 2 。把选项 A、B 代入验证。对于选项 C、D 把 x 代入后应该取得最值。

4.(2010 南京高一检测)如图是函数 y=Asin(ωx+φ)+2 的图象的一部分,它的振幅、 周期、初相各 是( )

4π π ,φ=- 3 6 2π 3π ,φ=- (C)A=1,T= 3 4
(A) A=3,T= 【解析】选 B。 解析】

(B) A=1,T= (D)

4π 3π ,φ=- 3 4 4π π A=1,T= ,φ=- 3 6

5.(2010 上海高一检测)要得到函数 y = cos(2 x ? (A)左平移

π
4

) 的图象,只要将函数 y = cos 2 x 的图象 (
(D) 右平移



π
8

(B)右平移

π
8

(C) 左平移

π
4

π
4

【解析】选 B。 解析】 6.(2010 宿州高一检测)若不等式 log a x > sin 2 x( a > 0, a ≠ 1) ,对于任意 x∈(0, π ] 都成立,则实数 a 的取

4

值范围是( A. (0, π )

) B. ( π ,1)

4

4

C. ( π , π )

4 2

D. (0,1)

?0 < a < 1 π ? 【解析】选 B。 ? 解析】 ,解得 < a < 1 。 π 4 ?log a 4 > 1 ?
7.(2010 阜阳高一检测)要得到函数 y = 的点的( )

2 cos x 的图象,只需将函数 y = 2 sin(2 x +

π
4

) 的图象上所有

(A)横坐标缩短到原来的

1 π 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 π (B)横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4
(C)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动

π π

4

个单位长度 个单位长度

8

2

【解析】选 C。 y = 解析】

2 cos x = 2 sin( x + ) 。 2 π 8.(2010 杭州高一检测). 函数 f ( x ) = tan( + x ) 的单调增区间为 ( 4 3π π π 3π A. ( kπ ? B. ( kπ ? , kπ + , kπ + ), k ∈ Z ), k ∈ Z 4 4 4 4 π π C. ( kπ ? , kπ + ), k ∈ Z D. ( kπ , ( k + 1)π ), k ∈ Z 2 2

π



【解析】选 A。 解析】 9. (2010 温州高一检测)已知函数 y = A sin(ω x + ? ) + B( A > 0, ω > 0,| ? |< π ) 的周期为 T,在一个周期内的图 2 像如图所示,则正确的结论是( A. A = 3, T = 2π C. T = 4π , ? = ? )

B. B = ?1, ω = 2

π
6

D. A = 3, ? =

π
6

y 2
? 2π 3

O

4π 3

x

-4

【解析】选 C。 解析】 10.(2010 重庆高一检测)将 y = sin 4 x 的图象向左平移 则 ? 等于 ( A、 ? ) B、 ?

π
12

4 个单位,得到 y = sin( x +?) 的图象,

π
12

π
3

C、

π
3

D、

π
12

【解析】选 C。 解析】 11.(2010 绵阳高一检测) 下列函数中,最小正周期为 π ,且图像关于直线 x = A. y = sin( 2 x ? C. y = sin( 2 x + 【解析】选 B。 解析】 12. (2010 长春高一检测)将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 的函数解析式是( A. y = cos 2 x 【解析】选 B. 解析】
3

π
3

对称的是(



π π
3 6

) )

B. y = sin( 2 x ? D. y = sin(

π
6

)

x π + ) 2 6

π
4

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象

) C. y = 1 + sin(2 x +

B. y = cos 2 x + 1

π
4

)

D. y = 2sin 2 x

13. (2010 上海高一检测)将函数 y = 3 sin 2 x 的图像向左平移 【解析】 解析】 答案: 答案: y = 3 sin( 2 x +

π
8

个单位得到图像的解析式为_______.

π

) 4 。
π
2 ) 的图像如图所示,则该函数

14.(2010 福州高一检测)已知函数 y = A sin(ω x + ? ) , ( A > 0 , ω > 0 , | ? |< 的解析式为____________.

y
2 1

O
-2

x

答案: 答案: y = 2 sin( 2 x +

π

) 6 。

15.(2010 喀左高一检测)函数 y = 3sin(2 x ?

π

? π 3π ? ), x ∈ ? , ? 的值域是 3 ?3 4 ?

π π π 4π π ? π 3π ? y = 3sin(2 x】因为 x ∈ ? , ? ,所以 2 x ? ∈ [ , ] 。由正弦函数的图象可知 3sin(2 x ? ) ∈ [ ? 3 3 ,3] 。 解析】 【解析 ? ), 3 3 3 3 3 ?3 4 ? 2
答案: 答案: [ ?

3 3 ,3] 2

π 16.(2010 上海高一检测)函数 y = tan(2 x ? ) 的周期为_________。 3
【解析】函数 y = tan(2 x ? 解析】 答案: 答案:

π
3

) 加绝对值后周期不变。

π
2

17.(2010 阜阳高一检测).函数 y=sin(2x+ 【解析】 解析】 答案: 答案:x=

π
4

)的图象的一条对称轴是

π
8

π? ? ? 2x + ? 3 ? (x∈R),有下列命题: 18. (2010 西安高一检测)关于函数 f (x ) = 4sin ?

π ); ①函数 y = f (x ) )的表达式可改写为 y = 4cos(2x 6
4

②函数 y = f (x ) 是以 2π 为最小正周期的周期函数;
? π ? 0 ?? , ? ③函数 y = f (x ) 的图象关于点 ? 6 ? 对称;

π 对称. ④函数 y = f (x ) 的图象关于直线 x = 6 其中正确的是______________. 答案: 答案:①③。 19.(2010 郑州高一检测)函数 f ( x) = 3 cos(2 x ? 所有正确结论的编号) . ①图象 C 关于直线 x =
5π 6

) 的图象为 C ,如下结论中正确的是_________(写出

11π 对称; 6

②图象 C 关于点 ?

? 2π ? ,? 对称; 0 ? 3 ?
? ? π 5π ? , ? 内是增函数; 12 12 ?

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

④由 y = 3sin 2 x 的图像向右平移 答案: 答案:②③

π 个单位长度可以得到图象 C . 3

20. (2010 济宁高一检测) 已知函数 f ( x ) = 2 sin( 立,则 x1 ? x2 的最小值是_______ 答案: 答案:2

π

x + ) ,若对任意 x ∈ R 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) 成 2 5

π

21.(2010 喀左高一检测)设函数 f ( x ) = A sin(ωx + ? )( A > 0, ω > 0, | ? |<

) 的最高点 D 的坐标为 2 π 3π ( ,2 ) ,由最高点 D 运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为( ,0 ) ; 8 8
(1)求函数 f ( x ) 的解析式. (2) x ∈ ?? 当 的值.

π

? π π? 求函数 f (x ) 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量 x , ? 时, ? 4 4?

π (3)将函数 y = f (x ) 的图象向右平移 4 个单位,得到函数 y = g (x ) 的图象,求函数 y = g (x ) 的单调
减区间. (1)∵由最高点 D( 【解析】 解析】

π
8

,2 )运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为(

3π ,0 ) ,∴ 8
5

? T 3π π ?4 = 8 ? 8 ? , ?A = 2 ? π π ?ω ? + ? = 2 ? 8

…………………2 分

从而 T = π , ω =

π 2π = 2 ,? = T 4

………………3 分

∴ 函数解析式为 f ( x ) = 2 sin( 2 x +

π π
4 4

) ),

………………4 分

(2)由(1)得函数 y = 2 sin( 2 x + 当 x ∈ ??

π ? π 3π ? ? π π? , ? 时, 2 x + ∈ ?? , ? . 4 ? 4 4? ? 4 4? π
4 = =?

………………5 分

∴当 2 x + 当 2x +

π
4

,即 x = ?

π
4

时,函数 y 取得最小值 ?

2 . ………………7 分
………………9 分

π
4

π
2

,即 x =

π
8

时,函数 y 取得最大值 2.

(3)由题意得, g ( x ) = 2 sin[ 2( x ?

) ,…………10 分 4 4 4 π π 3π 3π 7π , kπ + 由 2 x ? ∈ [ 2kπ + ,2kπ + ](k ∈ Z ) 得, x ∈ [kπ + ](k ∈ Z ) 4 2 2 8 8
…………………11 分 即 y = g (x ) 的单调减区间为 [ kπ +

π

)+

π

] ,∴ g ( x) = 2 sin(2 x ?

π

3π 7π , kπ + ](k ∈ Z ) . 8 8

…………………12 分

22.(2010 上海高一检测)已知函数 y = 2 sin( 2 x + (1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它一个周期的大致图象; (3)说明 y = 2 sin( 2 x +

π

3

)。

π
3

) 的图象可由 y = sin x 的图象经过怎样的变换而得到? 2π π = π ,初相 。 2 3

(1)振幅 2,周期 【解析】 解析】 (2)略 (3)把 y = sin x 向左平移

π
3

,横坐标变为原来的

1 ,纵坐标变为原来的 2 倍。 2

23.(2010 三明高一检测)已知某海滨浴场的海浪高度 y(单位:米)与时间 t(0≤t≤24) (单位:时)的 函数关系记作 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,函数 y=f(t)可近似地看成是函数 y = A cos ωt + b 。
6

(1)根据以上数据,求出函数 y = A cos ωt + b 的最小正周期 T 及函数表达式(其中 A>0,ω>0) ; (2)根据规定,当海浪高度不低于 0.75 米时,才对冲浪爱好者开放,请根据以上结论,判断一天内 从上午 7 时至晚上 19 时之间,该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放?
y= 1 π cos( t ) + 1 2 6 。

(1)T=12, 【解析】 解析】

……4 分

1 π 3 π 1 cos( t ) + 1≥ cos( t ) ≥ ? 6 4, 6 2, (2) 2

……6 分

2 π 2 2k π ? π ≤ t ≤ 2kπ + π 3 6 3 (k∈Z)即 12k ? 4 ≤ t ≤12k + 4 (k∈Z) ……10 分 ∴ ,

由 7≤t≤19,得 8≤t≤16,知该浴场有 8 小时可向冲浪爱好者开放。

……12 分

24.(2010 凌 海 高 一 检 测 ) 我 们 把 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 函 数 y = f ( x ), x ∈ D 上 的 点 P ( x, y ) , 满 足

x ∈ N ? , y ∈ N ? 的点称为函数 y = f ( x) 的“正格点” 。
⑴请你选取一个 m 的值,使对函数 f ( x) = sin mx, x ∈ R 的图像上有正格点,并写出函数 的一个正格点坐标。 ⑵若函数 f ( x) = sin mx, x ∈ R , m ∈ (1, 2 ) 与函数 g ( x) = lg x 的图像有正格点交点,求 m 的值,并写出两个函数图像的所有交点个数。 ⑶对于⑵中的 m 值,函数 f ( x ) = sin mx, x ∈ ? 0, ? 时,不等式 log a x > sin mx 恒成立, 9 求实数 a 的取值范围。 (1)若取 m = 【解析】 解析】

? 5? ? ?

π
2

时,…………………………………………………………1 分

正格点坐标 (1,1) ( 5,1) , ( 9,1) 等(答案不唯一)……………3 分 (2)作出两个函数图像,

可知函数

f ( x) = sin mx, x ∈ R
,与函数

g ( x) = lg x
的 图 像 有 正 格 点 交 点 只 有 一 个 点 为

(10,1) ,……………………………………………………………………5 分
7

∴ 2 kπ +

π
2

= 10m, m =

Q m ∈ (1, 2 ) 可得 m =

9π 。…………………………………………………7 分 20

4k + 1 π ,(k ∈ Z ) 20

根据图像可知:两个函数图像的所有交点个数为 5 个。………………………9 分 (答 4 个扣 1 分)

(3)由(2)知 f ( x ) = sin

9π ? 5? x, x ∈ ? 0, ? , 20 ? 9?

ⅰ)当 a > 1 时,不等式 log a x > sin mx 不能成立………………10 分 ⅱ)当 0 < a < 1 时,由图(2)像可知 log a

5 π 2 > sin = …………………11 分 9 4 2

?5? ? ? ?9?

2

< a < 1 …………………………………………………………………12 分

25.(2010 东莞高一检测)设函数 f ( x) = A sin(ωx + ? )( A > 0, ω > 0, | ? |<

π
2

) 的最高点 D 的坐标为



π
8

,2 ) ,由最高点 D 运动到相邻最低点时,函数图形与 x 轴的交点的坐标为(

3π ,0 ). 8

(1)求函数 f (x ) 的解析式; (2) x ∈ ?? 当 的值;

? π π? 求函数 f (x ) 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量 x , ? 时, ? 4 4?

(3)将函数 y = f (x ) 的图象向右平移 (1)∵由最高点 D( 【解析】 解析】
? T 3π π ?4 = 8 ? 8 ? , ?A = 2 ? π π ?ω ? + ? = 2 ? 8

π
4

个单位,得到函数 y = g (x ) 的图象,求函数 y = g (x ) 的单调

π
8

,2 )运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为(

3π ,0 ) , 8



…………………2 分

从而 T = π , ω =

π 2π = 2 ,? = T 4

…………………4 分

8

∴ 函数解析式为 f ( x ) = 2 sin( 2 x +

π π
4 4

) ),

…………………5 分

(2)由(1)得函数 y = 2 sin( 2 x + 当 x ∈ ??

π ? π 3π ? ? π π? , ? 时, 2 x + ∈ ?? , ? . 4 ? 4 4? ? 4 4? π
4 = =?

…………………6 分

∴当 2 x + 当 2x +

π
4

,即 x = ?

π
4

时,函数 y 取得最小值 ?

2 . …………………8 分
…………………10 分

π
4

π
2

,即 x =

π
8

时,函数 y 取得最大值 2.

(3)由题意得, g ( x ) = 2 sin[ 2( x ?

) ,……………12 分 4 4 4 π π 3π 3π 7π 由 2 x ? ∈ [ 2kπ + ,2kπ + ](k ∈ Z ) 得, x ∈ [kπ + , kπ + ](k ∈ Z ) 4 2 2 8 8
…………………13 分 即 y = g (x ) 的单调减区间为 [ kπ +

π

)+

π

] ,∴ g ( x) = 2 sin(2 x ?

π

3π 7π ](k ∈ Z ) . , kπ + 8 8

…………………14 分

9


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