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2.4 平面向量的数量积


平面向量的数量积 及运算律

一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作 λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则 有: ①λ(μa)=

(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则 ∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量a与b的夹 角。
B

O

θ
A

特殊情况
θ=0° θ=180°

θ =90°

当θ=0°时,a与b同向
O

B

A

当θ=180°时,a与b反向。
O

B

A

B

θ
O A

θ =90°,a与b垂直,记作a⊥b。

我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产 生位移s(如图)
F
S θ

力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。

OA=a, OB=b,过点B作BB1垂直于直线OA, 垂足为B1,则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 b B A

O

θ |b|cosθ B1 a
θ=0°

投影也是一个数量,不是向量;

θ=90°

θ=180° θ为钝角时

θ为锐角时

当θ=0°时,|b|cosθ是|b|
O B A

当θ=180°时, =|b|cosθ是-|b|。
O
B A

当θ=90°, |b|cosθ是0。

B

θ
O A

B

b

O

θ a
B1

A

当θ为锐角时, |b|cosθ是正值;

B

θ
B1
O A

当θ为钝角时, |b|cosθ是负值;

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。

当θ =90°时a· b为零。

探究:两个向量的数量积与向量同实数积有那些
区别?
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定。 (2)两个向量的数量积称为内积,写成a?b;符号“· ”在 向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若a?0,且a?b=0,则b=0;在数量积中, 若a?0,且a?b=0,能不能推出b=0?为什么? (4)由a?b = b?c 能否推出a = c ? (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的 向量,而一般a与c不共线。

例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求 a· b。

解:a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)= -10。

数量积的几何意义:


a ? b等于 a
B

的长度 | a | 与

b

a

的方向上的投影| b | cos? 的乘积。

b
?
O
b cos?

a
B1
A

重要性质:

设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单 位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e· a=a· e = |a| cosθ (2)a⊥b a· b=0 (3)当a与b同向时,a· b=|a||b| 当a与b反向时,a· b=-|a| |b|

特别地,a· a =|a|2或|a|=√a· a。

(4)cosθ=

a· b |a||b|

(5)|a·b|≤|a||b|

四.课堂练习 判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a· b=0-----(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· b=a· c,则b=c -----------------(7)a与b是两个单位向量,则a2=b2.

(√)
(× )

( ×)
(× ) (√ ) (× ) (√ )

数量积的运算规律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

如图可知: ???? ? ??? ?

???? ? ???? ???? ? ?| OB1 |?| OA1 | ? | A1 B1 | ? ? ? ? ?| a ? b | cos ? ?| a | cos ?1 ? | b | cos ? 2

? ? | OB1 |?| OB | cos? ?| a ? b | cos? ???? ? | OA1 |?| a | cos?1 ???? ? ???? ? ? | A1B1 |?| AB2 |?| b | cos?2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

A

a
?1

b

?2

B2

B

? ? ? ? ? ? ? O A c ? (a ? b) ?| c || a ? b | cos ? 1 c B1 C ? ? ? ? ?| c || a | cos ?1 ? | c || b | cos ? 2 ? ? ? ? ? c ?a ? c ?b

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角60? , ? ? ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b |。

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直。

小结:
1. 2.
3.

a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义

重要性质

4. 向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。


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