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一元二次不等解法(二)高次、分式不等式


一元二次不等式的解法(二)

分式不等式、高次不等式 及其解法

1

复 习

解一元二次不等式的 程序是什么??

化标准、计算? 、 画草图、 求根 、 写解

2

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac

/>y=ax2+bx+c (a>0)的图象

△>0 y x1 O x2 x

△=0
y

△<0
y

O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

x

O 没有实根

x

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2}

有两相等实根 b x1=x2= ?
2a

{x|x≠ ?

b

}

2a

R Φ
3

{x|x1< x <x2 }

Φ

结论:当 a

? 0



若ax2+bx+c=0的根是

x1, x2
x< x1或 x>x2;

1.ax2+bx+c>0的解集 是

2. ax2+bx+c<0的解 集是

x1<x<x2 。

3.口诀:大于零取两边,小于零取中间。

4

说出不等式的解 1. (x -1)(x-2)>0

2. (x +1)(x-3)<0
3. (x +5)(x-7) ≥0 4. x (x-9) ≤0
5

5. x2+3x >0
6. x2-5x<0

7. x2 -x-2>0
8. x2 -2x - 8<0

6

分式不等式的解法

7

例1:求下列分式不等式的解集
x ?1 x?2 ?0

解:原不等式可化为 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0的根是 x1 ? ?2, x2 ? 1

? 原不等式的解集为 {x | ?2 ? x ? 1}
8

练习:求下列分式不等式的解集

1.

x?2 x ?1

?0

2.

x?2 2x ? 3

?0

3.

2x ?1 x?3

?0

9

结论:
① x?a x?b ? 0 ?

(x-a)(x-b)>0(a<b)

的解集是{x│x<a或x>b};



x?a x?b

? 0 ? (x-a)(x-b)<0(a<b)

的解集是{x│a<x<b}.

+
a



+ b
10

例2 解不等式

x?3 x?7

?1

11

归纳:分式不等式的解法:

12

高次不等式的解法

13

例3:解不等式(x-1)(x-2)(x-3) >0
分析:这是一个一元三次不等式,我们还是利用对函数图像的分 析来解决这个问题.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). (1)显然,y=f(x)的图像与x轴的交点有三个,它们的坐标依次是

(1,0), (2,0), (3,0); (2)函数y=f(x)的图像把x轴分成了四个不相交的区间, 它们依
次是(-∞,1),(1,2),(2,3),(3,∞);

O

1

2

3

x
14

(3)当x>3时,f(x)>0.又函数y=f(x)的图像是一条不间断的曲线,
并且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化, 由此知道f(x)的符号如图所示. 所以不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为(1,2)∪(3,∞).

+
-

+

15

如果把函数y=f(x)的图像与x轴的 交点(1,0), (2,0), (3,0)形象 地看作”针眼”,函数y=f(x)的图

像看成”线”,那么上述这种求
解不等式的方法,我们形象地把 它称为穿针引线法.
16

例 7 解 不 等 式 ( x ? 1)( x ? x ? 6 ) ? 0 .
2

解:原不等式

? ( x ? 1)( x ? 3 )( x ? 2 ) ? 0

? ( x ? 2 )( x ? 1)( x ? 3 ) ? 0
?

.
-2

?

1

.

?

.

?

3

∴原不等式的解集为:
{ x | x ? ? 2, 1 ? x ? 3}. 或
17

例5:解不等式 x(x-3)(2-x)(x+1)>0.? 解:①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)<0 ? ②求得相应方程的根为-1,0,2,3;?
③在数轴上表示各根并穿线(自右上方开始)
?

④原不等式的解集为{x|-1<x<0或2<x<3}.?

18

例 6: 解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.?
解:①检查各因式中x的系数均正;? ②求得相应方程的根为-1,2,3

(注意:2是二重根,3是三重根);?
③在数轴上表示各根并穿线,每个根 穿一次(自右上方开始),如下图 :?

④原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}.?

19

穿针引线法(数轴标根法)解不等式的步骤:? ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)的形式,

并将各因式x的系数化“+”?
②求根,并在数轴上表示出来(注意空心?实心?)?

③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点?
④若不等式是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若 不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. ? 穿线的原则:奇穿偶不穿
20

例7

解不等式:

? x ? 1 ?? 2 ? x ? ? x ? 3 ?? 4 ? x ?

?1

? x ? 1 ?? x ? 2 ? 解:原不等式化为: ? x ? 3 ?? x ? 4 ? ? 1 ?

0

即 ? x ? 3 ?? x ? 4 ? ? 0
+ - · 5
2

4 x ? 10

? ? 4 x ? 10 ?? x ? 3 ?? x ? 4 ? ? 0 ? ? x ? 3 ?? x ? 4 ? ? 0 ?

+ 3 · - · 4
? 5 2
21

x
, 或 3 ? x ? 4}

∴原不等式的解集为: { x | x

作业
x ? 3x ? 2
2

解不等式:1、

x ? 2x ? 3
2

? 0

x?3
2、

x?5
2 2

>2
?1

3、

5 x ? 10 x ? 3 3x ? 7 x ? 2

22


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