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2015


遵义航天高级中学 2016 届高三第一次模拟数学(理)试题及答 案 Word 版
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {1, 2} , B ? {x | ax ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的值是( ) A. 3 B. 0,3 C.

3 ,3 2
C、s ?

D. 0, ,3

3 2

2.执行如图所示的程序框图,若输出 K 的值为 8,则判断框中可填入的条件是( ) A、s ?

3 4

B、s ?

5 6

11 12

D、s ?

15 24

(第 2 题图) 3、函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是( 2



4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? ? CE ,若 AD ? BE ? ? 则 ? 的值为( ) (A)

??? ?

??? ?

??? ?
1 3

??? ?

???? ??? ?

1 , 4

1 2

(B) 2

(C)

(D) 3

1 1 主视图 1 1 俯视图 1 侧视图

5、已知某几何体的三视图右图 5 所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正 方形,俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是 ( ) . (B) 1

(A) 2

1 (C) 2

1 (D) 3

6.若 a, b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0 ? 的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可
2

适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 P+q 的值等于( A.6 B.7 C.8 D.9



7、将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,则 每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为( )种。 (A)150 (B)180 (C)240 (D)540

8.已知错误!未找到引用源。 ,函数 f(x)=sin(错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。) 在(错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 )上单调递减,则错误!未找到引用源。 的取值范围是( ) A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , ? 2 4

?1 5? ? ?

C. (0, ]

1 2

D. (0, 2]

9、设错误!未找到引用源。为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件 为 (A) ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 10.设函数 f ? x ? ? ? 是( ) (B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

?3 x ? 1, x ? 1 ?2 , x ? 1
x

, 错误!未找到引用源。则满足 f ? f ? a ? ? ? 2 f ? a ? 的 a 取值范围

(A) ? ,1?

?2 ? ?3 ?

(B) ? 0,1?

(C) ? , ?? ?

?2 ?3

? ?

(D) ?1, ?? ?

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为直径的圆被直 a 2 b2
) D. 2

线

x y ? ? 1 截得的弦长为 6 a,则 双曲线的离心率为( a b
B.2 C. 3

A.3 12.定义在 (0, 则( )

?
2

) 上的函数 f ( x) , f '( x) 是它的导函数,且恒有 f '( x) ? f ( x) ? tan x 成立。

A. 3 f ( ) ? f ( )

?

?

6

3

B. 3 ? f ( ) ? 2 cos1 ? f (1)

?

6

C. 6 f ( ) ? 2 f ( )

?

?

6

4

D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

4

3

二、填空题(每小题 5 分,共 60 分) 13、若“ ?x ? ? 0, 14、 ( x ?

? ?? , tan x ? m ”是真命题,则实数 m 的最小值为 ? 4? ?
. (用数字表示)

1 4 ) 的展开式中常数项为 3x
2

15. 设函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,若

?

3

0

f ( x)dx ? 3 f ( x0 ) ,则 x0 ? _______

16、如图,已知圆 M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方 形,E、F 分别为 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动,错误!未找 到引用源。.错误!未找到引用源。的最大值是__ 三、解答题: 17(12 分)、△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值 . 18(12 分) .一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个 .. 作为样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ?5,15? ,?15,25? ,? 25,35? ,? 35,45? , 由此得到样本的重量频率分布直方图(如右图) , (Ⅰ)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均 值; (Ⅱ)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 ?5,15? 内的小球个数为

X ,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
19(12 分) 、在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,D? 是棱 A?C ? 的中点,且 AA? ? 2 2 . (Ⅰ)试在棱 CC ? 上确定一点 M ,使 A?M ? 平面

A?

AB?D? ;
(Ⅱ)当点 M 在棱 CC ? 中点时,求直线 AB? 与平面 A?BM 所成正弦值.

D?
B?
C?

20(12 分) 、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 心率为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离 a 2 b2
B

M A C

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB, 求直线 AB 的方程.

21、已知函数 f(x)=lnx-kx+1 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)错误!未找到引用源。恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 n 错误!未找到引用源。1)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题计分。作答时 请写清题号。 (共 10 分) 22、如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点,

(1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ=6,AC=5.求弦 AB 的长.

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 23、在直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点,x 轴 ?y ? 3 t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (I)写出圆 C 的直角坐标方程; (2)p 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 24、已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? x ?1 . (Ⅰ)当 a ? 3 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

一模理科数学答案
一、选择题:DCBDC DABDC DA
15、 ? 3 16 、6

二、填空题:13、1 14 错误!未找到引用源。

三、解答题: 17、解:(1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 a=c 时等号成立, 1 ∴cos B 的最小值为 . 2 18、 (1)由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018 ? ? 10 ? 1 ,解得 a ? 0.03 …1 分 又由最高矩形中点的的横坐标为 20,可估 计盒子中小球重量的众数约为 20(克) ,……2 分 而 50 个样本小球重量的平均值为:X ? 0.2 ? 10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6 (克) 故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克;……4 分 (Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 ? 5,15? 内的概率为 0.2 ,……5 分 则 X ? B (3, ) . X 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,………6 分

1 5

64 48 ?1? ?4? 1?1? ? 4? , P ? X ? 1? ? C3 , P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3

0

3

2

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? ?4? , P ? X ? 3? ? C3 . …10 分 P ? X ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
?X 的 分 布 列 X
0

2

3

0

1
48 125

2
12 125

3

为:

P

64 125

1 125

? EX ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? ………………12 分 125 125 125 125 5

19、解析: (Ⅰ)取 AC 边中点为 O

∵底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,∴ OB ? AC 连接 OD ? , ∵ D ? 是边 A?C ? 的中点 ∴ OD ? ? AC , OD ? ? OB

所以可以建立以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴, OD ? 为 z 轴如图所示的坐标系 , 则有 O(0,0,0) , A(0,?1,0) , B( 3 ,0,0) , C (0,1,0) , B ?( 3 ,0,2 2 ) , A?(0,?1,2 2 ) ,
D ?(0,0,2 2 ) , C ?(0,1,2 2 )

设 M (0,1, t ) ,则 A?M ? (0, 2, t ? 2 2) , AD? ? (0,1, 2 2) , AB? ? ( 3,1, 2 2) 若 A?M ? 平面AB ?D ? ,则有 A?M ? AD ? , A?M ? AB?

?????

???? ?

????

????? ???? ? ? ? A?M ? AD? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0 ∴ ? ????? ???? ? ? A?M ? AB? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0
即当 CM ?
3 2 时, A?M ? 平面AB ?D ? . 2

可得 t ?

3 2 2

(Ⅱ) 当点 M 在棱 CC ? 中点时: M (0,1, 2 )
? ∴ BM ? (? 3 ,1, 2 ) , A?M ? (0,2,? 2 ) ,设平面 A?BM 的一个法向量 n ? ( x, y, z )

???? ? ? ? ? BM ? n ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 ∴ ? ????? ? ? ? A?M ? n ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0
? ∴ n ? ( 3 ,1, 2 )

令 z ? 2 ,得 y ? 1 , x ? 3

设直线 AB ? 与平面 A?BM 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n , AB? ?| ?
20、 (1)由题意,得 解得 a

? ????

2 2 3

c 2 ? a 2

且c ?

a2 ? 3, c

? 2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1 .………………………..5 分 2

所以椭圆的标准方程为

(2)当 ?? ?

x 轴时, ?? ? 2 ,又 C? ? 3 ,不合题意.
y ? k ? x ? 1? , ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,
? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得

?1 ? 2k ? x
2

2



x1,2 ?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

, C 的坐标为 ?
2

? 2k 2 ?k ? , ,且 2 2 ? ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?
2 2

?? ?
若k

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

?1 ? k ? ? x

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.

……………………………………..12 分 21、 (每问 4 分) (1)由题可知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),则 f′(x)=1/x?k ①当 k≤0 时,f′(x)=1/x?k>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数 ②当 k>0 时,若 x∈(0,1/k)时,有 f′(x)=1/x?k>0,若 x∈(1/k,+∞)时,有 f′(x)=1/x?k<0,则 f(x) 在(0,1/k)上是增函数,在(1/k,+∞)上是减函数 (2)由(1)知当 k≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数 而 f(1)=1-k>0,f(x)≤0 不成立 故 k>0 又由(1)知 f(x)的最大值为 f(1/k),要使 f(x)≤0 恒成立,则 f(1/k)≤0 即可 ∴-lnk≤0,∴k≥1

22、解析: (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴AC=BC=5 由切割线定理得: ∴ ?BAC ? ?CBA

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC
∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ------------5 分

(2) 由 AC =BC=5,AQ=6 及(1) , 知 QC=9 由 ?QAB ? ?ACQ ∴ 知 ?QAB ∽ ?QCA ∴

AB QA ? AC QC

AB ?

10 . 3

----------10 分

23、解析: (I)由 ? ? 2 3 sin ? , 得 ? 2 ? 2 3? sin ? , 从而有 x 2 +y 2 ? 2 3 y ,所以 x + y ? 3
2

?

?

2

? 3.
2

2 ? 1 ? ? 3 1 3 ? (II)设 P (3 ? t, t ? 3? ? t 2 ? 12 , t) ,又 C(0, 3) ,则 | PC |? ? 3 ? t ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

故当 t ? 0 时, ?C 取最小值,此时 ? 点的直角坐标为 ? 3, 0 ? .


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