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【金版教程】2016届高考数学(文)二轮复习


著名的数学家、 教育家、 数学解题方法论的开拓者波利亚提出 “掌 握数学意味着善于解题” .他将解题过程分为四个部分: “审题,转换, 实施,反思” .要解好题必须先审好题,审题是解题的第一步.一切解 题的思路、方法、技巧都来源于认真审题.审题是解题者对题目提供 信息的发现、辨认和转译,并对信息作有序提炼.本讲结合实例,教 你正确的审题方法,开启成功解题之路. 审条件挖隐含 条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必 经之路,审题时要充分挖掘每个条件的内涵和隐含的信息,以便于明 确解题的思路. 例1 等于( A.6 C.4 [审题导引] ) B.5 D.3 已知△ABC 中,||=10,· =-16,D 为边 BC 的中点,则||

[规范解题] 由||=10,得|-|=10, 平方得||2-2· +||2=100, 因为· =-16,所以||2+||2=68, 1 又因为 D 为 BC 中点,所以=2(+), 1 1 即||=2=2 36=3.故选 D. [答案] D 审结论逆向推 结论是解题的最终目标。解决问题的思维,很多情形下都是在目

标意识下启动和定向的,审视结论要探究已知条件和结论间的联系和 转化规律,善于从结论中捕捉解题信息,确定解题方向. 例2 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1,证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的通项公式. [审题导引]

[规范解题] (1)证明:因为 an+1=2an+2n, an+1 2an+2n an 所以 2n = 2n = n-1+1, 2 an+1 an 所以 2n - n-1=1,n∈N*, 2 an 又因为 bn= n-1,所以 bn+1-bn=1. 2 所以数列{bn}是等差数列, 其首项 b1=a1=1,公差为 1. (2)由(1)知 bn=1+(n-1)×1=n, 所以 an=2n-1bn=n· 2n-1. 审图形抓特点 在一些高考试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将 条件隐含于图形之中,由此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所 隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势、抓住图形的特征,运用

数形结合的思想,是破解考题的关键. 例3 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12+π C.12-π [审题导引] 条件 组合体 [规范解题]

B.8+π D.6-π

正方体下面 结果 挖去一个圆柱

V=V 正方体-V 圆柱=2×2×3-π×12×1=12-π.故选 C. [答案] C [易错提醒] 选成 B. 审结构巧计算 数学问题中的条件和结论,很多都是以数式的结构形式进行搭配 和呈现的,认真分析其结构特点,找出其隐含的特殊关系,寻找突破 问题的方案. 例4 不等式(5x+3)3+x3+6x+3>0 的解集为________. [审题导引] 本题容易错想成一个圆柱上放一正方体,所以易错

[规范解题] 不等式变形为(5x+3)3+(5x+3)>-(x3+x), 设 f(x)=x3+x,则不等式变为 f(5x+3)>-f(x),又 f(-x)=-f(x), 故 f(5x+3)>f(-x), 因为 f(x)=x3+x 在 R 上单调递增. 所以 5x+3>-x, 1 即 x>-2,
? ? 1 ? 解集为?x?x>-2 ?. ? ? ? ? ? 1 ? [答案] ?-2,+∞? ?

审图表和数据 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,也往往暗示着解决 问题的目标和方向. 审题时要认真观察分析图表、 数据的特征和规律, 为问题解决提供有效的途径. 例 5 某中学为了了解高一学生在一月内参加各种社团活动的情 况,随机抽取 200 名学生,获得了他们的活动时间(单位:小时)的数 据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如图所示. 组号 1 2 3 4 5 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) 频数 12 16 x 44 50

6 7 8 9

[10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 合计

24 12 4 4 200

(1)从该校高一年级学生中随机选取一名学生,试估计这名学生该 月参加社团活动的时间少于 14 小时的概率; (2)求统计表中的 x 的值和频率分布直方图中的 b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计 样本中的 200 名学生该月活动时间的平均数在第几组(只需写出结论). [审题导引] 审表格 计算不少于14 求概率 ―→ 审图形 计算b 得出结论 小时学生数

[规范解题] (1)根据频数分布表可知,200 名学生参加社团活动的时间不少于 14 小时的学生人数为 4+4=8,所以样本中学生参加社团活动的时间 8 24 少于 14 小时的频率是 1-200=25,用频率估计概率可得所求概率大 24 约为25. (2)依据频率分布直方图可知 x=200×0.085×2=34. 50 200 依据频数分布表和频率分布直方图可知 b= 2 =0.125.

(3)估计样本中的 200 名学生活动时间的平均数在第 4 组.

专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 集合间的关系、集合的基本运算;四种命题之间的

关系、命题的否定、充要条件. 2.交汇点 集合间的关系、集合的运算常与不等式、函数的定

义域、值域交汇考查;充要条件常与不等式、立体几何、函数、解析 几何、三角函数、数列等知识交汇考查. 3.常用方法 Venn 图法,数轴法判断集合之间的关系;定义

法或集合法判断充要条件.

对应学生用书P002 [必记公式] 集合的运算性质 (1)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. (2)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?
UB),?U(?UA)=A.

[重要结论] 1.集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集 合的子集,含有 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1, 非空真子集数为 2n-2. 2.四种命题的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

3.复合命题真假的判断方法 命题 p∧q,p∨q 及綈 p 真假可以用下表来判定:

p 真 真 假 假 口诀记忆 相反.

q 真 假 真 假

p∧q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

p∨q,一真则真;p∧q,一假则假;綈 p 与 p 真假

4.充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q, 则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合的关系:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集 合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B. 5.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x).它的否定綈 p:?x0∈M,綈 p(x0). (2)特称命题 p:?x0∈M,p(x0).它的否定綈 p:?x∈M,綈 p(x). [易错提醒] 1.在 A?B 中,易忽略 A=?的情形. 2. 命题的否定与否命题不同, 否命题是对命题的条件和结论都否 定,而命题的否定仅对命题的结论否定. 3.“A 的充分不必要条件是 B”与“A 是 B 的充分不必要条件” 不同. 4.忽视集合元素“互异性”的验证. 5.集合的含义认识不清,如: {x|y=2x}表示定义域{x|x∈R},

{y|y=2x}表示值域{y|y>0}.

对应学生用书P002 热点一 集合的概念及运算

例 1 (1)[2015· 陕西质检]设集合 A={x|y=lg (3-2x)},集合 B ={x|y= 1-x},则 A∩B=( 3? ? A.?1,2?
? ? ?

) B.(-∞,1]
?3 ? D.?2,+∞? ? ? ? ?

3? ? C.?-∞,2?
?

[ 解析 ]

3? ? ∵ A = {x|y = lg (3 - 2x)} = ?x| x<2? , B = {x|y = 1-x } =

{x|x≤1},∴A∩B={x|x≤1},故选 B. [答案] B (2)[2015· 洛阳统测]已知集合 A={x|x2-4x-12<0},B={x|x<2}, 则 A∪(?RB)=( A.{x|x<6} C.{x|x>-2} ) B.{x|-2<x<2} D.{x|2≤x<6}

[解析] 由 x2-4x-12<0, 解得-2<x<6, 所以 A={x|-2<x<6}. 又 ?RB={x|x≥2},所以 A∪(?RB)={x|x>-2},故选 C. [答案] C 例(2)中 B={x|y= x?8-x?}则?R(A∩B)=________. 答案 解析 {x|x<0 或 x≥6} 由 x2-4x-12<0 得-2<x<6,

由 x(8-x)≥0 得 0≤x≤8. 则 A∩B={x|0≤x<6} 所以?R(A∩B)={x|x<0 或 x≥6}.

解答集合运算问题的策略 首先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性,代表的意 义.然后根据集合中元素的性质化简集合. (1)若给定集合涉及不等式的解集,要借助数轴. (2)若涉及抽象集合,要充分利用 Venn 图. (3)若给定集合是点集,要注意借助函数图象. 提醒:注意元素的互异性及空集的特殊性.

1.[2015· 唐山统测]函数 y= x?3-x?+ x-1的定义域为( A.[0,3] C.[1,+∞) 答案 解析 B
? ?x?3-x?≥0 要使函数有意义,需要保证? , ?x-1≥0 ?

)

B.[1,3] D.[3,+∞)

? ?0≤x≤3 ∴? ,∴1≤x≤3,故选 B. ?x≥1 ?

2.[2015· 九江一模]已知全集 U=R,集合 A=[2,5),?UB=(-∞, 1)∪(2,+∞),则 A∩B=( A.(2,5) C.{2} 答案 解析 C 由题知 B=[1,2],∴A∩B={2},故选 C. ) B.(1,2) D.?

热点二 命题真假的判断与否定 例2 (1)[2015· 贵阳监测]下列说法正确的是( )

A.命题“?x∈R,ex>0”的否定是“?x∈R,ex>0” B.命题“已知 x,y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”的逆否 命题是真命题 C.“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立” D.命题“若 a=-1,则函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点” 的逆命题为真命题 [解析] A 中命题的否定是“?x∈R,ex≤0”,∴A 错误;B 中 逆否命题为“已知 x,y∈R,若 x=2 且 y=1,则 x+y=3”,易知为 真命题,∴B 正确;C 中分析题意可知,不等式两边的最值不一定在 同一个点取到,故 C 错误;D 中若函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一个零 点,则①:a=0,符合题意;②a≠0,Δ=4+4a=0,a=-1,故逆 命题是假命题,∴D 错误.故选 B. [答案] B (2)[2014· 重庆高考]已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;q:x =1 是方程 x+2=0 的根.则下列命题为真命题的是( A.p∧(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) B.(綈 p)∧q D.p∧q )

[解析] 由题意知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,所以綈 p 为假,綈 q 为真.所以 p∧(綈 q)为真,(綈 p)∧q 为假,(綈 p)∧(綈 q) 为假,p∧q 为假.故选 A. [答案] A 命题真假的判定方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别.

(2)四种命题真假的判断依据:一个命题和它的逆否命题同真假, 而与它的其他两个命题的真假无关. (3)形如 p∨q,p∧q,綈 p 命题的真假根据真值表判定. (4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定: ①全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立,要判定其为假命题时,只需举出一 个反例即可; ②特称(存在性)命题:要判定一个特称(存在性)命题为真命题,只 要在限定集合 M 中至少能找到一个元素 x0,使得 p(x0)成立即可,否 则,这一特称(存在性)命题就是假命题.

1.[2015· 安徽高考]已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同 平面,则下列命题正确的是( ) A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 解析 D A 中, 垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,

故 A 错误;B 中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异 面,故 B 错误;C 中,若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的 直线一定和另一个平面平行,故 C 错误;D 中,若两条直线垂直于同 一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可 能垂直于同一个平面,故 D 正确. 2. [2015· 课标全国卷Ⅰ]设命题 p: ?n∈N, n2>2n, 则綈 p 为( A.?n∈N,n2>2n C.?n∈N,n2≤2n 答案 C B.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n )

解析

命题 p 是一个特称命题,其否定是全称命题,故选 C. 热点三 充要条件的判断

例3

(1)[2015· 陕西高考]“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [解析]

π ∵sinα=cosα?tanα=1?α=kπ+4,k∈Z,又 cos2α=0

π 3π π 3π ?2α=2kπ+2或 2kπ+ 2 (k∈Z)?α=kπ+4或 kπ+ 4 (k∈Z),∴sinα= cosα 成立能保证 cos2α=0 成立,但 cos2α=0 成立不一定能保证 sinα =cosα 成立,∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件. [答案] A x2 y2 (2)[2015· 唐山统考]“k<9”是“方程 + =1 表示双曲线” 25-k k-9 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 [解析] ∵方程 + =1 表示双曲线,∴(25-k)(k-9)<0, 25-k k-9 x2 y2 ∴k<9 或 k>25,∴“k<9”是“方程 + =1 表示双曲线”的充 25-k k-9 分不必要条件,故选 A. [答案] A (2) 题中将 “k<9” 改为 “k>9” 、将“双曲线”改为“椭 圆”,那么正确答案是( 答案 解析 B x2 y2 方程 + =1 表示椭圆. 25-k k-9 )

k-9>0 ? ? 则?25-k>0 ? ?25-k≠k-9

x2 ,即 9<k<25 且 k≠17,故 k>9 是方程 + 25-k

y2 =1 为椭圆的必要不充分条件,故选 B. 9-k 判断充分、必要条件的方法及关注点 1.充分、必要条件的判断方法 先判断 p?q 与 q?p 是否成立,然后再确定 p 是 q 的什么条件. 2.判断充分、必要条件时的关注点 (1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推 出 B,且 B 不能推出 A. (2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错 误不易进行,可以尝试通过举出恰当的反例来说明. (3)要注意转化:若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充 分不必要条件;若綈 p 是綈 q 的充要条件,那么 p 是 q 的充要条件.

1.[2015· 北京高考]设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m? α.“m∥β”是“α∥β”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 解析 B 若 m?α 且 m∥β,则平面 α 与平面 β 不一定平行,有可能 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

相交; 而 m?α 且 α∥β 一定可以推出 m∥β, 所以“m∥β”是“α∥β” 的必要而不充分条件. 2.[2015· 四川高考]设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是 “loga3<logb3”的( )

A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 解析 B

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

由指数函数的性质知,若 3a>3b>3,则 a>b>1,由对数函数

1 1 的性质,得 loga3<logb3;反之,取 a=2,b=3,显然有 loga3<logb3, 此时 0<b<a<1,于是 3>3a>3b,所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不 必要条件,选 B.

对应学生用书P004 课题 1 集合中的新定义问题 [2015· 湖北高考]已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}, B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+ y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为( A.77 C.45 审题过程 切入点 将数学关系式用图形表达,应用数形结合思想. 关注点 正确“翻译”A⊕B 的意义. B.49 D.30 )

[规范解答] 集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合 A 中有 5 个元素(即 5 个点),即图中圆内及圆上的整点.集合 B={(x, y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有 25 个元素(即 25 个点),即图中正方形 ABCD 内及正方形 ABCD 上的整点. 集合 A⊕B={(x1+x2, y1+y2)|(x1, y1) ∈ A , (x2 , y2) ∈ B} 中的元素可看作正方形 A1B1C1D1 内及正方形 A1B1C1D1 上除去四个顶点外的整点,共 7×7-4=45 个.故选 C.

解决此类问题的模型示意图如下:

? ?C?A?-C?B?,C?A?≥C?B?, 1.定义 A*B=? (其中 C(A),C(B)表 ? ?C?B?-C?A?,C?A?<C?B?

示非空集合 A,B 中的元素个数),若 A={1,2},B={x||x2+ax+1|=1, a∈R},且 A*B=1,由 a 的所有可能值构成的集合是 S,那么 C(S)= ( ) A.4 C.2 答案 解析 B 由定义 A*B 可知,A*B=1 表示 A、B 中元素个数差为 1, B.3 D.1

由 A={1,2}有 2 个元素,得 B 中有 1 个或 3 个元素,在集合 B 中,|x2 +ax+1|=1,整理得,

x2+ax=0 或 x2+ax+2=0, 若 a=0,则 B={0}符合要求, 若 Δ=a2-8=0,即 a=± 2 2, a=2 2时,B={0,-2 2,- 2}, a=-2 2时,B={0,2 2, 2}, 符合要求. 故 S={0,2 2,-2 2},C(S)=3.选 B. 2.设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“⊕”,满足 X⊕Y=(?
UX)∪Y,则对于任意集合

X,Y,Z,则 X⊕(Y⊕Z)=( B.(X∩Y)∪(?UZ)

)

A.(X∪Y)∪(?UZ) C.[(?UX)∪(?UY)]∩Z 答案 解析 D

D.(?UX)∪(?UY)∪Z

由定义运算得 X⊕(Y⊕Z)=X⊕[(?UY)∪Z]=(?UX)∪[(?UY)

∪Z]=(?UX)∪(?UY)∪Z.

对应学生用书P143 一、选择题 1.[2015· 兰州双基过关]已知集合 U=R,A={x|-1≤x≤2},B ={x|x<1},则 A∩(?UB)=( A.{x|x>1} C.{x|1<x≤2} 答案 解析 D. 2.[2015· 郑州质量预测]已知集合 A={x|x>2},B={x|x<2m}且 A ??RB,那么 m 的值可以是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 D 因为?UB= {x|x≥1},所以 A∩(?UB)= {x|1≤x≤2},故选 ) B.{x|x≥1} D.{x|1≤x≤2}

答案 解析

A 由 B={x|x<2m}, 得?RB={x|x≥2m}. ∵A??RB, ∴2m≤2,

∴m≤1,故选 A. 3.[2015· 辽宁五校联考]设集合 M={x|x2+3x+2<0},集合 N=
? ??1?x ? ?x?? ? ≤4? ,则 M∪N=( ? ??2? ?

) B.{x|x>-1} D.{x|x≤-2}

A.{x|x≥-2} C.{x|x<-1} 答案 解析 A

因为 M={x|x2+3x+2<0}={x|-2<x<-1},N=[-2,+

∞),所以 M∪N=[-2,+∞),故选 A. 4.已知全集 U=R,集合 A={x|0<x<9,x∈R}和 B={x|-4<x<4, x ∈ Z} 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有 ( )

A.3 个 C.5 个 答案 解析 B

B.4 个 D.无穷多个

由韦恩图可知,阴影部分可表示为 ( ? UA)∩B. 由于 ? UA =

{x|x≤0 或 x≥9},于是(?UA)∩B={x|-4<x≤0,x∈Z}={-3,-2, -1,0},共有 4 个元素. 5.命题“对任意 x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必 要条件可以是( A.a≥4 C.a≥1 答案 解析 B 要使得“对任意 x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题,只需要 ) B.a>4 D.a>1

a≥4,∴a>4 是命题为真的一个充分不必要条件. 6.[2015· 唐山一模]命题 p:?x∈N,x3<x2;命题 q:?a∈(0,1) ∪(1,+∞),函数 f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0).则( A.p 假 q 真 C.p 假 q 假 答案 解析 A ∵x3<x2,∴x2(x-1)<0,∴x<0 或 0<x<1,在这个范围内没 B.p 真 q 假 D.p 真 q 真 )

有自然数,命题 p 为假命题.∵f(x)的图象过点(2,0),∴loga1=0,对 ?a∈(0,1)∪(1,+∞)的值均成立,命题 q 为真命题. 7. [2015· 大连双基测试]命题“对任意 x∈R, 都有 x2≥ln 2”的否 定为( ) A.对任意 x∈R,都有 x2<ln 2 B.不存在 x∈R,都有 x2<ln 2 C.存在 x∈R,使得 x2≥ln 2 D.存在 x∈R,使得 x2<ln 2 答案 解析 D 按照“任意”改“存在”,结论变否定的模式,应该为存 )

在 x∈R,使得 x2<ln 2.故选 D. 8.[2015· 贵州七校联考]以下四个命题中,真命题的个数是( ①“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题. ②存在正实数 a,b,使得 lg (a+b)=lg a+lg b. ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素 数”. ④在△ABC 中,A<B 是 sinA<sinB 的充分不必要条件. A.0 C.2 答案 解析 C ①原命题的逆命题为:若 a,b 中至少有一个不小于 1,则 B.1 D.3

a+b≥2,而 a=2,b=-2 满足条件 a,b 中至少有一个不小于 1,但

此时 a+b=0,故是假命题;②根据对数的运算性质,知当 a=b=2 时,lg (a+b)=lg a+lg b,故是真命题;③“所有奇数都是素数”的 否定为“至少有一个奇数不是素数”,③是真命题;④根据题意,结 合边角的转换,以及正弦定理,可知 A<B?a<b(a,b 为角 A,B 所对 的边)?2RsinA<2RsinB(R 为△ABC 外接圆的半径)?sinA<sinB, 故可知 A<B 是 sinA<sinB 的充要条件,故是假命题.选 C. 9.[2015· 浙江高考]设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪ B)-card(A∩B),其中 card(A)表示有限集 A 中元素的个数. 命题①:对任意有限集 A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分 必要条件; 命题②: 对任意有限集 A, B, C, d(A, C)≤d(A, B)+d(B, C). ( A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 答案 解析 A 由题意,d(A,B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,对 )

于命题①, A=B?card(A∪B)=card(A∩B)?d(A, B)=0, ∴A≠B?d(A, B)>0,命题①成立.对于命题②,由韦恩图易知命题②成立,下面给 出 严 格 证 明 : d(A , C)≤d(A , B) + d(B , C) ? card(A) + card(C) - 2card(A∩C)≤card(A) + card(B) - 2card(A∩B) + card(B) + card(C) - 2card(B∩C) ? card(A∩C)≥card(A∩B) + card(B∩C) - card(B) ? card(A∩C)≥card[(A ∪ C)∩B] - card(A∩B∩C) - card(B) . 因 为 card(A∩C)≥0 且 card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B)≤0, 故命 题②成立. 10.给定下列四个命题: 1 命题 p:当 x>0 时,不等式 ln x≤x-1 与 ln x≥1-x等价; 命题 q:不等式 ex≥x+1 与 ln (x+1)≤x 等价;

1 1 命题 r:“b2-4ac≥0”是“函数 f(x)=3ax3+2bx2+cx+d(a≠0) 有极值点”的充要条件; π? ? sinx 2 命题 s:若对任意的 x∈?0,2?,不等式 a< x 恒成立,则 a≤π.
? ?

其中为假命题的是( A.(綈 s)∧p C.(綈 r)∧p 答案 解析 A

) B.(綈 q)∧s D.綈(q∧p)

1 1 1 1 由x>0,ln x≤x-1,得 ln x≤x-1,即 ln x≥1-x,故命

题 p 为真命题;由于 x 的取值范围不同,故命题 q 是假命题;当 b2- π? sinx? 4ac=0 时, 函数 f(x)无极值点, 故命题 r 是假命题; 设 h(x)= x ?0<x<2?, ? ? π? sinx ? sinx 2 2 由于函数 h(x)= x 在?0,2?上是减函数,故 x >π,a≤π,即命题 s ? ? 是真命题.根据复合命题的真值表可知选 A. 二、填空题 11.已知条件 p:-3≤x<1,条件 q:x2+x<a2-a,且 p 为 q 的 必要而不充分条件,则 a 的取值范围是________. 答案 解析 -1)]<0, 1 当-a<a-1,即 a>2时,不等式的解为-a<x<a-1; 1 当-a=a-1,即 a=2时,不等式的解为?; 1 当-a>a-1,即 a<2时,不等式的解为 a-1<x<-a. 由 p 为 q 的必要而不充分条件,可知 1 当 a>2时,由{x|-a<x<a-1}?{x|-3≤x<1}, [-1,2] 条件 q: 由 x2+x<a2-a 得 x2+x-a2+a<0, 即(x+a)[x-(a

? ?-3≤-a, 1 得? 解得2<a≤2; ?1≥a-1, ?

1 当 a=2时,因为空集是任意一个非空集合的真子集,所以显然满 足条件;
? ?-3≤a-1, 1 当 a<2时, 由{x|a-1<x<-a}?{x|-3≤x<1}, 得? 解 ? ?1≥-a,

1 得-1≤a<2. 综上,a 的取值范围为[-1,2]. 12.[2015· 贵阳监测]已知全集 U={a1,a2,a3,a4},集合 A 是集 合 U 的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件:①若 a1∈A,则 a2∈A; ②若 a3?A, 则 a2?A; ③若 a3∈A, 则 a4?A.则集合 A=________.(用 列举法表示) 答案 解析 {a2,a3} 若 a1∈A,则 a2∈A,则由若 a3?A,则 a2?A 可知,a3∈A,

假设不成立;若 a4∈A,则 a3?A,则 a2?A,a1?A,假设不成立,故集 合 A={a2,a3}. π? ? 13.[2015· 山东高考]若“?x∈?0,4?,tanx≤m”是真命题,则实
? ?

数 m 的最小值为________. 答案 解析
? ?

1 π?? ? ? 由 已 知 可 得 m≥tanx ?x∈?0,4?? 恒 成 立 . 设 f(x) =
? ? ?? ?? ? ?

π?? ? ? ?π? π tanx?x∈?0,4??, 显然该函数为增函数, 故 f(x)的最大值为 f?4?=tan4= 1,由不等式恒成立可得 m≥1,即实数 m 的最小值为 1. 14.给出下列命题: → =DC → 是四边形 ABCD ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB 为平行四边形的充要条件; ②向量 a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b;

③在△ABC 中,sinA>sinB 的充要条件为 A>B; ④在△ABC 中,设命题 p:△ABC 是等边三角形, 命题 q: a∶b∶ c=sinB∶sinC∶sinA,那么命题 p 是命题 q 的充分不必要条件. 其中正确的命题为________.(把你认为正确的命题序号都填上) 答案 解析 ①③ → =DC → ,所以|AB → |=|DC → |且AB → ∥DC → ,又 A, ①正确.因为AB

B,C,D 是不共线的四点,所以四边形 ABCD 为平行四边形;反之, → ∥DC → 且|AB → |=|DC → |, → =DC →. 若四边形 ABCD 为平行四边形, 则AB 因此AB ②不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a= b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. a b ③正确.由正弦定理知 sinA=2R,sinB=2R,当 sinA>sinB 成立 时,得 a>b,则 A>B;当 A>B 时,则有 a>b,则 sinA>sinB,故命题正 确. ④不正确.若△ABC 是等边三角形,则 a=b=c,sinB=sinC =sinA, 即命题 p 是命题 q 的充分条件; 若 a∶b∶c=sinB∶sinC∶sinA, sinC b a c sinC c c b 则sinA=c ,又由正弦定理得sinA=sinC,即sinA=a,所以a=c ,即 c2 =ab,同理得 a2=bc,b2=ac,所以 c=a=b,所以△ABC 是等边三 角形.因此命题 p 是命题 q 的充要条件. 综上所述,正确命题的序号是①③. 第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 函数的定义域、值域;函数的单调性、奇偶性、周

期性;函数的图象及其应用. 2.交汇点 函数的单调性、奇偶性、周期性交汇命题;函数的

定义域、值域与不等式交汇命题;函数的图象与性质交汇命题. 3.常用方法 利用定义法判断函数的单调性、奇偶性;利用数

形结合的方法判断函数的单调性、奇偶性;排除法判断函数的图象.

对应学生用书P005 [重要概念] 1.单调性定义 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 且 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2)成立,则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x1)>f(x2) 成立,则 f(x)在 D 上是减函数). 2.奇偶性定义 对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称), 都有 f(-x)=-f(x) 成立,则 f(x)为奇函数(都有 f(-x)=f(x)成立,则 f(x)为偶函数). 3.周期性定义 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: (1)当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x); (2)T 是不为零的最小正数. [重要结论] 抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数,2a 是它 的一个周期. (2)设 f(x)是 R 上的偶函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周期函数,2a 是它的一个周期. (3)设 f(x)是 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周期函数,4a 是它的一个周期. 2.函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称. (2)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则

f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直 a+b 线 x= 2 对称. [易错提醒] 1.分段函数仍然是一个函数,而不是几个函数. 2.在处理有关对数问题时应注意底数与真数的取值. 3.确定函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否关于原点对 称.

对应学生用书P006 热点一 函数及其表示 x2-5x+6 例 1 (1)[2015· 贵阳监测]函数 f(x)= 4-|x|+lg 的定 x-3 义域为( ) B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
?-4≤x≤4 ? ,即? ,即函数的 ?x>2且x≠3 ?

A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4] [解析] 4-|x|≥0 ? ?2 依题意知,?x -5x+6 ? ? x-3 >0

定义域为(2,3)∪(3,4]. [答案] C
??1-2a?x+3a,x<1 ? (2)[2015· 唐山统测]已知 f(x)=? 的值域为 R, ?ln x,x≥1 ?

那么 a 的取值范围是( A.(-∞,-1]

) 1? ? B.?-1,2?
? ?

1? ? C.?-1,2?
? ?

1? ? D.?0,2?
? ?

? ?1-2a>0 [解析] 要使函数 f(x)的值域为 R,需使? ,∴ ?ln 1≤1-2a+3a ?

?a<1 ? 2 ?a≥-1

1 ,∴-1≤a<2,故选 C.

[答案] C (3)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)
2 ? ?-4x +2, -1≤x<0, ?3? =? 则 f?2?=________. ? ? ?x, 0≤x<1, ?

?3? ? 1 ? ? 1? ? 1? [解析] f?2?=f?-2+2?=f?-2?=-4×?-2?2+2=1. ? ? ? ? ? ? ? ?

[答案] 1 (2)题中“的值域为 R”改为“在 R 上递增”,那么 a 的取值范围该选哪项. 答案 解析 A
? ?1-2a>0 由题可知,? 解得 a≤-1,故选 A. ? ?1-2a+3a≤0,

1.求函数定义域的类型和相应的方法 (1)若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自 变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可. (2)在实际问题或几何问题中除要考虑解析式有意义外,还要使实 际问题有意义. 2.求函数值的三个关注点 (1)形如 f(g(x))的函数求值,要遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数求值,应注意依据条件准确地找出利用哪一段求 解.

(3)对于周期函数要充分利用好周期性. 3.函数值域的求法 求解函数值域的方法有:公式法、图象法、分离常数法、判别式 法、换元法、数形结合法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定 求解的方法.

1.[2015· 唐山统考]函数 y= x-2· x+5的定义域为( A.[-5,2] C.[-5,+∞) 答案 解析 D D.[2,+∞)

)

B.(-∞,-5]∪[2,+∞)

? ? ?x-2≥0 ?x≥2 要保证函数式有意义,需使? ,∴? ,∴ ?x+5≥0 ? ? ?x≥-5

x≥2,∴函数的定义域为[2,+∞),故选 D.
? ?1+log2?2-x?,x<1, 2.[2015· 课标全国卷Ⅱ]设函数 f(x)=? x-1 ? ?2 , x≥1,

则 f(-2)+f(log212)=( A.3 C.9 答案 解析 C

) B.6 D.12
log212-1 log26

由于 f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2

=2



6,所以 f(-2)+f(log212)=9.故选 C.
? ?-x+6,x≤2, 3. [2015· 福建高考]若函数 f(x)=? (a>0, 且 a≠1) ? ?3+logax,x>2

的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 (1,2]
?-x+6,x≤2, ? 因为 f(x)=? 所以当 x≤2 时,f(x)≥4;又 ? ?3+logax,x>2,

? ?a>1, 函数 f(x)的值域为[4,+∞),所以? 解得 1<a≤2,所以 ?3+loga2≥4. ?

实数 a 的取值范围为(1,2]. 热点二 函数的图象

例2

x3 (1)[2015· 贵阳监测]函数 y= x 的图象大致是( 3 -1

)

[解析] 由题意得,x≠0,排除 A;当 x<0 时,x3<0,3x-1<0,∴ x3 x3 >0,排除 B;又∵x→+∞时, x →0, 3x-1 3 -1 ∴排除 D,故选 C. [答案] C (2)将一系列下顶点相接的正三角形的底边放在同一直线上,正三 角形的内切圆由第一个正三角形的 O 点沿三角形列的底边匀速向前滚 动(如图),设滚动中的圆与系列正三角形的腰相交截得的最大弦长 s 关于时间 t 的函数为 s=f(t), 则下列图中与函数 s=f(t)图象最近似的是 ( )

[解析] 以 O 为原点,与地面相切的直线为 x 轴,过 O 垂直于 x 轴的直线为 y 轴.不妨设正三角形的边长为 2 3,则圆的半径为 1, 圆心(a,1)到直线 3x+y-3=0 的距离 d= | 3a-2| ,弦长 2 1-d2= 2

-3a2+4 3a(a∈[0, 3]),同理,圆心(a,1)到直线 3x-y-3=0 的 距离 d1 = | 3a-4| 2 ,弦长 2 1-d2 1 = -3a +8 3a-12(a ∈ [ 3 , 2

2 3]).由于弦长的变化具有周期性,故选 C. [答案] C 作图、识图、用图的方法技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变 换、伸缩变换和对称变换,尤其注意 y=f(x)与 y=f(-x),y=-f(x),y =-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及 y=af(x)+b 的相互关系. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋 势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意 用好其与图象的关系,结合图象研究.

? π π? 1.[2015· 大连测试]函数 f(x)=2x-4sinx,x∈?-2,2?的图象大致 ? ?

是(

)

答案 解析

D 因为函数 f(x)是奇函数,所以排除 A、B.f′(x)=2-4cosx,

π 令 f′(x)=2-4cosx=0,得 x=± 3,所以选 D. ax+b 2.[2015· 安徽高考]函数 f(x)= 的图象如图所示,则下列结 ?x+c?2 论成立的是( )

A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0 答案 解析 C

B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

ax+b ∵f(x)= 的图象与 x,y 轴分别交于 N,M,且点 M ?x+c?2

b b 的纵坐标与点 N 的横坐标均为正, ∴x=-a>0, y=c2>0, 故 a<0, b>0, 又函数图象间断点的横坐标为正,∴-c>0,故 c<0,故选 C. 热点三 函数的性质及应用 例 3 [2015· 洛阳统测](1)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y =f(x)的图象的对称轴方程是( A.x=1 C.x=2 [解析] ) B.x=-1 D.x=-2 ∵f(2x+1)是偶函数,∴f(2x+1)=f(-2x+1)?f(x)=f(2

-x),∴f(x)图象的对称轴为直线 x=1. [答案] A

(2)已知 f(x)为定义在[a-1,2a+1]上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)
?x ? =ex+1,则 f(2x+1)>f?2+1?的解的取值范围是( ? ?

)
? ?

A.[-1,1] 8? ? C.?0,9?
? ?

1? ? B.?-1,-3?
?

4? ? D.?-1,-5?
?

[解析]

函数为偶函数,满足-(a-1)=2a+1?a=0,所以函数

的定义域为[-1,1],当 x≥0 时,f(x)=ex+1,所以函数 f(x)在[0,1]上
?x ? ??x ?? 单调递增,所以 f(2x+1)>f?2+1?满足 f(|2x+1|)>f??2+1??,所以不等 ? ? ?? ??

-1≤2x+1≤1 ? ?-1≤x+1≤1 2 式的解的取值范围是? ?x ? ? ? ? + 1 |2x + 1|> ? ?2 ? [答案] D

4 ?-1≤x<-5.

(3)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区 间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]有四个不同的 根 x1,x2,x3,x4,则它们的和为( A.-6 C.0 ) B.-8 D.2

[解析] 因为定义在 R 上的奇函数, 满足 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x -4)=f(-x), 由 f(x)为奇函数, 所以函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0) =0,由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周 期函数,又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0]上 也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四 个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4,由对称性知 x1+x2= -12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8,故选 B.

[答案] B 函数三个性质的应用 (1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、 函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分 (一半)区间上, 这是简化问题的一种途径. 尤其注意偶函数 f(x)的性质: f(|x|)=f(x). (2)单调性:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根 的唯一性. (3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把 不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.

1.[2015· 广东高考]下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的 是( ) A.y= 1+x2 1 C.y=2x+2x 答案 解析 函数. 2.[2015· 湖南高考]设函数 f(x)=ln (1+x)-ln (1-x),则 f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 D 选项 A 中的函数是偶函数;选项 B 中的函数是奇函数;选 1 B.y=x+x D.y=x+ex

项 C 中的函数是偶函数; 只有选项 D 中的函数既不是奇函数也不是偶

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案 解析 A 由题意可得, 函数 f(x)的定义域为(-1,1), 且 f(x)=ln 1+x 1-x

? 2 ? 2 =ln ?1-x-1?,易知 y= -1 在(0,1)上为增函数,故 f(x)在(0,1) 1-x ? ?

上为增函数, 又 f(-x)=ln (1-x)-ln (1+x)=-f(x), 故 f(x)为奇函数, 选 A. 3.[2015· 课标全国卷Ⅰ]若函数 f(x)=xln (x+ a+x2)为偶函数, 则 a=________. 答案 解析 1 由题意得 f(x)=xln (x+ a+x2)=f(-x)=-xln ( a+x2- 1 ,解得 a=1. a+x2-x

x),所以 a+x2+x=

对应学生用书P008 课题 2 函数图象辨析题 [2015· 课标全国卷Ⅱ]如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC =1,O 是 AB 的中点.点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP= x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图 象大致为( )

审题过程 切入点 由图分类建立函数 y=f(x)的关系. 关注点 结合函数性质,排除错误选项.
?π? ?π? ?π? [规范解答] 由于 f(0)=2,f? ?=1+ 5,f? ?=2 2<f? ?,故排除 ?4? ?2? ?4?

选项 C、D;当点 P 在 BC 上时,f(x)=BP+AP=tanx+ 4+tan2x

π? ? ?0≤x≤ ?,不难发现 f(x)的图象是非线性的,排除选项 A.故选 B. 4? ?

1.如图,过单位圆 O 上一点 P 作圆 O 的切线 MN,点 Q 为圆 O 上一动点, 当点 Q 由点 P 逆时针方向运动时, 设∠POQ=x, 弓形 PRQ 的面积为 S,则 S=f(x)在 x∈[0,2π]上的大致图象是( )

答案 解析

B 1 1 1 1 S=f(x)=S 扇形 PRQ+S△POQ=2(2π-x)· 12+2sinx=π-2x+2

1 sinx,则 f′(x)=2(cosx-1)≤0,所以函数 S=f(x)在[0,2π]上为减函数, 当 x=0 和 x=2π 时,分别取得最大值与最小值.又当 x 从 0 逐渐增大 到 π 时,cosx 逐渐减小,切线斜率逐渐减小,曲线越来越陡;当 x 从 π 逐渐增大到 2π 时,cosx 逐渐增大,切线斜率逐渐增大,曲线越来越 平缓.结合选项可知,B 正确. 2.函数 y=a|x|与 y=sinax(a>0 且 a≠1)在同一直角坐标系下的图 象可能是( )

答案 解析

D y=a|x|为偶函数,排除 A 项;当 a>1 时,y=sinax 的周期为

2π 2π <2π ,排除 C 项;当 0< a <1 时, y = sin ax 的周期 a a >2π,排除 B 项, 故选 D. 对应学生用书P144 一、选择题 1.[2015· 太原一模]已知集合 A={x|y= 1-x},B={y|y=x2},则 A∩B=( C.(0,1) 答案 解析 D 由题意得 A=(-∞,1],B=[0,+∞),∴A∩B=[0,1]. ) ) B.[0,+∞) D.[0,1] A.(-∞,1]

2. [2015· 江西八校联考]已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数),则 f(-log35)的值为( A.4 B.-4

C.6 答案 解析 B

D.-6 ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 得 m=-1, )

∴f(log35)=3log35-1=4,∴f(-log35)=-f(log35)=-4. 3.[2015· 云南统测]下列函数,有最小正周期的是( A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=tan|x| D.y=(x2+1)0 答案 解析 B
? ?sinx,x≥0 A:y=sin|x|=? ,不是周期函数;B:y=cos|x| ? ?-sinx,x<0

? ?tanx,x≥0 =cosx,最小正周期 T=2π;C:y=tan|x|=? ,不是周期 ?-tanx,x<0 ?

函数;D:y=(x2+1)0=1,无最小正周期. 4.[2015· 太原一模]已知函数 f(x)=log2x,若在[1,8]上任取一个实 数 x0,则不等式 1≤f(x0)≤2 成立的概率是( 1 A.4 2 C.7 答案 解析 2 =7. 5.[2015· 石家庄一模]设函数 f(x)为偶函数,当 x∈(0,+∞)时, f(x)=log2x,则 f(- 2)=( 1 A.-2 C.2 ) 1 B.2 D.-2 C 4-2 1≤f(x0)≤2?1≤log2x0≤2?2≤x0≤4,∴所求概率为 8-1 1 B.3 1 D.2 )

答案 解析 故选 B.

B 1 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(- 2)=f( 2)=log2 2=2,

6.[2015· 长春质监(二)]已知函数 f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单 调函数,则 a 的取值范围是( A.(-∞,1] C.[-1,+∞) 答案 解析 A 因为函数 f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,
x

) B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

解得 a≤1.故选 A.

?3 ?x≤1? 7.[2015· 山西四校联考(三)]已知函数 f(x)=?log1 x?x>1? ? 3
数 y=f(1-x)的大致图象是( )

,则函

答案 解析

D 当 x=0 时,y=f(1)=3,即 y=f(1-x)的图象过点(0,3),排

除 A;当 x=-2 时,y=f(3)=-1,即 y=f(1-x)的图象过点(-2,-
?4? 1 4 1),排除 B;当 x=-3时,y=f?3?=log1 3<0,即 y=f(1-x)的图象过 ? ? 3

4? ? 1 点?-3,log1 3?,排除 C,故选 D.
?
3 ?

8.已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5) 2a-3 = ,则实数 a 的取值范围为( a+1 A.-1<a<4 ) B.-2<a<1

C.-1<a<0 答案 解析 A

D.-1<a<2

∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数,∴f(5)=f(5-6) 2a-3 2a-3 a-4 ,∴ <1, <0,解得- a+1 a+1 a+1

=f(-1)=f(1),∵f(1)<1,f(5)= 1<a<4.

9.设函数 f(x)=x|x-a|,若对?x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等 f?x1?-f?x2? 式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x1-x2 A.(-∞,-3] C.(-∞,3] 答案 解析 C 由题意分析可知条件等价于 f(x)在[3,+∞)上单调递增, B.[-3,0) D.(0,3] )

又∵f(x)=x|x-a|,∴当 a≤0 时,结论显然成立,当 a>0 时,f(x)=
2 ? ?x -ax,x≥a a? ? ?a ? ? ,∴f(x)在?-∞,2?上单调递增,在?2,a?上单调递 2 ? ? ? ? ?-x +ax,x<a ?

减, 在(a, +∞)上单调递增, ∴0<a≤3.综上, 实数 a 的取值范围是(- ∞,3]. 10.[2015· 长春质监(三)]对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两 个条件的函数 f(x)称为 M 函数: (1)对任意的 x∈[0,1],恒有 f(x)≥0; (2)当 x1≥0, x2≥0, x1+x2≤1 时, 总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 则下列 3 个函数中不是 M 函数的个数是( ①f(x)=x2 ②f(x)=x2+1 A.0 C.2 答案 解析 时,
2 2 对于①,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2-(x1 +x2 )=2x1x2≥0,

)

③f(x)=2x-1 B.1 D.3

B (1)在[0,1]上,3 个函数都满足.(2)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1

满足;
2 对于②,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=[(x1+x2)2+1]-[(x2 1+1)+(x2+

1)]=2x1x2-1<0,不满足; 对于③,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(2x1+x2-1)-(2x1-1+2x2-1) =2x12x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1)≥0,满足.故选 B. 二、填空题 11.[2015· 唐山一模]函数 f(x)= 2-x-2的定义域是__________. 答案 解析 (-∞,-1] 由题意可得:2-x-2≥0,∴2-x≥2,∴-x≥1,

∴x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1].
?lg x,x>0 ? 12.[2015· 陕西质检(二)]若函数 f(x)=? ,则 f(f(-99)) ?1-x,x≤0 ?

=________. 答案 解析 2 f(-99)=1+99=100,所以 f(f(-99))=f(100)=lg 100=2.

2 ? ?x +1,x≥0 13.已知函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x) ?1,x<0 ?

的 x 的取值范围是________. 答案 解析 (-1, 2-1)
?1-x2>0 ? 由题意 f(1-x )>f(2x)等价于? , 2 ? ?1-x >2x
2

∴不等式的解集为(-1, 2-1). 14.[2015· 山东高考]已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和 值域都是[-1,0],则 a+b=________. 答案 解析 3 -2 ①当 0<a<1 时,函数 f(x)在[-1,0]上单调递减,由题意可

?f?-1?=0 ?a-1+b=0 ? ? 得? ,即? 0 , ? ? ?f?0?=-1 ?a +b=-1

?a=1 解得? 2 ?b=-2

3 ,此时 a+b=-2.

②当 a>1 时,函数 f(x)在[-1,0]上单调递增,由题意可得
-1 ? ? ?f?-1?=-1 ?a +b=-1 ? ,即? 0 ,显然无解. ?f?0?=0 ? ? ?a +b=0

3 所以 a+b=-2.

第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数 的应用(选择、填空题型)命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 指数函数、对数函数、函数的零点,函数的应用问

题,图象交点的个数. 2.交汇点 函数的零点常与一次函数、二次函数、指数函数、

对数函数、三角函数的图象交汇命题. 3.常用方法 解方程判断法(若方程易解时用此法);零点存在性定

理判断函数零点;数形结合法判断函数零点.

对应学生用书P009 [必记公式] 指数与对数式的七个运算公式 1.am· an=am+n; 2.(am)n=amn; 3.loga(MN)=logaM+logaN;

M 4.loga N =logaM-logaN; 5.logaMn=nlogaM; 6.alogaN=N; logbN 7.logaN= log a (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,N>0).
b

[重要性质] 指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 图象 对数函数

0<a<1 时,在 R 上单调递 单调性 减; a>1 时,在 R 上单调递增

0<a<1 时,在(0,+∞) 上单调递减; a>1 时,在(0,+∞)上单 调递增

指数函数 0<a<1, 函数值 性质 当 x<0 时,y>1 a>1, 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 [必会关系] 函数的零点与方程根的关系

对数函数 0<a<1, 当 0<x<1 时,y>0 a>1, 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0

当 x>0 时,0<y<1; 当 x>1 时,y<0;

函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y= f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象交点的横坐标.

[易错提醒] 1.函数的零点不是点的坐标,而是函数值等于零的点的横坐标. 2 .函数零点存在性定理要求函数图象是连续不断的.并且有 f(a)· f(b)<0 这两个条件同时成立. 3.满足零点存在性定理的条件时得出函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,但零点个数不确定;反之函数在[a,b]上有零点不一定能 推出 f(a)· f(b)<0.

对应学生用书P010 热点一 指数函数、对数函数及幂函数

例1

(1)[2015· 南昌一模]若集合 A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2 ) B.[2,4] D.(-∞,-1)∪[0,4]

-x)>1},则 A∩B=( A.(2,4] C.(-∞,0)∪(0,4]

[解析] 因为 A={x|1≤3x≤81}={x|30≤3x≤34}={x|0≤x≤4},B = {x|log2(x2- x)>1} = {x|x2- x>2}= {x|x< - 1 或 x>2},所以 A∩B= {x|0≤x≤4}∩{x|x<-1 或 x>2}={x|2<x≤4}=(2,4]. [答案] A

?log2x,x>0, (2)若函数 f(x)=?log1 ?-x?,x<0, ? 2
取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的

[解析] 解法一:由题意作出 y=f(x)的图象如图.

显然当 a>1 或-1<a<0 时,满足 f(a)>f(-a).故选 C. 解法二:对 a 分类讨论: 当 a>0 时,log2a>log1 a,即 log2a>0,∴a>1.
2

当 a<0 时,log1 (-a)>log2(-a),
2

即 log2(-a)<0,∴-1<a<0,故选 C. [答案] C (3)已知 a=5 A.a>b>c C.a>c>b [解析] ∵a=5
log23.4 1 3 log43.6 log23.4 log43.6

,b=5

?1?log30.3 ,c=?5? ,则有( ? ?

)

B.b>a>c D.c>a>b ,b=5 ,

log33 ?1?log30.3 c=?5? =5

? ?



根据 y=ax 且 a=5,知 y 是增函数. 1 又∵log23.4>log333>1, 0<log43.6<1, ∴5
log23.4 log43.6 ?1?log30.3 >?5? >5 ,即 a>c>b. ? ?

[答案] C 1.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题

对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数 进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求 解. 2.指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同或底数不同、真数也不同的两个数,常 引入中间量或结合图象比较大小.

1.[2015· 北京高考]如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( A.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x≤1} 答案 C ) B.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x≤2}

解析 示.

在平面直角坐标系中作出函数 y=log2(x+1)的图象如图所

所以 f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|-1<x≤1},所以选 C. 2.[2014· 天津高考]设 a=log2π,b=log1 π,c=π-2,则(
2

)

A.a>b>c C.a>c>b

B.b>a>c D.c>b>a

答案 解析

C ∵log2π>1,log1 π<0,0<π-2<1,∴a>c>b,故选 C.
2

3.[2015· 浙江高考]若 a=log43,则 2a+2-a=________. 答案 解析 4 3 3 原式=2
log43

+2

-log43

= 3+

1 4 3 = 3 . 3

热点二 函数的零点问题

例2

(1)[2015· 洛阳统考]已知函数 f(x)=x2,g(x)=lg x,若有 f(a) ) B.(0,+∞) D.(1,+∞)

=g(b),则 b 的取值范围是( A.[0,+∞) C.[1,+∞) [答案] C

[解析] 由题意可得,a2=lg b≥0?b∈[1,+∞). (2)设函数 f(x)满足 f(1-x)=f(x+1), 且 f(x)有三个不同的零点, 则 这三个零点之和为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

[解析] 由 f(1-x)=f(x+1)知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)的三个零点中有一个为 1,设另两个为 x1,x2,则 x1+x2=2.所以, 三个零点之和为 1+2=3. [答案] D
-x ? ?e ,x≤0 1 (3)已知 f(x)=? g(x)=f(x)-2x-b 有且仅有一个零点 ? x,x>0, ?

时,b 的取值范围是________.

x [解析] 要使函数 g(x)=f(x)-2-b 有且仅有一个零点,只需要函 x 数 f(x)的图象与函数 y=2+b 的图象有且仅有一个交点,通过在同一 坐标系中同时画出两个函数的图象并观察得, 要符合题意须满足 b≥1 1 或 b=2或 b≤0. 1 [答案] b≥1 或 b=2或 b≤0 (3)中条件不变,当有 2 个零点时,b 的取值范围是? 答案 解析 1 0<b<2 1 由(2)的图象可得当有两交点时须满足 0<b<2. 判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续 的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能 确定函数有多少个零点. (3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通 过分解转化为两个函数图象, 然后数形结合, 看其交点的个数有几个, 其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

1 . [2015· 济宁考试 ] 对任意实数 a , b 定义运算“ ? ”: a ? b =

? ?b,a-b≥1, ? 设 f(x)=(x2-1)?(4+x),若函数 y=f(x)+k 恰有三个 ?a,a-b<1. ?

零点,则实数 k 的取值范围是( A.(-2,1) C.[-2,0) 答案 D

) B.[0,1] D.[-2,1)

解析 =

2 ? ?4+x,?x -1?-?4+x?≥1 由新定义可得 f(x)=? 2 ,即 f(x) 2 ? ?x -1,?x -1?-?4+x?<1

? ?4+x,x≤-2或x≥3 ? 2 .其图象如图所示,所以由 y=f(x)+k 恰有 ?x -1,-2<x<3 ?

三个零点可得,-1<-k≤2,所以-2≤k<1.故选 D.
x ? ?e ,x≤1, 2.[2015· 洛阳一模]已知函数 f(x)=? 若方程 f(x) ? ?f?x-1?,x>1,

-kx=1 有两个不同实根,则实数 k 的取值范围为( A.? C.?
?e-1

)

,e? ? 3 ?
?

?

B.?

?e-1

,1?∪(1,e-1] ? 2 ?
?e-1

?

? e -1

,1?∪(1,e) ? 3 ? B

D.?

,e-1? ? 2 ?

?

答案

解析

将 f(x)的图象画出,如图,则可知当 x≤1 时,f′(x)=ex,

f′(0)=1.又方程 f(x)-kx=1 等价于 f(x)=kx+1, 方程有两个不同实根 等价于 f(x)的图象与直线 y=kx+1 有两个不同的交点,故可知实数 k 的取值范围是?
?e-1 ?

,1?∪(1,e-1]. ? 2 ? 热点三 函数的实际应用

例 3 (1)[2015· 辽宁五校联考]一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在 交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿, 汽车开始变速 1 直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间 t 内的路程为 s=2t2 米,那么,此人( ) A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但期间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车,但期间最近距离为 7 米 1 1 1 [解析] s=2t2,车与人的间距 d=(s+25)-6t=2t2-6t+25=2(t -6)2+7.当 t=6 时,d 取得最小值 7.故选 D. [答案] D (2)[2015· 四川高考]某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718?为自然对数的底数,k, b 为常数).若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜 时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时. [ 解析 ]
b ? ? ?e =192 ? 由题意得 22k+b ,即 ? 11k 1 ? =48 e = ?e

eb=192 ,所以该食品在 2

?

?1? 33 ℃的保鲜时间是 y=e33k+b=(e11k)3· eb=?2?3×192=24(小时). ? ?

[答案] 24 破题关键点: 解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,

然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序 (1)常见类型:与函数有关的应用题,经常涉及物价、路程、产值、 环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题. (2)应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? 文字语言 数学语言 数学应用 检验作答

1. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 排放时污染物的含量不得 超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量 P(单位:毫克/升)与 过滤时间 t(单位:小时)之间的函数关系为:P=p0e-kt(k,p0 均为正的 常数).若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%.那么,至 少还需________过滤才可以排放.( 1 A.2小时 C.5 小时 答案 解析 C 依题意知 p0e-5k=(1-0.9)p0=0.1p0,所以 e-5k=0.1,两边 ) 5 B.9小时 D.10 小时

ln 10 取对数得-5k=ln 0.1=-ln 10,即 k= 5 .设经过 t 小时,废气中的 2ln 10 2ln 10 污染物含量为 0.01,则 e-kt=0.01,所以 kt=2ln 10,t= k = ln 10 5 =10,故至少还需 10-5=5 小时,才可以排放. 2. [2015· 北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油 行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效 率情况.下列叙述中正确的是( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下, 在该市 用丙车比用乙车更省油 答案 解析 D 对于 A 选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40

km/h 时的燃油效率大于 5 km/L, 故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大 于 5 千米, 所以 A 错误. 对于 B 选项, 由图可知甲车消耗汽油最少. 对 于 C 选项,甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L,故 行驶 1 小时的路程为 80 千米,消耗 8 L 汽油,所以 C 错误.对于 D 选项,当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车 的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以 D 正确.

对应学生用书P012 课题 3 指、对数函数与其他知识的交汇问题 已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函 数.记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为 ( ) A.a<b<c C.a<c<b B.c<a<b D.c<b<a

审题过程 切入点 由 f(x)为偶函数求 m=0,画出 f(x)=2|x|-1 的图象. 关注点 数形结合,利用单调性比较大小. [规范解答] 由于 f(x)为偶函数,所以 m=0,即 f(x)=2|x|-1,其 图象过原点,且关于 y 轴对称,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞) 上单调递增. 又 a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23), b=f(log25), c=f(0), 且 0<log23<log25,所以 c<a<b.故选 B.

? ?log2?1-x?+1,-1≤x<k 1.已知函数 f(x)=? 3 ,若存在 k 使得函 ?x -3x+2,k≤x≤a ?

数 f(x)的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围是( A.[ 3,+∞) C.(0, 3] 答案 B
?1 ? B.?2, 3? ? ?

)

D.{2}

解析

先作出函数 f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<k 的图象,再研

究 f(x)=x3-3x+2,k≤x≤a 的图象, 令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=1,当 x>1 时,f′(x)>0,当-1<x<1

时,f′(x)<0, ∴当 x=1 时,f(x)在(-1,+∞)上取得最小值 f(1)=0,又 f( 3) 1 =2.若存在 k 使 f(x)的值域是[0,2],a 只需满足2<a≤ 3.故选 B. 2.若函数 f(x)=2|x-a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m, +∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 答案 1

解析

因为 f(1+x)=f(1-x),所以函数 f(x)关于直线 x=1 对称,

所以 a=1,所以函数 f(x)=2|x-1|的图象如图所示,因为函数 f(x)在[m, +∞)上单调递增,所以 m≥1,所以实数 m 的最小值为 1.

对应学生用书P145 一、选择题 1. [2015· 石家庄二模]下列四个函数中, 既是奇函数又在定义域上 单调递增的是( A.y=2-|x| C.y=x3 答案 解析 2. [2015· 太原一模]已知实数 a>1,0<b<1,则函数 f(x)=ax+x-b 的 零点所在的区间是( ) C 只有 B、C 选项符合奇函数的定义,在定义域上单调递增 ) B.y=tanx D.y=log2x

的只有 C,故选 C.

A.(-2,-1) C.(0,1) 答案 解析 B

B.(-1,0) D.(1,2)

1 ∵a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,∴f(-1)=a-1-b<0,f(0)

=1-b>0,由零点存在性定理可知 f(x)在区间(-1,0)上存在零点. 3.[2015· 陕西质检(一)]已知函数 f(x)=πx 和函数 g(x)=sin4x,若 f(x)的反函数为 h(x),则 h(x)与 g(x)的图象的交点个数为( A.1 C.3 B.2 D.0 )

答案 解析

C ∵f(x)=πx,∴h(x)=logπx,作出 h(x),g(x)的图象可知有 3

个交点,故选 C. 4.[2015· 郑州质量预测(一)]设函数 f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+ 2x2-5,若实数 a,b 分别是 f(x),g(x)的零点,则( A.g(a)<0<f(b) C.0<g(a)<f(b) 答案 解析 A 依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数 f(x)是增函数, B.f(b)<0<g(a) D.f(b)<g(a)<0 )

因此函数 f(x)的零点在区间(0,1)内,即 0<a<1.g(1)=-3<0,g(2)=ln 2 +3>0,函数 g(x)的零点在区间(1,2)内,即 1<b<2,于是有 f(b)>f(1)>0. 又函数 g(x)在(0,1)内是增函数,因此有 g(a)<g(1)<0,g(a)<0<f(b),选 A. 5.已知 a=3 A.a>b>c C.c>b>a
1 2

1 1 ,b=log1 2,c=log23,则( 3 B.b>c>a D.b>a>c

)

答案 解析 故选 A.

A ∵a=3
1 2

1 1 >1,0<b=log1 2=log32<1,c=log23<0,∴a>b>c, 3 )

6.[2015· 重庆高考]“x>1”是“log1 (x+2)<0”的(
2

A.充要条件 C.必要而不充分条件 答案 B
2

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由 log1 (x+2)<0,得 x+2>1,解得 x>-1,所以“x>1”是 “log1 (x+2)<0”的充分而不必要条件,故选 B.
2

? ?x+2,x>a 7.[2015· 郑州质量预测(二)]已知函数 f(x)=? 2 , ?x +5x+2,x≤a ?

函数 g(x)=f(x)-2x 恰有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1) C.[-2,2) 答案 解析 D
?2-x,x>a ? 由题意知 g(x)=? 2 .因为 g(x)有三个不同 ? ?x +3x+2,x≤a

B.[0,2] D.[-1,2)

的零点,所以 2-x=0 在 x>a 时有一个解,由 x=2 得 a<2.由 x2+3x +2=0 得 x=-1 或 x=-2,由 x≤a 得 a≥-1.综上,a 的取值范围 为[-1,2),所以选 D. 8.已知函数 f(x)=x2+2x+1-2x,则 y=f(x)的图象大致为( )

答案 解析

A f(x)=x2+2x+1-2x=(x+1)2-2x,令 g(x)=(x+1)2,h(x)

=2x,则 f(x)=g(x)-h(x),在同一坐标系下作出两个函数的简图,根 据函数图象的变化趋势可以发现 g(x)与 h(x)的图象共有三个交点,其 横坐标从小到大依次设为 x1,x2,x3,在区间(-∞,x1)上有 g(x)>h(x), 即 f(x)>0;在区间(x1,x2)上有 g(x)<h(x),即 f(x)<0;在区间(x2,x3)上 有 g(x)>h(x),即 f(x)>0;在区间(x3,+∞)上有 g(x)<h(x),即 f(x)<0. 故选 A. 9.[2015· 山西质量预测]若关于 x 的不等式 4ax-1<3x-4(a>0,且 a≠1)对于任意的 x>2 恒成立,则 a 的取值范围为( 1? ? A.?0,2?
? ?

)

1? ? B.?0,2?
? ?

C.[2,+∞) 答案 解析 B

D.(2,+∞)

3 不等式 4ax-1<3x-4 等价于 ax-1<4x-1.令 f(x)=ax-1,g(x)

3 =4x-1,当 a>1 时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图 1 所示,由图知不满足条件;当 0<a<1 时,在同一坐标系中作出两个函 3 数的图象,如图 2 所示,由题意知,f(2)≤g(2),即 a2-1≤4×2-1, 1? ? 1 即 a≤2,所以 a 的取值范围是?0,2?,故选 B.
? ?

?|ln x|,x>0 ? 10.[2015· 石家庄一模]已知函数 f(x)=? 2 ,若关 ?x +4x+1,x≤0 ?

于 x 的方程 f2(x)-bf(x)+c=0(b,c∈R)有 8 个不同的实数根,则 b+c 的取值范围为( A.(-∞,3) C.[0,3] 答案 解析 D 令 f(x)=m, 方程 f2(x)-bf(x)+c=0 有 8 个不同的实根,等 ) B.(0,3] D.(0,3)

价 于 方 程 m2 - bm + c = 0 在 (0,1] 上 有 2 个 不 等 的 实 根 , 即

? b ?0< <1 ? 2 c>0 ? ?1-b+c>0
二、填空题

b2-4c>0

,画出可行域,结合图形可知 0<b+c<3,故选 D.

11.已知 g(x)=-x2-4,f(x)为二次函数,满足 f(x)+g(x)+f(-x) +g(-x)=0,且 f(x)在[-1,2]上的最大值为 7,则 f(x)=________. 答案 解析 1 f(x)=x2-2x+4 或 f(x)=x2-2x+4 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则由题意可得 f(x)+g(x)+f(-

x)+g(-x)=2ax2+2c-2x2-8=0,得 a=1,c=4.显然二次函数 f(x) 在区间[-1,2]上的最大值只能在 x=-1 时或 x=2 时取得.当 x=-1 函数取得最大值 7 时,解得 b=-2;当 x=2 函数取得最大值 7 时, 1 1 解得 b=-2,所以 f(x)=x2-2x+4 或 f(x)=x2-2x+4.

? ?|2x+1|,x≤1 12.[2015· 山西质监]已知函数 f(x)=? ,若 f(x1) ?log2?x-1?,x>1 ?

=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3 互不相等),则实数 x1+x2+x3 的取值范围为 ________. 答案 (1,8]

解析 f(x)的图象如图所示,可令 x1<x2<x3,由图易知点(x1,0),(x2,0)关 1 于直线 x=-2对称, 所以 x1+x2=-1.令 log2(x-1)=3 得 x=9, 由 f(x1) =f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3 互不相等),结合图象可知 2<x3≤9,所以 1 <x1+x2+x3≤8. 1 1 13.若正数 a,b 满足 2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则a+b的 值为________. 答案 解析 3
k-3

108 设 2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,可得 a=2k-2,b=
k

1 1 a+b 6k ,a+b=6 ,所以a+b= ab = k-2 k-3=108.所以应填 108. 2 3

? a ,x≤0 14.[2015· 南昌一模]已知函数 f(x)=?x-1 ?lg x,x>0
答案 解析 (-1,0)∪(0,+∞)

,若关于 x 的

方程 f(f(x))=0 有且只有一个实数解, 则实数 a 的取值范围为________.
?0,x≤0 ? (1)若 a=0, 则 f(x)=? , 此时关于 x 的方程 f(f(x)) ?lg x,x>0 ?

=0 有无数个解,即 a=0 不合题意.

a (2)若 a<0,当 x≤0 时, ≠0, x-1 所以由 f(f(x))=0,得 lg f(x)=0,即 f(x)=1, 又当 x>0 时,由 f(x)=1 得 x=10,即 x=10 是方程 f(f(x))=0 的一 个解, a 根据题意知当 x≤0 时,关于 x 的方程 f(x)=1 无解,即 ≠1, x-1 即 a≠x-1. 而当 x≤0 时,x-1≤-1,所以-1<a<0 符合题意. a (3)若 a>0,当 x≤0 时, ≠0, x-1 所以由 f(x)=1 得 x=10,即 x=10 是方程 f(f(x))=0 的一个解, a 根据题意知当 x≤0 时,关于 x 的方程 f(x)=1 无解,即 ≠1, x-1 即 a≠x-1, 而当 x≤0 时,x-1≤-1,所以 a>0 符合题意. 综上所述,所求实数 a 的取值范围为-1<a<0 或 a>0.

第四讲 不等式、线性规划(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 两个数(代数式)的大小比较、一元二次不等式的求解、 基本不等式的应用、简单的线性规划. 2.交汇点 两个实数(代数式)的大小比较与函数的单调性,一元二

次不等式与二次函数、一元二次方程,基本不等式与函数的应用,线 性规划与直线的方程、斜率、截距、距离、图形的面积等知识交汇考 查. 3.常用方法 一元二次不等式的解法,分离参数法解决不等式恒成

立问题,利用“穿根法”求解高次不等式.

对应学生用书P013 [必记公式] 1.a2+b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当 a=b) 2.ab≤? 3.
?a+b?2 ? (a,b∈R). ? 2 ?

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab ≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b [重要结论]

4.2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立) 1.不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc. (2)a>b>0,c>d>0?ac>bd. (3)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1). n n (4)a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 2.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关 系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f ?x ? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g ?x ? f ?x ? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g ?x ? (3)简单指数不等式的解法

当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); 当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; 当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 3.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点(x0,y0),通过 Ax0+By0 +C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. [易错提醒] 1.忽略限制条件致误:应用不等式的性质时,要注意限制条件. 2.注意符号成立的条件:用基本不等式求最值时,若连续进行放 缩,只有各等号成立的条件保持一致时,结论的等号才成立. 3. 忽略基本不等式求最值的条件致误: 利用基本不等式求最值时 要注意“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可. 4.解分式不等式时,直接把分母乘到一边,不注意分母的取值范 围,致误.

对应学生用书P013 热点一 不等式的解法

例1

1+x ? ? x ,x<0 (1)已知 f(x)=? log1 x,x>0 ? ? 2
?

, 则 f(x)≥-2 的解集是(

)

1? ? A.?-∞,-3?∪[4,+∞)
?

1? ? B.?-∞,-3?∪(0,4]
? ? ? ? 1 ? C.?-3,0?∪[4,+∞) ? ? 1 ? D.?-3,0?∪(0,4] ? ?

1+x [解析] 当 x<0 时,f(x)≥-2,即 x ≥-2,可转化为 1+x≤- 1 2x,得 x≤-3;当 x>0 时,f(x)≥-2,即 log1 x≥-2,可转化为 log1
2 2

1? ? x≥log1 4,解得 0<x≤4.综上可知不等式的解集为?-∞,-3?∪(0,4].
2

?

?

[答案] B (2)[2015· 西安八校联考]设集合 A={x|lg (10-x2)>0},集合 B=
? x 1? ?x| 2 < ?,则 A∩B=( 2? ?

) B.(-1,3) D.(1,3)
? ?

A.(-3,1) C.(-3,-1) [解析]

1? ? A={x|lg (10-x2)>0}={x|-3<x<3},B=?x| 2x<2?={x|x<

-1},A∩B={x|-3<x<-1}.故选 C. [答案] C 求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式, 应先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次 函数图象与 x 轴的位臵关系,确定一元二次不等式的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转 化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解. (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到 对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有理有据、层次清楚地求 解.

? ? ?x+1 ≥0 1.[2015· 长春质监]已知集合 P={x|x≥0},Q=?x? ? ?x-2 ?

? ? ?,则 ? ?

P∩(?RQ)=( C.(-1,0) 答案 解析 D

) B.(-∞,-1] D.[0,2]

A.(-∞,2)

由题意可知 Q={x|x≤-1 或 x>2}, 则?RQ={x|-1<x≤2},

所以 P∩(?RQ)={x|0≤x≤2}.故选 D.
?2x,x∈[0,1? ? 2 . [2015· 石家庄质检 ( 二 )] 函数 f(x) = ? ,若 ? ?4-2x,x∈[1,2]

3 f(x0)≤2,则 x0 的取值范围是( 3 5? ? A.?log22,4? ? ? 3? ?5 ? ? B.?0,log22?∪?4,+∞?
? ? ? ? ? ? ?

)

3? ?5 ? ? C.?0,log22?∪?4,2?
? ?

3 ? ?5 ? ? D.?log22,1?∪?4,2?
? ? ?

答案 解析

C 3 3 ①当 0≤x0<1 时,2x0≤2,x0≤log22,

3 ∴0≤x0≤log22. 3 5 ②当 1≤x0≤2 时,4-2x0≤2,x0≥4, 5 ∴4≤x0≤2,故选 C. 热点二 简单的线性规划问题

例2

(1)[2015· 云南统测]某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 ,设这所学校今年计划招聘

2a-b≥5 ? ? b 名,若 a、b 满足不等式组?a-b≤2 ?a<7 ? 教师最多 x 名,则 x=( A.10 C.13 )

B.12 D.16

[解析]

如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作

直线 l:b+a=0,平移直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时, x=a+b=13.故选 C. [答案] C x+y-2≤0, ? ? (2)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 的最优解不唯一,则实数 a 的值为( 1 A.2或-1 C.2 或 1 ) 1 B.2 或2 D.2 或-1

若 z=y-ax 取得最大值

[解析] 作出可行域(如右图),为△ABC 内部(含边界).由题设 z =y-ax 取得最大值的最优解不唯一可知:线性目标函数对应直线与 1 可行域某一边界重合.由 kAB=-1,kAC=2,kBC=2可得 a=-1 或 a 1 1 =2 或 a=2,验证:a=-1 或 a=2 时,成立;a=2时,不成立.故 选 D. [答案] D x2 y2 (3)已知双曲线 8 - 2 =1 的两条渐近线与函数 y=x3+x2+x+1 在 点 M(1,4)处的切线围成的封闭区域为 P(包括边界),设点 A 为区域 P →· → 的最大值为( 内的任一点,已知 B(4,5),O 为坐标原点,则OA OB 23 A.12 C.2 B.3 26 D.11 )

x2 y2 1 3 [解析] 双曲线 8 - 2 =1 的渐近线方程为 y=± x ,对函数 y = x 2 +x2+x+1 进行求导,得 y′=3x2+2x+1,则其在点 M(1,4)处的切线 →· → =(x,y)· 方程为 y-4=6(x-1),设 A(x,y),则OA OB (4,5)=4x+5y, 4 z 4 设 z=4x+5y,变形为 y=-5x+5,作出线性区域可知,当 y=-5x z 1 →· → 取得最大值,则 + 5 经过 y - 4 = 6(x - 1) 与 y = 2 x 的交点时 OA OB

?y-4=6?x-1? ? 1 ?y=2x

4 ? ?x=11, ?? 2 ? y = ? 11,

4 所以求得的最大值为 zmax = 11 ×4+

2 26 × 5 = 11 11. [答案] D y+2 本例(2)条件不变, 把目标函数改为 z= ,求 z 的取 x-1 值范围? 解 可知 z 的几何意义为可行域内的点(x, y)与(1, -2)的斜率. 可 知 z 的范围为(-∞,0]∪[2,+∞). 解决线性规划问题应关注三方面 (1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到 目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一 定要准确,整点问题要验证解决. (2)画可行域时应注意区域是否包含边界. (3)对目标函数 z=Ax+By 中 B 的符号,一定要注意 B 的正负与 z 的最值的对应,要结合图形分析.

1.定义在[-2,4]上的函数 f(x)的部分值如下表: x f (x ) -2 1 0 -1 4 1

f(x)的导函数 f′(x)的图象如图,两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 b+3 的取值范围是( a+3
?6 3? A.?7,4? ? ?

)
?3 7? B.?5,3? ? ?

?2 6? C.?3,5? ? ?

? 1 ? D.?-3,3? ? ?

答案 解析

B 由导函数 f′(x)的图象知,f(x)在区间(-2,0)上递减,在区

间(0,4)上递增, 从表中可以看出, 在区间(-2,0)∪(0,4)上, -1<f(x)<1, 所以-2<2a+b<4, 且 2a+b≠0.又因为两正数 a, b, 所以 0<2a+b<4, b+3 b-?-3? 而 = 表示点(a,b)与点(-3,-3)连线的斜率,在直角坐 a+3 a-?-3? 标系中作出 0<2a+b<4 的区域和点(-3,-3),易知 < 4-?-3? b+3 ?3 7? ,即 ∈? , ?,故选 B. 0-?-3? a+3 ?5 3? 2.[2015· 陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种 原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所 示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该 企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) A.12 万元 C.17 万元 答案 D 3 1 ) 乙 2 2 原料限额 12 8 B.16 万元 D.18 万元 0-?-3? b+3 < 2-?-3? a+3

解析

x≥0 ? ?y≥0 根据题意, 设每天生产甲 x 吨, 乙 y 吨, 则? 3x+2y≤12 ? ?x+2y≤8



目标函数为 z=3x+4y,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影 部分所示,作出直线 3x+4y=0 并平移,易知当直线经过点 A(2,3)时, z 取得最大值且 zmax=3×2+4×3=18, 故该企业每天可获得最大利润 为 18 万元,选 D. 热点三 基本不等式的应用 例3 大值为( A.5 C.15 (1)[2015· 兰州双基过关]已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的 ) B.10 D.20

两条互相垂直的弦,且垂足为 M(1, 2),则四边形 ABCD 面积的最

[解析]

如图,作 OP⊥AC 于 P,OQ⊥BD 于 Q,则 OP2+OQ2 1 1 =2AC· BD≤2×10=5,

= OM2 = 3 , ∴ AC2 + BD2 = 4(4 - OP2) + 4(4 - OQ2) = 20. 又 AC2 + BD2≥2AC· BD,则 AC· BD≤10,∴S
四边形 ABCD

当且仅当 AC=BD= 10时等号成立,∴四边形 ABCD 面积的最大值 为 5. [答案] A x y (2)[2015· 沈阳质监]若直线 l:a+b=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则 直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值是________.

x y [解析] 由直线 l: b>0)可知直线在 x 轴上的截距为 a+b=1(a>0, a, 直线在 y 轴上的截距为 b.求直线在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小 1 2 值,即求 a+b 的最小值.由直线经过点(1,2)得a+b=1.于是 a+b=(a
?1 2? b 2a b 2a + b)×1= (a+ b)×?a+b? = 3+ a+ b ,因为a+ b ≥2 ? ?

b 2a a× b = 2 2

b 2a (当且仅当a= b 时取等号,即 b= 2a 时取得),所以 a+b≥3+2 2. [答案] 3+2 2 1 (3)设二次函数 f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞), 则 c+1 9 + 的最大值为________. a+9 [解析] 由 Δ = 0 知 ac = 4 , 且 a>0 , c>0 , 1 9 + = c+1 a+9

a+9+9c+9 a+9c+18 5 5 6 = =1+ ≤1 + = 5 ,当 ac+a+9c+9 a+9c+13 a+9c+13 2 9ac+13
? ?ac=4, 2 ? 即 a=6,c=3时等号成立. ?a=9c, ?

6 [答案] 5 利用基本不等式解题应关注三方面 (1)利用基本不等式求最值的注意点 ①在运用基本不等式求最值时, 必须保证“一正, 二定, 三相等”, 凑出定值是关键. ②若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否 则就会出错. (2)求条件最值问题的两种方法 一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数),借助于函数单调性求最值;二是可考虑通过变形直

接利用基本不等式解决. (3)结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知条件 和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基 本不等式的形式,常见的转化方法有 b b ①x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a
?a b? a b ? + ?≥ma+ ②若x+y=1,则 mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)· ? x y?

nb+2 abmn(字母均为正数).

1 2 1.[2015· 湖南高考]若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值 为( ) A. 2 C.2 2 答案 解析 C 1 2 b+2a 通解: 由已知得a+b= ab = ab, 且 a>0, b>0, ∴ab ab 2 即 ab≥2 2, ab, B.2 D.4

=b+2a≥2 2 ab,∴ab≥2 2. 1 2 优解: 由题设易知 a>0, b>0, ∴ ab=a+b≥2

?1+2= 当且仅当?a b ?b=2a

ab

时,取等号,选 C.
?a+b? ?, ? 2 ?

2. [2015· 陕西高考]设 f(x)=ln x,0<a<b, 若 p=f( ab), q=f? 1 r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p )

B.p=r<q

C.q=r>p 答案 解析 B

D.p=r>q

a+b ∵0<a<b,∴ 2 > ab,又 f(x)=ln x 在(0,+∞)上单调递
?a+b? 1 1 ?,即 q>p,∵r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b)=ln 2 2 ? 2 ?

增,故 f( ab)<f?

ab=f( ab)=p,∴p=r<q.故选 B. 3.[2015· 重庆高考]设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最 大值为________. 答案 解析 3 2 ( a+1 + b+3 )2 = a + b + 4 + 2 a+1 · b+3 ≤9 +

( a+1)2+( b+3)2=9+a+b+4=18,所以 a+1+ b+3≤3 2, 7 3 当且仅当 a+1=b+3 且 a+b=5,即 a=2,b=2时等号成立.所以 a+1+ b+3的最大值为 3 2.

对应学生用书P015 课题 4 不等式中参数取值范围的求解 1 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=2(|x -a2|+|x-2a2|-3a2).若?x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围 为( )
? 1 1? A. ?-6,6? ? ? ? 1 1? C. ?-3,3? ? ? ? ?

B. ?- D. ?-
? ?

6 6? ? , 6 6? 3 3? ? , 3 3?

审题过程 切入点 借助奇函数,分析解析式,作函数图象. 关注点 数形结合,分析恒成立问题.

[规范解答]

-x,0≤x≤a ? ? 2 2 2 当 x≥0 时,f(x)=?-a ,a <x≤2a ? ?x-3a2,x>2a2

2

,①

又 f(x)为奇函数,可得 f(x)的图象如图所示.②

由图象可得,当 x≤2a2 时,f(x)max=a2,当 x>2a2 时,令 x-3a2 =a2,得 x=4a2,又?x∈R,f(x-1)≤f(x),可知 4a2-(-2a2)≤1,③ ∴a∈?-
? ?

6 6? ?,故选 B.④ , 6 6?

利用数形结合解决此类问题的模型示意图如下:

-x ? ?2 +1,x≤0 1.已知函数 f(x)=? ,若 f(f(-1))>4a,则实数 a 的 ? ?log3x+ax,x>0

取值范围为( 1? ? C.?-∞,5?
? ?

) B.(-∞,0) D.(1,+∞)

A.(-∞,1)

答案 解析

A ∵f(-1)=3,∴f(f(-1))=1+3a>4a,∴a<1,故选 A.

2.若关于 x 的不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为________.
? 23 ? 答案 ?- 5 ,+∞? ? ?

解析
? ?f?1?≤0, ? ?f?5?≤0, ?

设 f(x)=x2+ax-2, 若 x2+ax-2>0 在[1,5]上无解, 则只需

? ?1+a-2≤0, 23 即? 解得 a≤- 5 ,所以 x2+ax-2>0 在[1,5]上 ? ?25+5a-2≤0,

23 有解时,a>- 5 . 对应学生用书P146 一、选择题 1.已知集合 A={x|x2-x<0},集合 B={x|2x<4},则“x∈A”是“x ∈B”的( ) B.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分且不必要条件 C.充要条件 答案 解析 A ∵A={x|0<x<1},B={x|x<2},∴“x∈A”可以推出“x∈

B”;在集合 B 中取元素-1,则-1?A,∴“x∈B”不能推出“x∈ A”.故选 A. 2. 设非零实数 a, b 满足 a<b, 则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a>b B.ab<b2 )

C.a+b>0 答案 解析 D

D.a-b<0

令 a=-1,b=1,经检验 A、C 都不成立,排除 A、C;

令 a=-3,b=-2,经检验 B 不成立,排除 B,故选 D. 3.[2015· 烟台一模]若条件 p:|x|≤2,条件 q:x≤a,且 p 是 q 的 充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A.a≥2 C.a≥-2 答案 解析 选 A. 4. [2015· 江西八校联考]已知 O 为坐标原点, 点 M 的坐标为(-2,1), x≥0 ? ? 在平面区域?x+y≤2 ? ?y≥0 坐标是( ) B.(0,1) D.(2,0) A.(0,0) C.(0,2) 答案 解析 B 作出不等式组表示的区域,如图阴影部分所示,当 MN⊥y A 因为|x|≤2,则 p:-2≤x≤2,q:x≤a,由于 p 是 q 的充 ) B.a≤2 D.a≤-2

分不必要条件, 则 p 对应的集合是 q 对应的集合的真子集, 所以 a≥2,

上取一点 N,则使|MN|取得最小值时,点 N 的

轴时,|MN|取到最小值,即 N(0,1).

x+1-y≥0 ? ? 5.[2015· 南昌一模]已知实数 x,y 满足?x+y-4≤0 ? ?y≥m A.4 C.2 答案 C x+1-y≥0 ? ? ?x+y-4≤0 ? ? y ≥m B.3 1 D.-2

,若目标函 )

数 z=2x+y 的最大值与最小值的差为 2,则实数 m 的值为(

解析

表示的可行域如图中阴影部分所示.将直

线 l0:2x+y=0 向上平移至过点 A,B 时,z=2x+y 分别取得最小值
? ? ?x+1-y=0 ?x+y-4=0 与最大值.由? 得 A(m-1,m),由? 得 B(4- ?y=m ?y=m ? ?

m,m),所以 zmin=2(m-1)+m=3m-2,zmax=2(4-m)+m=8-m, 所以 zmax-zmin=8-m-(3m-2)=2,解得 m=2.

x y 6.[2015· 福建高考]若直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( A.2 C.4 答案 解析 C x y 1 1 解法一:因为直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以a+b ) B.3 D.5

1 1 =1,所以 1=a+b≥2

11 2 · = (当且仅当 a=b=2 时取等号),所 ab ab

以 ab≥2.又 a+b≥2 ab(当且仅当 a=b=2 时取等号),所以 a+ b≥4(当且仅当 a=b=2 时取等号),故选 C. x y 1 1 解法二:因为直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以a+b=1,
?1 1? a b 所以 a+b=(a+b)?a+b?=2+b+a≥2+2 ? ?

ab b· a=4(当且仅当 a=b

=2 时取等号),故选 C. x+y≤1 ? ? 7.[2015· 兰州诊断]已知不等式组?x-y≥-1 ? ?y≥0 ( ) A.[-3,3] 1? ?1 ? ? B.?-∞,-3?∪?3,+∞?
? ? ? ?

所表示的平面区

域为 D, 若直线 y=kx-3 与平面区域 D 有公共点, 则 k 的取值范围为

C.(-∞,-3]∪[3,+∞)
? 1 1? D.?-3,3? ? ?

答案 解析

C 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.因为直线

y=kx-3 过定点(0,-3),所以当 y=kx-3 过点 C(1,0)时,k=3;当 y=kx-3 过点 B(-1,0)时,k=-3,所以 k≤-3 或 k≥3 时,直线 y =kx-3 与平面区域 D 有公共点,故选 C.

8.[2015· 河北省名校联盟监测(二)]函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且

a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上, 其中 m>0, 2 1 n>0,则m+n的最小值为( A.2 2 5 C.2 答案 解析 D 由函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的解析式知:当 x ) B.4 9 D.2

=-2 时,y=-1,所以 A 点的坐标为(-2,-1),又因为点 A 在直 2 1 线 mx+ny+2=0 上,所以-2m-n+2=0,即 2m+n=2,所以m+n 2m+n 2m+n n m 1 5 9 2 = m + 2n =2+m+ n +2≥2+2=2, 当且仅当 m=n=3时等号 2 1 9 成立.所以m+n的最小值为2,故选 D. 2x+y 9.[2015· 九江一模]若实数 x,y 满足|x-3|≤y≤1,则 z= 的 x+y 最小值为( 5 A.3 3 C.5 答案 A ) B.2 1 D.2

解析

x+y-3≥0 ? ? 依题意,得实数 x,y 满足?x-y-3≤0 ? ?0≤y≤1 y 2+x

,画出可行域如

图阴影部分所示,其中 A(3,0),C(2,1),z=

?5 ? 1 ? ,2?, = 1 + ∈ y y ?3 ? 1+x 1+x

故选 A. t+2 t 10.若不等式 2 ≤a≤ t2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范 t +9 围是(
?

)
? ? ?1 ? B.?6,2 2? ? ? ?2 ? D.?13,1? ? ?

?1 ? A.?6,1? ?1 4 ? C.?6,13? ?

答案 解析

D t 1 9 9 9 = 9,而 y=t+ t 在(0,2]上单调递减,故 t+ t ≥2+2 t +9 t+ t
2

t+2 1 2 13 t 1 2 = 2 , 2 = 9≤13(当且仅当 t=2 时等号成立), t2 = t +t2= t +9 t+ t t+2 1 2 ?1 1? ?1 1? 1 1 1 1 2? t +4?2-8,因为 t ≥2,所以 t2 = t +t2=2? t +4?2-8≥1(当且仅当 t ? ? ? ?
?2 ? =2 时等号成立),故 a 的取值范围为?13,1?. ? ?

二、填空题 11.[2014· 福建高考]要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长 方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平 方米 10 元,则该容器的最低总造价是________(单位:元). 答案 解析 160 设底面边长 x m,宽 y m,则 x×y×1=4,∴xy=4,设造

价为 z,∴z=20xy+10×2(x+y)=80+20(x+y)≥80+20×2 xy=80 +20×2 4=160(元),当且仅当 x=y=2 时,等号成立. 12.[2015· 陕西质检(二)]若方程 x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1) b-2 内,另一个根在(1,2)内,则 的取值范围是________. a-1
?1 ? 答案 ?4,1? ? ?

解析

令 f(x)=x2+ax+2b, ∵方程 x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1)

f?0?>0 ? ? 内,另一个根在(1,2)内,∴?f?1?<0 ?f?2?>0 ? b>0 ? ? ∴?a+2b<-1. ? ?a+b>-2



1 b-2 根据约束条件作出可行域,可知4< <1. a-1

13.[2015· 辽宁五校联考]设实数 x,y 满足约束条件 3x-y-6≤0 ? ?x-y+2≥0 ?x≥0 ? ?y≥0 25 答案 13 解析 因为 a>0,b>0,所以由可行域得,当目标函数 z=ax+by 过点(4,6)时取最大值, 则 4a+6b=10.a2+b2 的几何意义是直线 4a+6b =10 上任意一点到点(0,0)的距离的平方,那么最小值是点(0,0)到直线 25 4a+6b=10 距离的平方,即 a2+b2 的最小值是13. 14.[2015· 江西八校联考]已知点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的 距离相等,则 2x+4y 的最小值为________. 答案 解析 4 2 由题意得, 点 P 在线段 AB 的中垂线上, 则易得 x+2y=3,

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 10,

则 a2+b2 的最小值为________.

3 ∴2x+4y≥2 2x· 4y=2 2x+2y=4 2,当且仅当 x=2y=2时,即 x 3 3 =2,y=4时等号成立,故 2x+4y 的最小值为 4 2. 第五讲 导数的简单应用(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI

1.命题点

导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,求

函数的极值或最值. 2.交汇点 常与含参数的一元二次不等式、三角函数、数列、

直线与圆锥曲线等知识交汇考查. 3.常用方法 最值的方法. 利用导数判断单调性的方法,利用导数求极值、

对应学生用书P016 [必记公式] 1.基本初等函数的八个导数公式 原函数 f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα(α∈R) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 2.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)?
? f ?x ? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ?′= (g(x)≠0). [g?x?]2 ?g?x??

导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα-1 f′(x)=cosx f′(x)=-sinx f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)=x logae 1 f′(x)=x

[重要概念] 1.切线的斜率 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率, 因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k=f′(x0),相应的切线方程为 y -f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0(f′(x)<0),那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增(单调递减). 3.函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的点 x,都有 f(x)<f(x0),那么 f(x0)是函数的一个极大值,记作 y 作 y 极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值. 4.函数的最值 将函数 y=f(x)在[a,b]内的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比 较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [易错提醒] 1.判断极值的条件掌握不清:利用导数判断函数的极值时,忽视 “导数等于零,并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立. 2.混淆在点 P 处的切线和过点 P 的切线:前者点 P 为切点,后 者点 P 不一定为切点,求解时应先设出切点坐标. 3.关注函数的定义域:求函数的单调区间及极(最)值应先求定义 域.
极大值

=f(x0);如果对

x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0),那么 f(x0)是函数的一个极小值,记

对应学生用书P017 热点一 导数的几何意义 例 1 (1)[2015· 陕西质检]已知直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3ln x 的一条切线,则 m 的值为( A.0 C.1 ) B.2 D.3

[解析] 因为直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3ln x 的切线, 所以令 3 3 y′=2x-x=-1,得 x=1,x=-2(舍),即切点为(1,1),又切点(1,1) 在直线 y=-x+m 上,所以 m=2,故选 B. [答案] B (2)[2015· 洛阳统考]已知直线 m:x+2y-3=0,函数 y=3x+cosx 的图象与直线 l 相切于 P 点,若 l⊥m,则 P 点的坐标可能是( 3π? ? π A.?-2,- 2 ?
? ? ?3π π? C.? 2 ,2? ? ? ?π 3π? B.?2, 2 ? ? ? ?

)

π? ? 3π D.?- 2 ,-2?
?

1 [解析] 因为直线 m 的斜率为-2,l⊥m,所以直线 l 的斜率为 2. 因为函数 y=3x+cosx 的图象与直线 l 相切于点 P,设 P(a,b),则 b π =3a+cosa 且 y′|x=a =3-sina=2,所以 sina=1,解得 a=2+2kπ(k 3π ?π ? 3π ∈Z),所以 b= 2 +6kπ(k∈Z),所以 P?2+2kπ, 2 +6kπ?(k∈Z),当 k
? ? ?π 3π? =0 时,P?2, 2 ?,故选 B. ? ?

[答案] B

求曲线的切线方程的关键点 利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点 的坐标或过某点的切线方程, 求解这类问题的关键就是抓住切点 P(x0, f(x0)),P 点的坐标适合曲线方程;P 点的坐标适合切线方程;P 点处 的切线斜率为 k=f′(x0).

1 x 1.[2015· 九江一模]已知直线 y=-x+1 是函数 f(x)=-a· e 图象 的切线,则实数 a=________. 答案 解析 e2
x0 1 x0 设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=-a· e =-1,∴e =a,

1 x0 又-a· e =-x0+1,∴x0=2,∴a=e2. 2. [2015· 云南统测]已知 f(x)=x3+ax-2b, 如果 f(x)的图象在切点 P(1 ,- 2) 处的切线与圆 (x - 2)2 + (y + 4)2 = 5 相切,那么 3a + 2b = ________. 答案 解析 -7 由题意得 f(1)=-2?a-2b=-3,又∵f′(x)=3x2+a,∴

f(x)的图象在点(1, -2)处的切线方程为 y+2=(3+a)(x-1), 即(3+a)x |?3+a?×2+4-a-5| 5 1 -y-a-5=0,∴ = 5?a=-2,∴b=4,∴3a 2 ?3+a? +1 +2b=-7.

热点二 利用导数研究函数的单调性

例2

1 (1)已知函数 f(x)= x (其中 e 为自然对数的底数), 则 e -2x-1 )

y=f(x)的图象大致为(

[解析] 记 g(x)=ex-2x-1,则有 g′(x)=ex-2,当 x<ln 2 时, g′(x)=ex-2<0,g(x)是减函数;当 x>ln 2 时,g′(x)=ex-2>0,g(x) 是增函数.因此,当 x<0 时,g(x)=ex-2x-1 是减函数,且 g(x)>g(0) =0,此时 f(x)= 1 >0,且 f(x)是增函数;当 0<x<ln 2 时,g(x)=ex- g ?x ?

1 2x-1 是减函数,g(x)<0,此时 f(x)= <0,且 f(x)是增函数,对比各 g ?x ? 选项知,选 C. [答案] C (2)[2015· 沈阳质监]若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f′(x)>1, f(0)=4,则不等式 exf(x)>ex+3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为 ( ) A.(0,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) [解析] B.(-∞,0)∪(3,+∞) D.(3,+∞)

令 g(x)=exf(x)-ex-3,∴g′(x)=ex(f(x)+f′(x))-ex=

ex(f(x)+f′(x)-1)>0, ∴g(x)在 R 上单调递增, 又∵g(0)=f(0)-4=0, ∴g(x)>0?x>0,即不等式的解集是(0,+∞). [答案] A
? 1 ?1 (3)若函数 f(x)=x2+ax+x在?2,+∞?上是增函数,则 a 的取值范 ? ?

围是(

) B.[-1,+∞) D.[3,+∞)

A.[-1,0] C.[0,3]

?1 ? 1 [解析] 由题可得 f′(x)≥0 在?2,+∞?上恒成立,即 2x+a-x2 ? ? ?1 ? ?1 ? 1 1 ≥0, 即 a≥x2-2x 在?2,+∞?上恒成立. 又∵y=x2-2x 在?2,+∞?上 ? ? ? ?

为减函数,∴ymax<3,∴a≥3.故选 D. [答案] D
? 1 ?1 例(3)中若函数 f(x)=x2+ax+x在?2,+∞?上存在减区 ? ?

间,求实数 a 的取值范围. 解
?1 ? 1 f′(x)=2x+a-x2,因为函数在?2,+∞?上存在减区间,所 ? ?

?1 ? ?1 ? 1 以 f′(x)<0 在?2,+∞?上有解,即 a<x2-2x 在?2,+∞?上有解.设 ? ? ? ?

1 2 2 g(x)=x2-2x,g′(x)=-x3-2,令 g′(x)=-x3-2=0,得 x=-1,
?1 ? ?1? 当 x∈?2,+∞?时,g′(x)<0,又 g?2?=4-1=3,所以 a<3. ? ? ? ?

利用导数研究函数单调性的三个应用 (1)利用导数判断函数图象 通过求导找出增减区间,结合排除法和特殊值法解题. (2)利用导数解不等式 这类题目很多时候要构造特殊函数,通过观察式子的特点,构造 特殊函数,然后求导找其增减区间,进而对不等式求解. (3)求参数的取值范围 已知函数 y=f(x)在(a,b)的单调性,求参数的范围的方法 ①利用集合间的包含关系处理: y=f(x)在(a, b)上单调, 则区间(a, b)是相应单调区间的子集. ②转化为不等式的恒成立问题求解:即 “若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减,则 f′(x)≤0”.

1.[2015· 安徽高考]函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示, 则下列结论成立的是( )

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 答案 解析 A

B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0

∵函数 f(x)的图象在 y 轴上的截距为正值,∴d>0.∵f′(x)

=3ax2+2bx+c,且函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在(-∞,x1)上单调递 增,(x1,x2)上单调递减,(x2,+∞)上单调递增,∴f′(x)<0 的解集为 c 2b (x1,x2),∴a>0,又 x1,x2 均为正数,∴3a>0,-3a>0,可得 c>0, b<0. 2.[2015· 课标全国卷Ⅱ]设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函 数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的 取值范围是( ) B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞) A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) 答案 解析 于 F′(x)= A f ?x ? 令 F(x)= x ,因为 f(x)为奇函数,所以 F(x)为偶函数,由 xf′?x?-f?x? f ?x ? , 当 x >0 时, xf ′ ( x ) - f ( x )<0 , 所以 F ( x ) = 2 x x 在

f ?x ? (0, +∞)上单调递减, 根据对称性, F(x)= x 在(-∞, 0)上单调递增, 又 f(-1)=0,f(1)=0,数形结合可知,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范 围是(-∞,-1)∪(0,1).故选 A.

热点三 利用导数研究函数的极值与最值

1? ? 例 3 (1)[2015· 银川一模]已知函数 f(x)=a?x-x?-2ln x(a∈R),
? ?

a g(x)=-x,若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立,则实数 a 的范围为( ) B.(1,+∞) D.(0,+∞) A.[1,+∞) C.[0,+∞) 立, 即 ax-2ln x>0 在[1,e]上有解.
?2ln x? 只须满足 a>? x ?min 即可. ? ?

[解析] 由题可知,若至少存在一个 x0∈[1,e]使得 f(x0)>g(x0)成

2?1-ln x? 2ln x 设 h(x)= x ,h′(x)= x2 ∵x∈[1,e],∴h′(x)≥0,∴h(x)在[1,e]上恒为增函数, ∴h(x)≥h(1)=0,∴a>0,故选 D. [答案] D (2)[2015· 长春质监 ]若对?x,y∈[0,+∞),不等式 4ax≤ex+y-2 +ex-y-2+2 恒成立,则实数 a 的最大值是( 1 A.4 C.2 B.1 1 D.2 )

[解析] 因为 ex+y-2+ex-y-2+2=ex-2(ey+e-y)+2≥2(ex-2+1),再 由 2(e
x-2

1+ex-2 +1)≥4ax, 当 x=0 时, 恒成立, 当 x>0 时, 可得 2a≤ x ,

1+ex-2 ex-2?x-1?-1 令 g(x)= x ,则 g′(x)= ,可得 g′(2)=0,且在(2, x2

+∞)上 g′(x)>0,在[0,2)上 g′(x)<0,故 g(x)的最小值为 g(2)=1,于 1 是 2a≤1,即 a≤2,故选 D. [答案] D 研究极值、最值问题应注意的三个关注点 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点,所以在求出导函数 的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点. (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过 认真比较才能下结论. (3)含参数时,要讨论参数的大小.

1.[2015· 唐山一模]直线 y=a 分别与曲线 y=2(x+1),y=x+ln x 交于点 A,B,则|AB|的最小值为( A.3 3 2 C. 4 答案 D ) B.2 3 D.2

a 解析 当 y=a 时,2(x+1)=a,所以 x=2-1.设方程 x+ln x=a
? ? a ? ? t+ln t ?= 的 根 为 t , 则 t + ln t = a , 则 |AB| = ?t-2+1? = ?t- + 1 2 ? ? ? ? ? t ln t ? t ln t 1 1 t-1 ? - ?.设 g(t)= - + 1 + 1( t >0) , 则 g ′ ( t ) = 令 g′(t) 2 2 2 2-2t= 2t , ?2 ?

=0,得 t=1,当 t∈(0,1)时,g′(t)<0;当 t∈(1,+∞)时,g′(t)>0, 3 3 3 所以 g(t)min=g(1)=2,所以|AB|≥2,所以|AB|的最小值为2.
?1 ? x3 a 2 2.若函数 f(x)= 3 -2x +x+1 在区间?3,4?上有极值点,则实数 ? ?

a 的取值范围为(

)

10? ? A.?2, 3 ?
? ?

?10 17? B.? 3 , 4 ? ? ?

10? ? C.?2, 3 ?
? ?

17? ? D.?2, 4 ?
? ?

答案 解析
?

D x3 a 2 由题意知,f′(x)=x -ax+1,函数 f(x)= 3 -2x +x+1
2

?1 ? 1 在区间?3,4?上有极值点可推出 f′(x)=x2-ax+1=0,即 a=x+x在 ? ?1 ? 1? ?1 ?? 1 区间?3,4?上有解.令 g(x)=x+x?x∈?3,4??,因为 g′(x)=1-x2,所 ? ? ? ? ?? ?1 ? 以当 x∈?3,1?时,g′(x)<0,当 x∈(1,4)时,g′(x)>0,故 g(x)在区间 ? ? ?1 ? ?1? 10 ? ,1?上单调递减,在区间(1,4)上单调递增,又 g? ?= ,g(1)=2, ?3 ? ?3? 3

17 g(4)= 4 ,经检验,当 a=2 时,f′(x)=(x-1)2≥0,故此时函数 f(x) 17? ?1 ? ? 在区间?3,4?上不存在极值点.所以实数 a 的取值范围为?2, 4 ?.
? ? ? ?

对应学生用书P019 课题 5 利用导数研究函数的单调性 [2015· 课标全国卷Ⅰ]设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是(
? 3 ? A.?-2e,1? ? ? ? 3 3? C.?2e,4? ? ? ? 3 3? B.?-2e,4? ? ? ?3 ? D.?2e,1? ? ?

)

审题过程 切入点 转化 ex0 (2x0-1)<ax0-a 为函数 g(x)=ex(2x-1)和 h(x) =ax-a 的问题. 关注点 数形结合求范围.

[规范解答]

由题意可知存在唯一的整数 x0 ,使得 e x0 (2x0 -

1)<ax0-a,设 g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,①由 g′(x)=ex(2x+1) 1? ? ? 1 ? 可知 g(x)在?-∞,-2?上单调递减,在?-2,+∞?上单调递增,②
? ? ? ?

作出 g(x)与 h(x)的大致图象如图所示,

? ? ?h?0?>g?0? 故? ,即? 3 ?h?-1?≤g?-1? -2a≤- ? ?
e 3 所以2e≤a<1,故选 D.③

a<1



1. 已知函数 f(x)=ex-2x-1(其中 e 为自然对数的底数), 则 y=f(x) 的图象大致为( )

答案

C

解析

依题意得 f′(x)=ex-2.当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)是减函

数, f(x)>f(ln 2)=1-2ln 2, 当 x<0 时, f(x)>f(0)=0; 当 x>ln 2 时, f′(x)>0, f(x)是增函数.因此对比各选项知,选 C. 2. 已知函数 f(x)=ex-tx-1(e 为自然对数的底数, t>0). 若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,则实数 t 的取值所构成的集合为( A.{1} C.(0,1] 答案 解析 A 由 f(x)=ex-tx-1, 得 f′(x)=ex-t.由 f′(x)>0, 即 ex-t>0, B.(0,1) D.[1,+∞) )

解得 x>ln t,由 f′(x)<0 解得 x<ln t,∴f(x)在(-∞,ln t)上是减函数, 在(ln t,+∞)上是增函数,∴f(x)在 x=ln t 处取得最小值 f(ln t).由题 意得 f(ln t)≥0, 即 t-tln t-1≥0.令 h(t)=t-tln t-1, 则 h′(t)=-ln t, 由 h′(t)>0 可得 0<t<1,由 h′(t)<0 可得 t>1,∴h(t)在(0,1)上单调递 增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(t)max=h(1)=0,∴当 0<t<1 或 t>1 时,h(t)<0,当 t=1 时,h(t)=0,∴要使得 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒 成立,必须 t=1.∴实数 t 的取值所构成的集合为{1}.

对应学生用书P147 一、选择题 x2+a 1.[2015· 洛阳统考]曲线 f(x)= 在点(1,f(1))处切线的倾斜角 x+ 1 3π 为 4 ,则实数 a=( A.1 C.7 答案 解析 C 2x?x+1?-?x2+a? x2+2x-a f′(x)= = , ?x+1?2 ?x+1?2 ) B.-1 D.-7

3π 又∵f′(1)=tan 4 =-1,∴a=7.

2.[2015· 郑州质量预测(二)]如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y =kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x) 的导函数,则 g′(3)=( A.-1 C.2 答案 解析 B 1 由图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于-3,即 ) B.0 D.4

1 f′(3) = - 3 . 又 g(x) = xf(x) , g′(x) = f(x) + xf′(x) , g′(3) = f(3) +
? 1? 3f′(3),由图可知 f(3)=1,所以 g′(3)=1+3×?-3?=0. ? ?

3.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若 x1<x2,则 ex1 f(x2)与 ex2 f(x1)的大小关系为( A.ex1 f(x2)>ex2 f(x1) B.ex1 f(x2)<ex2 f(x1) C.ex1 f(x2)=ex2 f(x1) D.ex1 f(x2)与 ex2 f(x1)的大小关系不确定 答案 解析 A f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? f ?x ? 设 g(x)= ex ,则 g′(x)= = ,由 ex ?ex?2 )

f?x1? f?x2? 题意 g′(x)>0, 所以 g(x)单调递增, 当 x1<x2 时, g(x1)<g(x2), 则 x1 < x2 , e e 所以 ex1 f(x2)>ex2 f(x1).

4.[2015· 陕西高考]设 f(x)=x-sinx,则 f(x)( A.既是奇函数又是减函数 C.是有零点的减函数 答案 解析 B

)

B.既是奇函数又是增函数 D.是没有零点的奇函数

∵f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),∴f(x)为奇

函数.又 f′(x)=1-cosx≥0,∴f(x)单调递增,选 B. 5.已知函数 f(x)=ax3+bx+c(ac<0),则函数 y=f(x)的图象可能 是( )

答案 解析

B 设 g(x)=ax3+bx,因为 g(-x)=-ax3-bx=-g(x),所以

g(x)是奇函数,其图象关于原点对称,因为 f(x)=g(x)+c,所以 f(x)的 图象是 g(x)的图象向上或向下平移得到的,所以排除 A 项;由 f′(x) =3ax2+b,知当 a>0,x→+∞时,f′(x)>0,函数单调递增,又 ac<0, 所以 c<0, 即 f(0)=c<0, 所以排除 D 项; 当 a<0, x→+∞时, f′(x)<0, 函数单调递减,又 ac<0,所以 c>0,即 f(0)=c>0,所以排除 C 项.故 选 B. 6.[2015· 河北名校联盟质监(二)]若曲线 C1:y=ax2(a>0)与曲线 C2:y=ex 存在公共切线,则 a 的取值范围为(
?e ? A.? 8 ,+∞? ? ? ?e ? C.? 4 ,+∞? ? ?
2 2

)
2

e? ? B.?0, 8 ? ? ? e? ? D.?0, 4 ? ? ?
2

答案

C

解析

根据题意,函数 y=ax2 与函数 y=ex 的图象在(0,+∞)上
2 x

x2ex-2xex ex ex 有公共点,令 ax =e 得:a=x2.设 f(x)=x2,则 f′(x)= = x4 ex?x-2? x3 , 由 f′(x)=0 得:x=2, ex 当 0<x<2 时,f′(x)<0,函数 f(x)=x2在区间(0,2)上是减函数, ex 当 x>2 时,f′(x)>0,函数 f(x)=x2在区间(2,+∞)上是增函数, ex e2 所以当 x=2 时,函数 f(x)=x2在(0,+∞)上有最小值 f(2)= 4 ,所 e2 以 a≥ 4 ,故选 C.

7.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1- x)· f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 答案 解析 D 由 y=(1-x)f′(x)的图象知: )

f′(-2)=0,f′(2)=0, 且当 x<-2 时,f′(x)>0,当-2<x<1 时,f′(x)<0, 故 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2); 当 1<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0, 故 f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2),故选 D. 8. [2015· 兰州诊断考试]已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数

为 f′(x), 若对于任意实数 x, 有 f(x)>f′(x), 且 y=f(x)-1 为奇函数, 则不等式 f(x)<ex 的解集为( A.(-∞,0) C.(-∞,e4) 答案 解析 B 因为 y=f(x)-1 为奇函数,且定义域 R,所以 0=f(0)-1,
x

) B.(0,+∞) D.(e4,+∞)

e ?f′?x?-f?x?? f ?x ? 所以 f(0)=1.设 h(x)= ex , 则 h′(x)= , 因为 f(x)>f′(x), ?ex?2 f ?x ? 所以函数 h(x)是 R 上的减函数,所以不等式 f(x)<ex 等价于 ex <1= f?0? e0 ,所以 x>0,故选 B. 9 .已知函数 f(x) =x3 +ax2 -x + c(x ∈ R) ,则下列结论错误的是 ( ) A.函数 f(x)一定存在极大值和极小值 2 3 B. 若函数 f(x)在(-∞, x1), (x2, +∞)上是增函数, 则 x2-x1≥ 3 C.函数 f(x)的图象是中心对称图形 D.函数 f(x)的图象在点(x0,f(x0))(x0∈R)处的切线与 f(x)的图象必 有两个不同的公共点 答案 解析 D 对于选项 A,f′(x)=3x2+2ax-1,方程 3x2+2ax-1=0

的根的判别式 Δ=4a2+12>0 恒成立, 故 f′(x)=0 必有两个不等实根, 不妨设为 x1,x2,且 x1<x2,令 f′(x)>0,得 x<x1 或 x>x2,令 f′(x)<0, 得 x1<x<x2,所以函数 f(x)在(x1,x2)上单调递减,在(-∞,x1)和(x2, +∞)上单调递增, 所以当 x=x1 时, 函数 f(x)取得极大值, 当 x=x2 时, 函数 f(x)取得极小值,故 A 选项的结论正确;对于选项 B,令 f′(x) 2a 1 =3x2+2ax-1=0,由根与系数的关系可得 x1+x2=- 3 ,x1x2=-3, 易知 x1<x2,所以 x2-x1= ?x1+x2? -4x1x2=
2

4a2 4 2 3 9 +3≥ 3 ,故 B

选项的结论正确;对于选项 C,易知两极值点的中点坐标为
? a ? a?? a? ? a ? ? ? a ? a ?- ,f?- ?? ,又 f ?- +x? =- ?1+ ? x + x3 + f( - ) , f ?- -x? = 3? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3??
2

a? ? ? a? ? a ? ? a ? ? a? ?1+ ?x-x3+f?- ?,所以 f?- +x?+f?- -x?=2f?- ?,所以函数 3? ? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? ? 3?
? a ? a?? f(x)的图象关于点?-3,f?-3??成中心对称,故 C 选项的结论正确.对 ? ? ??

2

于 D 选项,令 a=c=0 得 f(x)=x3-x,f(x)在(0,0)处切线方程为 y=-
? ?y=-x x, 且? 有唯一实数解, 即 f(x)在(0,0)处切线与 f(x)图象有唯一 3 ? ?y=x -x

公共点,所以 D 不正确,选 D. 二、填空题 ln x 10.[2015· 长春质监]若函数 f(x)= x ,则 f′(2)=________. 答案 解析 1-ln 2 4 由 f′(x)= 1-ln x 1-ln 2 ,得 f ′ (2) = 2 x 4 .

11.[2015· 太原一模]函数 f(x)=xex 的图象在点(1,f(1))处的切线 方程是________. 答案 解析 e.
2 ? ?1-x ,x≤1 12.[2015· 山西四校联考(三)]函数 f(x)=? ,若方程 ? ?ln x,x>1

y=2ex-e ∵f(x)=xex,∴f(1)=e,f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e,∴

f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e=2e(x-1),即 y=2ex-

1 f(x) = mx - 2 恰有四个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 ________.
?1 e? 答案 ? , ? e? ?2

解析

在平面直角坐标系中作出函数 y=f(x)的图象,如图,而函
? ? ? ?

1? 1? ? ? 1 数 y=mx-2恒过定点?0,-2?,设过点?0,-2?与函数 y=ln x 的图象 相切的直线为 l1,切点坐标为(x0,ln x0).因为 y=ln x 的导函数 y′= 1 ln x0+2 1 1 1 ,所以图中 y = ln x 的切线 l ,解得 1 的斜率为 k= ,则 = x x0 x0 x0-0 x0= e,所以 k= 1 1 1 .又图中 l2 的斜率为2,故当方程 f(x)=mx-2恰有 e

?1 e? 四个不相等的实数根时,实数 m 的取值范围是? , ?. e? ?2

13.[2015· 石家庄一模]设过曲线 f(x)=-ex-x(e 为自然对数的底 数)上任意一点处的切线为 l1,总存在过曲线 g(x)=ax+2cosx 上一点 处的切线 l2,使得 l1⊥l2,则实数 a 的取值范围为________. 答案 解析 -1≤a≤2 函数 f(x)=-ex-x 的导数为 f′(x)=-ex-1,设曲线 f(x)

=-ex-x 上的切点为(x1,f(x1)),则 l1 的斜率 k1=-ex1 -1.函数 g(x) =ax+2cosx 的导数为 g′(x)=a-2sinx, 设曲线 g(x)=ax+2cosx 上的 切点为(x2,g(x2)),则 l2 的斜率 k2=a-2sinx2.由题设可知 k1· k2=-1, 从而有 (- ex1 - 1)(a-2sinx2)=- 1,∴ a- 2sinx2= 1 ,对 ?x1, e +1
x1

1 ?x2 使得等式成立,则有 y1= x1 的值域是 y2=a-2sinx2 值域的子 e +1
? ?a-2≤0 集,即(0,1)?[a-2,a+2],? ,∴-1≤a≤2. ? ?a+2≥1

π? ? 14.已知偶函数 y=f(x)对于任意的 x∈?0,2?满足 f′(x)cosx+
? ?

f(x)sinx>0(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有 ________.
? π? ?π? (1) 2f?-3?<f?4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? π? (2) 2f?-3?>f?-4? ? π? (3)f(0)< 2f?-4? ? ?π? ?π? (4)f?6?< 3f?3? ? ? ? ?

答案 解析

(2)(3)(4) π? ? 因为偶函数 y=f(x)对于任意的 x∈?0,2?满足 f′(x)cosx+
? ?

f(x)sinx>0, 且 f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′, 所以可构 f′?x?cosx-f?x??cosx?′ f ?x ? 造函数 g(x)=cosx,则 g′(x)= >0,所以 g(x) cos2x π? ? ? π? ?π? ?π? ? ? 为偶函数且在?0,2?上单调递增,所以有 g?-3?=g?3?= π=2f?3?, ? ? ? ? ? ? ? ? cos3
? π? ?π? ?π? ?π? ? ? ? ? 2 3 ?π? g?-4?=g?4?= π= 2f?4?,g?6?= π= 3 f?6?.由函数单调性可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos4 cos6 ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? 2 3 ?π? g?6?<g?4?<g?3?,即 3 f?6?< 2f?4?<2f?3?,所以(2)(4)正确,(1)错.对于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ?π? ? π? (3),g?-4?=g?4?= 2f?-4?>g(0)=f(0),所以(3)正确. ? ? ? ? ? ? ? π? f?4? ?π? f?6? ? π? f?3?

第六讲 高考中的导数综合应用(解答题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 有关问题. 2.交汇点 3.常用方法 常与不等式、函数、方程等知识交汇考查. 利用函数的最值法求不等式中的参数问题;利用分离 利用导数研究函数的单调性、极值与最值.利用导数解

决不等式恒成立问题,利用导数证明不等式,利用导数解决方程解的

参数法解决不等式中的参数问题;利用构造函数法证明不等式;利用 数形结合法解决函数零点个数问题. 第一课时 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题

对应学生用书P020 热点一 利用导数研究函数的单调性

4 例 1 [2015· 重庆高考]已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-3处 取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x,
? 4? 4 因为 f(x)在 x=-3处取得极值,所以 f′?-3?=0, ? ? ? 4? 16a 8 16 1 ?- ?= 所以 3a· + 2· - = 0 ,解得 a = 3 9 3 3 2. ? ? ?1 ? (2)由(1)得 g(x)=?2x3+x2?ex, ? ?

?3 ? ?1 ? 故 g′(x)=?2x2+2x?ex+?2x3+x2?ex ? ? ? ?

5 ?1 ? =?2x3+2x2+2x?ex
? ?

1 =2x(x+1)(x+4)ex. 令 g′(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-4<x<-1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在 (-4,-1) 和(0,+∞)内为增函数. 破题关键点:(1)首先求导函数 f′(x),然后利用极值点求 a 的值; (2)由 g′(x)=0 求得其根,然后通过判断 g′(x)的符号确定函数 g(x) 的单调性. 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求函数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性), 只需在函数 f(x)的定义域内解 (或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.②若已知函数的单调性求参数, 只需转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间内恒成立的问题 求解.解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的 逆向问题,都离不开分类讨论思想.

1 [2015· 皖北协作区高三联考 ]已知函数 f(x)=mln x+2x2-(m+ 1)x+ln (2e2)(其中 e=2.71828?是自然对数的底数). (1)当 m=-1 时,求函数 f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程;

(2)讨论函数 f(x)的单调性. 解 1 1 (1)当 m=-1 时 f(x)=-ln x+2x2+ln (2e2),f′(x)=-x+x,

3 3 ∴f(2)=4,f′(2)=2,∴切线方程为:y-4=2(x-2),即 3x-2y+2 =0. m (2)由已知可得 f′(x)= x +x-(m+1),(x>0) x2-?m+1?x+m ?x-1??x-m? 即 f′(x)= = , x x ①当 m>1 时,函数 f(x)的递增区间为:(0,1),(m,+∞),递减区 间为:(1,m). ②当 m=1 时,函数 f(x)的递增区间为:(0,+∞). ③当 0<m<1 时,函数 f(x)的递增区间为:(0,m),(1,+∞),递 减区间为:(m,1). ④当 m≤0 时,函数 f(x)的递增区间为:(1,+∞),递减区间为: (0,1).扫一扫· 听名师微课 热点二 利用导数研究函数的极值与最值

例2

[2015· 济宁模拟]已知函数 f(x)=ex-ax-a(其中 a∈R,e 是

自然对数的底数,e=2.71828?). (1)当 a=e 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 0≤a≤1 时,求证 f(x)≥0. [解] (1)当 a=e 时,f(x)=ex-ex-e,f′(x)=ex-e, 当 x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以函数 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=-e, 函数 f(x)无极大值. (2)证明:由 f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a, ①当 a=0 时,f(x)=ex≥0 恒成立,满足条件.

②当 0<a≤1 时,由 f′(x)=0,得 x=ln a, 则当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 所以函数 f(x)在 x=ln a 处取得极小值即为最小值 f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a 因为 0<a≤1,所以 ln a≤0,所以-aln a≥0 所以 f(x)min≥0,所以当 0≤a≤1 时,f(x)≥0. 1.利用导数研究函数的极值与最值的一般思路和步骤 (1)求定义域; (2)求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x)=0,研究极值情况; (4)确定 f′(x0)=0 时 x0 左右的符号,定极值. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

[2015· 合肥质检]已知函数 f(x)=e1-x(2ax-a2)(其中 a≠0). (1)若函数 f(x)在(2,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)设函数 f(x)的最大值为 g(a),当 a>0 时,求 g(a)的最大值. 解 (1)由 f(x)=e1-x(2ax-a2), 得 f′(x)=-e1-x(2ax-a2)+2ae1-x=-e1-x(2ax-a2-2a)=0,又 a a≠0,故 x=1+2,

a? a ? ? ? 当 a>0 时,f(x)在?-∞,1+2?上为增函数,在?1+2,+∞?上为
? ? ? ?

a 减函数,∴1+2≤2,即 a≤2, ∴0<a≤2,当 a<0 时,不合题意, 故 a 的取值范围为(0,2].
- a? 2 ? (2)由(1)得,当 a>0 时,f(x)max=f?1+2?=2a· e ? ? - a 2 a

即 g(a)=2a· e

.
- a 2

则 g′(a)=(2-a)e 4 ∴g(a)max=g(2)=e .

=0,得 a=2,

∴g(a)在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数,

热点三 利用导数解决函数的实际问题

例 3

[2015· 江苏高考 ] 某山区外围有两条相互垂直的直线型公

路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山 区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为 l1,l2,山区边界曲线 为 C,计划修建的公路为 l.如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得 点 M 到 l1,l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2 的距离分 别为 20 千米和 2.5 千米.以 l2,l1 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平 a 面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 y= 2 (其中 a,b 为常数) x +b

模型. (1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

[解] (1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

?25+b=40, a 将其分别代入 y= ,得? x +b a ?400+b=2.5,
2

a

? ?a=1000, 解得? ?b=0. ?

1000 (2)①由(1)知,y= x2 (5≤x≤20),
? 1000? 则点 P 的坐标为?t, t2 ?, ? ?

设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点, 2000 y′=- x3 , 1000 2000 则 l 的方程为 y- t2 =- t3 (x-t), 3000? ?3t ? ? 由此得 A? 2 ,0?,B?0, t2 ?.
? ? ? ?

故 f(t)= 3 =2
2

?3t?2 ?3000?2 ? ? +? 2 ? ?2? ? t ?

4×106 t + t4 ,t∈[5,20].
2

4×106 16×106 ②设 g(t)=t + t4 ,则 g′(t)=2t- t5 .

令 g′(t)=0,解得 t=10 2. 当 t∈(5,10 2)时, g′(t)<0,g(t)是减函数; 当 t∈(10 2,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数; 从而, 当 t=10 2时, 函数 g(t)有极小值, 也是最小值, 所以 g(t)min =300,此时 f(t)min=15 3. 故当 t=10 2时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3千米. 利用导数解决优化问题的五个步骤 (1)审题设未知数; (2)结合题意列出函数关系式; (3)确定函数的定义域; (4)在定义域内求极值; (5)下结论.

[2014· 济南质检]2014 年 1 月,山东“两会”在省城济南召开, 会上“人大代表”和“政协委员”就当前的“雾霾”发表自己的看 法.某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行 了实地调研.据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比, 与到污染源的距离成反比,比例常数为 k(k>0).现已知相距 36 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为 a,b(a>0,b>0),它们连 线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之 和.设 AC=x(km). (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a=1 时,y 在 x=6 处取得最小值,试求 b 的值. 解 ka (1)由题意知,点 C 受 A 污染源污染指数为 x ,点 C 受 B 污

kb 染源污染指数为 ,其中 k 为比例常数,且 k>0. 36-x ka kb 从而点 C 处污染指数 y= x + (0<x<36). 36-x k kb (2)因为 a=1,所以 y=x+ , 36-x
? 1 b ? 36 y′=k?-x2+?36-x?2?,令 y′=0,得 x= , 1+ b ? ?

当 x∈?0,
?

?

36 ? ?时,y′<0,函数单调递减; 1+ b?
?

当 x∈?

? 36

,36?时,y′>0,函数单调递增. ?1+ b ? 36 时,函数取得最小值. 1+ b

所以 x=

又此时 x=6,解得 b=25,经检验符合题意.

对应学生用书P022 课题 6 利用导数研究函数的极值最值问题 3x2+ax [2015· 重庆高考]设函数 f(x)= ex (a∈R). (1)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 审题过程 切入点 首先求导函数 f′(x),然后利用极值点求得 a 的值,再 利用导函数求得切线的斜率,最后可得切线方程. 关注点 通过判断 f′(x)的符号确定函数 f(x)的单调性, 再结合已 知函数的单调性建立关于 a 的不等式,从而可求得 a 的取值范围.

[规范解答] (1)对 f(x)求导得 ?6x+a?ex-?3x2+ax?ex -3x2+?6-a?x+a f′(x)= = , ex ?ex?2 因为 f(x)在 x=0 处取得极值,所以 f′(0)=0,即 a=0. -3x2+6x 3 x2 当 a=0 时,f(x)= ex ,f′(x)= , ex 3 3 故 f(1)=e ,f′(1)=e, 3 3 从而 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e =e (x-1),化简得 3x -ey=0. -3x2+?6-a?x+a (2)由(1)知 f′(x)= , ex 令 g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 6-a- a2+36 由 g(x)=0 解得 x1= , 6 6-a+ a2+36 x2= . 6 当 x<x1 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,故 f(x)为减函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)>0,即 f′(x)>0,故 f(x)为增函数; 当 x>x2 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,故 f(x)为减函数. 6-a+ a2+36 由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,知 x2= ≤3,解得 6 9 a≥-2,
? 9 ? 故 a 的取值范围为?-2,+∞?. ? ?

利用导数求函数在某一区间上的极值最值的模型示意图如下:

?3 ? 1. 设 a∈R, 函数 f(x)=x2e1-x-a(x-1). 当 a=1 时, 求 f(x)在?4,2? ? ?

内的极大值. 解 当 a=1 时,f(x)=x2e1-x-(x-1),
2 1-x

则 f′(x)=(2x-x )e

?2x-x2?-ex-1 -1= , ex-1

令 h(x)=(2x-x2)-ex-1,则 h′(x)=2-2x-ex-1, 3 显然 h′(x)在(4,2)内是减函数,
?3? 1 ?3 ? 1 又 h′?4?=2- <0,故 x∈?4,2?时,总有 h′(x)<0,所以 h(x) ? ? ? ? 4 e

3 在(4,2)内是减函数. 又 h(1)=0,
?3 ? 所以当 x∈?4,1?时,h(x)>0,从而 f′(x)>0,这时 f(x)单调递增, ? ?

当 x∈(1,2)时,h(x)<0,从而 f′(x)<0,这时 f(x)单调递减,
?3 ? 所以 f(x)在?4,2?内的极大值是 f(1)=1. ? ?

1 -x 2.已知函数 f(x)=ln (ax+1)+ ,x≥0,其中 a>0. 1 +x (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围. 解 ax2+a-2 a 2 (1)f′(x)= - = , ax+1 ?1+x?2 ?ax+1??1+x?2

∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=0,即 a· 12+a-2=0,解得 a=1. 经检验 a=1 时,f(x)在 x=1 处取得极值,故 a=1. ax2+a-2 (2)f′(x)= , ?ax+1??1+x?2 ∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当 a≥2 时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0, ∴f(x)的单调递增区间为[0,+∞). ②当 0<a<2 时, 由 f′(x)>0,解得 x> 由 f′(x)<0, 解得 x< 2-a a , 2-a a ,
? ?

∴ f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ?0, 2-a ) a ,+∞ .

2-a ? ?,单调递增区间为( a ?

(3)当 a≥2 时,由(2)中①知,f(x)的最小值为 f(0)=1; 当 0<a<2 时,由(2)中②知, f(x)在 x= 2-a ( a 处取得最小值 f 2-a ) a <f(0)=1.

综上可知,若 f(x)的最小值为 1,则 a 的取值范围是[2,+∞).

对应学生用书P148 x a 3 1.[2014· 重庆高考]已知函数 f(x)=4+x -ln x-2,其中 a∈R, 1 且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=4-x2-x, 由 f(x)在点(1, f(1))处的切

1 3 5 线垂直于直线 y=2x,知 f′(1)=-4-a=-2,解得 a=4. x 5 3 (2)由(1)知 f(x)=4+4x-ln x-2, x2-4x-5 则 f′(x)= 4x2 , 令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 2.[2015· 太原一模]已知函数 f(x)=(x2-ax+a)ex-x2,a∈R. (1)若函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)在 x=0 处取得极小值,求 a 的取值范围. 解 ∈R, ∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 2 (1)由题意得 f′(x)=x[(x+2-a)ex-2]=xex(x+2-ex-a),x

2 ∴x+2-ex≥a 在(0,+∞)上恒成立, 2 又函数 g(x)=x+2-ex在(0,+∞)上单调递增, ∴a≤g(0)=0, ∴a 的取值范围是(-∞,0]. 2 ? ? (2)由(1)得 f′(x)=xex?x+2-ex-a?,x∈R,
? ?

2 令 f′(x)=0,则 x=0 或 x+2-ex-a=0,即 x=0 或 g(x)=a, 2 ∵g(x)=x+2-ex在(-∞,+∞)上单调递增,其值域为 R, ∴存在唯一 x0∈R,使得 g(x0)=a, ①若 x0>0,当 x∈(-∞,0)时,g(x)<a,f′(x)>0;当 x∈(0,x0) 时,g(x)<a,f′(x)<0,∴f(x)在 x=0 处取得极大值,这与题设矛盾. ②若 x0=0,当 x∈(-∞,0)时,g(x)<a,f′(x)>0;当 x∈(0,+ ∞)时,g(x)>a,f′(x)>0,∴f(x)在 x=0 处不取极值,这与题设矛盾. ③若 x0<0,当 x∈(x0,0)时,g(x)>a,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时, g(x)>a,f′(x)>0,∴f(x)在 x=0 处取得极小值. 综上所述,x0<0,∴a=g(x0)<g(0)=0, ∴a 的取值范围是(-∞,0). ?1-a?x2-ax+a 3.[2015· 江西八校联考]设函数 f(x)= . ex (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 x≥0 时,f(x)的最大值为 a,求 a 的取值范围. 解 -x+1 (1)当 a=1 时,f(x)= ex ,f(1)=0,

x-2 1 f′(x)= ex ,f′(1)=-e , ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+ey-1=0. ?a-1?x2+?2-a?x-2a (2)解法一:f′(x)= ex



[?a-1?x+a]?x-2? . ex

a 令 f′(x)=0 得 x1= (a≠1),x2=2. 1-a ①当 a≥1 时,f(x)在[0,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 当 x→+∞时,f(x)→0, f(x)max=f(0)=a;
? a ? a 2 ②当 >2 即3<a<1 时,f(x)在[0,2]和?1-a,+∞?上递减,f(x) 1-a ? ? ? a ? 在?2,1-a?上递增, ? ? ? a ? a 2 f?1-a?= a ≤a,解得 0≤a≤1,∴3<a<1; ? ? e 1-a

③当 =a;

a 2 =2,即 a=3时,f(x)在[0,+∞)上递减,f(x)max=f(0) 1-a

? a ? a 2 ④当 0< <2 即 0<a<3时,f(x)在?0,1-a?和[2,+∞)上递减, 1-a ? ? ? a ? 在?1-a,2?上递增, ? ?

4-5a 4 4 2 f(2)= e2 ≤a,解得 a≥ 2 ,∴ 2 ≤a<3; e +5 e +5 a ⑤当 a≤0 时, ≤0,f(x)在[0,2]上递增,f(x)≥f(0)=a,不合 1-a 题意.
? 4 ? 综上所述:a 的取值范围为?e2+5,+∞?. ? ?

解法二:∵f(0)=a, ∴f(x)在 x≥0 时的最大值为 a,等价于 f(x)≤a 对于 x≥0 恒成立, x2 可化为 a≥ x 2 对于 x≥0 恒成立. e +x +x-1

x?x-2??1-ex? x2 令 g(x)= x 2 ,则 g′(x)= x 2 , e +x +x-1 ?e +x +x-1?2 于是 g(x)在[0,2]上递增,在(2,+∞)上递减, 4 ∴g(x)max=g(2)= 2 , e +5 ∴a 的取值范围是 a≥ 4 . e +5
2

ax 4.[2015· 山西质量监测]已知函数 f(x)=ln (x+1)- -x,a∈ x+ 1 R. (1)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; x (2)若存在 x>0,使 f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求 a 的最小值. x+1 解 -x2-x-a (1)f′(x)= ,x>-1. ?x+1?2

1 当 a≥4时,f′(x)≤0,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 1 当 0<a<4时, -1- 1-4a 当-1<x< 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 2 当 -1- 1-4a -1+ 1-4a < x < 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 2 2

-1+ 1-4a 当 x> 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 2 1 综上,当 a≥4时,f(x)的单调递减区间为(-1,+∞);
? 1 -1- 1-4a? ?, 当 0<a< 4 时 , f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ?-1, 2 ? ? ?-1+ 1-4a ? ? ,+∞?, 2 ? ?

f(x)的单调递增区间为?
?

?-1- 1-4a

2



-1+ 1-4a? ?. 2 ?

(2)原式等价于 ax>(x+1)ln (x+1)+2x+1, ?x+1?ln ?x+1?+2x+1 即存在 x>0,使 a> 成立. x ?x+1?ln ?x+1?+2x+1 设 g(x)= ,x>0, x 则 g′(x)= x-1-ln ?x+1? ,x>0, x2

设 h(x)=x-1-ln (x+1),x>0, 1 则 h′(x)=1- >0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增. x+1 又 h(2)<0,h(3)>0,根据零点存在性定理,可知 h(x)在(0,+∞) 上有唯一零点,设该零点为 x0,则 x0-1=ln (x0+1),且 x0∈(2,3), ∴g(x)min= ?x0+1??x0-1?+2x0+1 =x0+2. x0

又 a>x0+2,a∈Z,∴a 的最小值为 5. 5.[2015· 兰州诊断]已知函数 f(x)=ex-ax(a∈R,e 为自然对数的 底数). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x 在(2,+∞)上为增 函数,求实数 m 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为 R, f′(x)=ex-a. 当 a≤0 时,f′(x)>0,∴f(x)在 R 上为增函数; 当 a>0 时, 由 f′(x)=0 得 x=ln a, 则当 x∈(-∞, ln a)时, f′(x) <0,∴函数 f(x)在(-∞,ln a)上为减函数, 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,∴函数 f(x)在(ln a,+∞)上为增 函数. (2)当 a=1 时,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x, ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数, ∴g′(x)=xex-mex+m+1≥0 在(2,+∞)上恒成立,

xex+1 即 m≤ x 在(2,+∞)上恒成立, e -1 xex+1 令 h(x)= x ,x∈(2,+∞), e -1 ?ex?2-xex-2ex ex?ex-x-2? h′(x)= = . ?ex-1?2 ?ex-1?2 令 L(x)=ex-x-2, L′(x)=ex-1>0 在(2,+∞)上恒成立, 即 L(x)=ex-x-2 在(2,+∞)上为增函数, 即 L(x)>L(2)=e2-4>0,∴h′(x)>0, xex+1 即 h(x)= x 在(2,+∞)上为增函数, e -1 2e2+1 ∴h(x)>h(2)= 2 , e -1 2e2+1 ∴m≤ 2 . e -1 x 6.[2015· 大连高三双基测试]已知函数 f(x)=a-ex(a>0). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在[1,2]上的最大值; x1 (3)若存在 x1,x2(x1<x2),使得 f(x1)=f(x2)=0,证明:x <ae.
2



x 1 (1)f(x)=a-ex(a>0),则 f′(x)=a-ex.

1 1 令a-ex=0,则 x=ln a. 1? ? ?-∞,ln ? a? ? + ? 1 ln a 0 极大值
? 1 ? ?ln ,+∞? ? a ?

x f′(x) f (x )

- ?

1? ? 故函数 f(x) 的单调递增区间为 ?-∞,ln a? ;单调递减区间为 ? ?
? 1 ? ?ln ,+∞?. ? a ?

1 1 2 (2)当 ln a≥2,即 0<a≤e2时,f(x)max=f(2)=a-e2, 1 1 1 1 当 1<ln a<2,即e2<a<e时,f(x)max=f(ln a)= 1 1 1 aln a-a, 1 1 1 当 ln a≤1,即 a≥e时,f(x)max=f(1)=a-e. 1 1 1 1 (3)证明:若函数 f(x)有两个零点,则 f(ln a)=aln a-a>0,即 0 1 <a<e, 1 1 而此时,f(1)=a-e>0,由此可得 x1<1<lna<x2, 1 1 故 x2-x1>ln a-1,即 x1-x2<1-ln a, x1 x2 又∵f(x1)= a -ex1=0,f(x2)= a -ex2 =0, x1 ex1 1 ∴x = x2 =ex1-x2 <e(1-ln a)=eln (ae)=ae. 2 e

第二课时 利用导数解决不等式、方程解的问题

对应学生用书P023 热点一 利用导数解决不等式的恒成立问题

例1

a+1 [2015· 贵州七校联考(一)]已知函数 f(x)=aln x+ 2 x2+1.
? ?

?1 ? 1 (1)当 a=-2时,求 f(x)在区间?e ,e?上的最值;

(2)讨论函数 f(x)的单调性; a (3)当-1<a<0 时,有 f(x)>1+2ln (-a)恒成立,求 a 的取值范 围. 1 1 x2 [解] (1)当 a=-2时,f(x)=-2ln x+ 4 +1, -1 x x2-1 ∴f′(x)= 2x +2= 2x , ∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴由 f′(x)=0 得 x=1.
?1 ? ?1? ∴f(x)在区间? e,e?上的最值只可能在 f(1),f?e ?,f(e)中取到, ? ? ? ?

5 ?1? 3 1 1 e2 ? ? 而 f(1)=4,f e =2+4e2,f(e)=2+ 4 , ? ? 1 e2 5 ∴f(x)max=f(e)=2+ 4 ,f(x)min=f(1)=4. ?a+1?x2+a (2)f′(x)= ,x∈(0,+∞). x ①当 a+1≤0,即 a≤-1 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单 调递减; ②当 a≥0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;

-a ③当-1<a<0 时,由 f′(x)>0 得 x2> , a+1 ∴x> ∴f(x)在? ?
? ?

-a 或 x<- a+1

-a (舍去), a+1

? -a ? ,+∞?上单调递增, a+1 ?

在? ?0,
?

?

-a ? ? 上单调递减. a+1? ?
? ? ? -a ,+∞? ?上单调递增, a+1 ?

综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当-1<a<0 时,f(x)在? ? 在? ?0,
? ?

-a ? ? 上单调递减. a+1? ? -a ? ? , a+1? ?

当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
? (3)由(2)知,当-1<a<0 时,f(x)min=f? ? ?

即原不等式等价于 f? ?
?

?

-a ? a ? > 1 + 2ln (-a), a+1? ?

即 aln

-a a+1 -a a + 2 · +1>1+2ln (-a), a+1 a+1

1 整理得 ln (a+1)>-1,∴a>e -1,
?1 ? 又∵-1<a<0,∴a 的取值范围为? e -1,0?. ? ?

两招破解不等式的恒成立问题 (1)分离参数法 第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问 题; 第二步:利用导数求该函数的最值; 第三步:根据要求得所求范围.

(2)函数思想法 第一步:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题; 第二步:利用导数求该函数的极值(最值); 第三步:构建不等式求解.

[2015· 课标全国卷Ⅱ]已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 解 1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-a.

若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调递增. 1? ? ?1 ? 若 a>0, 则当 x∈?0,a?时, f′(x)>0; 当 x∈?a,+∞?时, f′(x)<0.
? ? ? ?

1? ? ?1 ? 所以 f(x)在?0,a?单调递增,在?a,+∞?单调递减.
? ? ? ?

(2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当 a>0 时,f(x) 1? ?1? 1 1 ? 在 x=a取得最大值,最大值为 f?a?=ln a+a?1-a?=-ln a+a-1. ? ? ? ?
?1? 因此 f?a?>2a-2 等价于 ln a+a-1<0. ? ?

令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0.于是, 当 0<a<1 时,g(a)<0;当 a>1 时,g(a)>0.因此,a 的取值范围是(0,1). 热点二 利用导数研究方程解的问题 例2 [2015· 课标全国卷Ⅰ]设函数 f(x)=e2x-aln x.

(1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数; 2 (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln a. a [解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-x(x>0).

当 a≤0 时,f′(x)>0,f′(x)没有零点; a 当 a>0 时,因为 e2x 单调递增,-x单调递增,所以 f′(x)在(0, a 1 +∞)单调递增. 又 f′(a)>0, 当 b 满足 0<b<4且 b<4时, f′(b)<0, 故当 a>0 时,f′(x)存在唯一零点. (2)证明:由(1),可设 f′(x)在(0,+∞)的唯一零点为 x0,当 x∈ (0,x0)时,f′(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). a a 2 2 由于 2e2x0 -x =0,所以 f(x0)=2x +2ax0+aln a≥2a+aln a. 0 0 2 故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln a. 三步解决方程解(或曲线公共点)的个数问题 第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象 与 x 轴(或直线 y=k)在该区间上的交点问题; 第二步:利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值 (最值)、 端点值等性质,进而画出其图象; 第三步:结合图象求解.

ax-a [2015· 贵阳监测]已知函数 f(x)= ex (a∈R,a≠0). (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 F(x)=f(x)+1 没有零点,求实数 a 的取值范围. 解 -x+1 x-2 (1)当 a=-1 时,f(x)= ex ,f′(x)= ex .

由 f′(x)=0, 得 x=2.当 x 变化时, f′(x), f(x)的变化情况如下表:

x f ′ (x ) f (x )

(-∞,2) - ?

2 0 极小值

(2,+∞) + ?

1 所以,函数 f(x)的极小值为 f(2)=-e2, 函数 f(x)无极大值. aex-?ax-a?ex -a?x-2? (2)F′(x)=f′(x)= = . e2 x ex ①当 a<0 时,F(x),F′(x)的变化情况如下表: x F′(x) F(x) (-∞,2) - ? 2 0 极小值 (2,+∞) + ?

a 若使函数 F(x)没有零点,当且仅当 F(2)=e2+1>0, 解得 a>-e2,所以此时-e2<a<0; ②当 a>0 时,F(x),F′(x)的变化情况如下表: x F′(x) F(x) (-∞,2) + ? 2 0 极大值
1- 10 a

(2,+∞) - ? -10 e-10 < 10 10 <0,所以
a 1-

10? e ? 因为 F(2)>F(1)>0,且 F?1- a ?=
? ?

1-

e
1-

e

a

此时函数 F(x)总存在零点. (或: 当 x>2 时, F(x)=

10 a

a?x-1? a?x-1? + 1 > 1 , 当 x < 2 时, 令 F ( x ) = x e ex

+1<0,即 a(x-1)+ex<0,由于 a(x-1)+ex<a(x-1)+e2,

e2 e2 令 a(x-1)+e ≤0,得 x≤1- a ,即 x≤1- a 时,F(x)<0,即 F(x)
2

存在零点) 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-e2,0). 热点三 导数的综合应用

1 例 3 [2015· 辽宁五校联考]已知函数 f(x)=ln x+x+ax(a 是实数), 2x g ( x) = 2 +1. x +1 (1)当 a=2 时,求函数 f(x)在定义域上的最值; (2)若函数 f(x)在[1,+∞)上是单调函数,求 a 的取值范围; (3)是否存在正实数 a 满足: 对于任意 x1∈ [1,2], 总存在 x2∈[1,2], 使得 f(x1)=g(x2)成立?若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明 理由. 1 [解] (1)当 a=2 时,f(x)=ln x+x+2x,x∈(0,+∞), 2x2+x-1 ?2x-1??x+1? 1 1 f′(x)=x-x2+2= = , x2 x2 1 令 f′(x)=0,则 x=-1(舍)或 x=2. 1? ? ?1 ? 当 x∈?0,2?时, f′(x)<0;当 x∈?2,+∞?时,f′(x)>0,所以
? ? ? ?

1 f(x)在 x=2处取到最小值,最小值为 3-ln 2;无最大值. ax2+x-1 1 1 (2)f′(x)=x-x2+a= ,x∈ [1,+∞), x2 显然 a≥0 时,f′(x)≥0,且不恒等于 0,所以函数 f(x)在 [1,+ ∞)上是单调递增函数,符合要求. 当 a<0 时,令 h(x)=ax2+x-1,当 x→+∞时,h(x)→-∞,所 以函数 f(x)在[1,+∞)上只能是单调递减函数.

>0 ?Δ h?1?≤0 所以 Δ=1+4a≤0 或? 1 - ? 2a≤1

1 ,解得 a≤-4.

1? ? 综上:满足条件的 a 的取值范围是?-∞,-4?∪ [0,+∞).
? ?

(3)不存在满足条件的正实数 a. 由(2)知,a>0 时 f(x)在 [1,+∞)上是单调递增函数, 所以 f(x)在 [1,2]上是单调递增函数. 所 以 对 于 任 意 x1 ∈ [1,2] , f(1)≤f(x1)≤f(2) , 即 f(x1) ∈ 1 ? ? ?1+a,ln 2+ +2a?. 2 ? ? 2?1-x2? g′(x)= ,当 x∈[1,2]时,g′(x)≤0,所以 g(x)在 [1,2]上 ?1+x2?2 是单调递减函数.
?9 ? 所以当 x2∈[1,2]时,g(x2)∈?5,2?. ? ?

若对于任意 x1∈[1,2],总存在 x2∈[1,2],使得 f(x1)=g(x2)成立, 1 ? ? ?9 ? 则?1+a,ln 2+2+2a?? ?5,2?,此时 a 无解.所以不存在满足条件 ? ? ? ? 的正实数 a. 导数综合应用类问题的解题步骤 (1)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 第一步:利用导数证明该函数在该区间上单调. 第二步:证明端点值异号. (2)利用导数证明不等式的基本步骤 ①作差或变形. ②构造新的函数 h(x). ③利用导数研究 h(x)的单调性或最值. ④根据单调性及最值,得到所证不等式.

?x-1?2 [2015· 福建高考]已知函数 f(x)=ln x- 2 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1; (3)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时, 恒有 f(x)>k(x-1). 解 -x2+x+1 1 (1)f′(x)=x-x+1= ,x∈(0,+∞). x

? ?x>0, 1+ 5 由 f′(x)>0 得? 2 解得 0<x< 2 . ?-x +x+1>0. ? ? 1+ 5? ?. 故 f(x)的单调递增区间是?0, 2 ? ?

(2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞). 1-x2 则 F′(x)= x . 当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以 F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即当 x>1 时,f(x)<x-1. (3)由(2)知,当 k=1 时,不存在 x0>1 满足题意. 当 k>1 时,对于 x>1, 有 f(x)<x-1<k(x-1),则 f(x)<k(x-1), 从而不存在 x0>1 满足题意. 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), -x2+?1-k?x+1 1 则 G′(x)=x -x+1-k= . x 由 G′(x)=0 得,-x2+(1-k)x+1=0.

1-k- ?1-k?2+4 解得 x1= <0, 2 1-k+ ?1-k?2+4 x2= >1. 2 当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在[1,x2)内单调递增. 从而当 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即 f(x)>k(x-1), 综上,k 的取值范围是(-∞,1).

对应学生用书P024 课题 7 利用导数证明不等式 [2015· 天津高考]已知函数 f(x)=4x-x4,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线 方程为 y=g(x).求证:对于任意的实数 x,都有 f(x)≤g(x); (3)若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数根 x1,x2,且 x1<x2,求证: a x2-x1≤-3+4 审题过程 切入点 的单调区间. 关注点 构造函数 F(x)=f(x)-g(x),转化为求 F(x)max≤0;构造 函数 g(x)=-12(x-4
1 3 1 3

.

切入点:首先对函数 f(x)进行求导,再利用导数求函数

)是关键.

[规范解答] (1)由 f(x)=4x-x4,可得 f′(x)=4-4x3. 当 f′(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增;

当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减. 所以, f(x)的单调递增区间为(-∞, 1), 单调递减区间为(1, +∞). (2)证明:设点 P 的坐标为(x0,0),则 x0=4 x0). 令函数 F(x)=f(x)-g(x),即 F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),则 F′(x) =f′(x)-f′(x0). 由于 f′(x)=-4x3+4 在(-∞, +∞)上单调递减, 故 F′(x)在(- ∞,+∞)上单调递减.又因为 F′(x0)=0,所以当 x∈(-∞,x0)时, F′(x)>0,当 x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,所以 F(x)在(-∞,x0)上单 调递增, 在(x0, +∞)上单调递减, 所以对于任意的实数 x, F(x)≤F(x0) =0,即对于任意的实数 x,都有 f(x)≤g(x). (3)证明: 由(2)知 g(x)=-12(x-4 a 可得 x′2=-12+4
1 3 1 3 1 3

,f′(x0)=-12.曲线

y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0)(x-x0),即 g(x)=f′(x0)(x-

). 设方程 g(x)=a 的根为 x′2,

.

因为 g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,又由(2)知 g(x2)≥f(x2)=a= g(x′2),因此 x2≤x′2. 类似地,设曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=h(x),可得 h(x) =4x.对于任意的 x∈(-∞, +∞), 有 f(x)-h(x)=-x4≤0, 即 f(x)≤h(x). a 设方程 h(x)=a 的根为 x′1, 可得 x′1=4.因为 h(x)=4x 在(-∞, +∞)上单调递增,且 h(x′1)=a=f(x1)≤h(x1),因此 x′1≤x1. a 由此可得 x2-x1≤x′2-x′1=-3+4
1 3

.

利用导数证明不等式的模型示意图如下:

1.e 为自然对数的底数.求函数 f(x)=1+x-ex 的单调区间,并 1? ? 比较?1+n?n 与 e 的大小.
? ?



f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1-ex.

当 f′(x)>0,即 x<0 时,f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>0 时,f(x)单调递减. 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). 当 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 1+x<ex. 1? ? 1 1 n 令 x=n,得 1+n<e ,即?1+n?n<e. ? ? 2.已知函数 f(x)=x2-2ax+2(a+1)ln x. (1)若函数 f(x)有两个极值点,求 a 的取值范围; (2)证明:若-1<a<3,则对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2, f?x1?-f?x2? 有 >2. x1-x2 解
? x2-ax+a+1 a+1? ? ? (1)由题意知,f′(x)=2 x-a+ =2· (x>0), x x ? ?
1

x2-ax+a+1 因为函数 f(x)有两个极值点,所以 =0 有两个不等的 x

a -4?a+1?>0 ? ? 正根, 即 x2-ax+a+1=0 有两个不等的正根, 所以?a>0 ?a+1>0 ? 解得 a>2+2 2,所以 a 的取值范围是(2+2 2,+∞). (2)证明:构造函数 g(x)=f(x)-2x=x2-2ax+2(a+1)ln x-2x, a+1 则 g′(x)=2x-2(a+1)+2· x ≥4 -2(a+1)=2 a+1(2- a+1).

2



a+1 x· x -2(a+1)=4 a+1

由于-1<a<3,0< a+1<2,故 g′(x)>0,即 g(x)在(0,+∞)上单 调递增, 从而当 0<x2<x1 时,有 g(x1)-g(x2)>0, 即 f(x1)-f(x2)-2x1+2x2>0,故 f?x1?-f?x2? >2; x1-x2

f?x1?-f?x2? 当 0<x1<x2 时,同理可证 >2. x1-x2 综上,对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有 f?x1?-f?x2? >2. x1-x2

对应学生用书P149 1.[2015· 山西质监]已知函数 f(x)=xln x. (1)试求曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (2)若 x>1,试判断方程 f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解的个数. 解 1 (1)f′(x)=ln x+x· x=1+ln x,∴f′(e)=2,又 f(e)=e,∴切

线方程为 2x-y-e=0. (2)方程 f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解即为方程 ln x- ?x-1??ax-a+1? =0 的解. x 设 h(x)=ln x- ?x-1??ax-a+1? ,x>1. x

ax2-x-a+1 ?x-1??ax+a-1? 则 h′(x)=- =- ,x>1. 2 x x2 当 a=0 时,h′(x)>0,h(x)为增函数,∴h(x)>h(1)=0,方程无解. 1-a 当 a≠0 时,令 h′(x)=0 得 x1=1,x2= a . 1-a 当 a<0,即 x2= a <1 时,∵x>1,∴h′(x)>0,则 h(x)为(1,+ ∞)上的增函数,∴h(x)>h(1)=0,方程无解.
? 1-a 1-a? 1 ?时,h′(x)>0,h(x)为增函 当 0<a<2,即 a >1 时,x∈?1, a ? ?

数; x∈?
?1-a

,+∞?时,h′(x)<0,h(x)为减函数. ? a ?

?

1-a 又 x→+∞时,h(x)=ln x-ax+ x +2a-1<0,h(1)=0,∴方程 有一个解. 1-a 1 当 a≥2,即 a ≤1 时, ∵x>1,∴h′(x)<0,h(x)为减函数, 而 h(x)<h(1)=0,方程无解.
?1 ? 综上所述,当 a∈(-∞,0]∪?2,+∞?时,原方程无解; ? ?

1 当 0<a<2时,原方程有一个解. 2.[2015· 云南统测]已知函数 f(x)=ln x- x . 1+2x

(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 1 (2)若 f[x(3x-2)]<-3,求实数 x 的取值范围. 解 (1)证明:由已知得 f(x)的定义域为(0,+∞). x , 1+2x

∵f(x)=ln x-

2 1 1+2x-2x 4x +3x+1 ∴f′(x)=x - = . ?1+2x?2 x?1+2x?2

∵x>0,∴4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0. ∴当 x>0 时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)∵f(x)=ln x- x 1 1 ,∴f(1)=ln 1- =-3. 1+2x 1+2×1

1 由 f[x(3x-2)]<-3得 f[x(3x-2)]<f(1).
?x?3x-2?>0 ? 1 2 由(1)得? ,解得-3<x<0 或3<x<1. ? ?x?3x-2?<1 ? 1 ? ?2 ? ∴实数 x 的取值范围为?-3,0?∪?3,1?. ? ? ? ?

3.[2015· 长春质监]已知函数 f(x)=x3-ax2,a∈R. (1)若 a=1,过点(1,0)作曲线 y=f(x)的切线 l,求 l 的方程; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=x-1 只有一个交点,求实数 a 的取值 范围. 解
2 (1)设切点 P 为(x0,y0),则 P 处的切线方程为 y=(3x0 -2x0)(x 3 2 -x0)+x0 -x0 .

该直线经过点(1,0),
2 2 所以有 0=(3x0 -2x0)(1-x0)+x3 0-x0, 3 化简得 x0 -2x2 0+x0=0,

解得 x0=0 或 x0=1,所以切线方程为 y=0 或 y=x-1. (2)解法一:由题得方程 x3-ax2-x+1=0 只有一个根, 设 g(x)=x3-ax2-x+1 则 g′(x)=3x2-2ax-1, 因为方程 g′(x)=0 的 Δ=4a2+12>0, 所以 g′(x)有两个零点 x1, x2, 即 3x2 且 x1x2 i -2axi-1=0(i=1,2), 3x2 i -1 <0,a= 2x , i 不妨设 x1<0<x2,所以 g(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增, 在(x1,x2)上单调递减,

故 g(x1)为极大值,g(x2)为极小值, 方程 x3-ax2-x+1=0 只有一个根等价于 g(x1)>0 且 g(x2)>0, 或 g(x1)<0 且 g(x2)<0, 又 1,2), 1 x 3 1 设 h(x)=-2x3-2+1,所以 h′(x)=-2x2-2<0,所以 h(x)为减 函数, 又 h(1)=0,所以当 x<1 时 h(x)>0,当 x>1 时 h(x)<0,所以 xi(i =1,2)大于 1 或小于 1, 由 x1<0<x2 知,xi(i=1,2)只能小于 1, 所以由二次函数 g′(x)=3x2-2ax-1 的性质可得 g′(1)=3-2a -1>0,所以 a<1. 解法二:曲线 y=f(x)与直线 y=x-1 只有一个交点, 等价于关于 x 的方程 ax2=x3-x+1 只有一个实根, 1 1 显然 x≠0,所以方程 a=x-x+x2只有一个实根. 1 1 设函数 g(x)=x-x +x2,
3 1 2 x +x-2 则 g′(x)=1+x2-x3= x3 .

3x2 1 xi i -1 3 2 3 g(xi)=xi -axi -xi+1=xi - 2x xi2-xi+1=-2x3 i - +1(i= 2 i

设 h(x)=x3+x-2,则 h′(x)=3x2+1>0,h(x)为增函数,又 h(1) =0, 所以当 x<0 时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)为减函数; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数. 所以 g(x)在 x=1 时取极小值 1. 又当 x 趋向于 0 时,g(x)趋向于正无穷;

当 x 趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷; 当 x 趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷. 所以 g(x)的大致图象如图所示. 1 1 所以方程 a=x-x+x2只有一个实根时,实数 a 的取值范围为(- ∞,1). 4.[2015· 长春质监(二)]已知函数 f(x)=x2-ax-aln x(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; x3 5 x2 11 (2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥- 3 + 2 -4x+ 6 ; (3)当 x∈[e,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 解 a (1)f′(x)=2x-a-x,由题意可得 f′(1)=0,解得 a=1.

经检验,a=1 时 f(x)在 x=1 处取得极值,所以 a=1. (2)证明:由(1)知,f(x)=x2-x-ln x, 5x 11? x 3x ? x 11 令 g(x)=f(x)-?- 3 + 2 -4x+ 6 ?= 3 - 2 +3x-ln x- 6 , ? ?
3 ?x-1?3 1 x -1 由 g′(x)=x -3x+3- x = x -3(x-1)= x (x>0),可知 2 3 2 3 2

g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以 g(x)≥g(1)=0, x3 5 x2 11 所以 f(x)≥- 3 + 2 -4x+ 6 成立. (3)由 x∈[e,+∞)知,x+ln x>0,

x2 所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤ 在 x∈[e,+∞)时恒成立, x+ln x x?x-1+2ln x? x2 令 h(x)= ,x∈[e,+∞),有 h′(x)= >0, x+ln x ?x+ln x?2 e2 所以 h(x) 在 [e ,+ ∞) 上是增函数,有 h(x)≥h(e) = ,所以 e+1 e2 a≤ . e+1 5.[2015· 甘肃一诊]已知函数 f(x)=ax2+ln (x+1). 1 (1)当 a=-4时,求函数 f(x)的单调区间;
? ?x≥0 (2)当 x∈[0, +∞)时, 函数 y=f(x)的图象上的点都在? 所 ?y-x≤0 ?

表示的平面区域内,求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)当 a=-4时,f(x)=-4x2+ln (x+1)(x>-1),

?x+2??x-1? 1 1 f′(x)=-2x+ =- (x>-1), x+1 2?x+1? 由 f′(x)>0 解得-1<x<1,由 f′(x)<0 解得 x>1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(1,+∞).
?x≥0 ? (2)当 x∈[0, +∞)时, 函数 y=f(x)的图象上的点都在? 所 ? ?y-x≤0

表示的平面区域内,即当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)≤x 恒成立, 即 ax2+ln (x+1)≤x 恒成立,设 g(x)=ax2+ln (x+1)-x(x≥0), 只需 g(x)max≤0 即可. x[2ax+?2a-1?] 1 由 g′(x)=2ax+ -1= , x+1 ?x+1? -x ①当 a=0 时,g′(x)= , x+1 当 x>0 时,g′(x)<0,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减. ∴g(x)≤g(0)=0 成立.

②当 a>0 时,由 g′(x)= 1 ∴x=2a-1.

x[2ax+?2a-1?] =0,因 x∈[0,+∞), ?x+1?

1 1 (ⅰ)若2a-1<0,即 a>2时,在区间(0,+∞)上,g′(x)>0,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增,函数 g(x)在[0,+∞)上无最大值,此时 不满足. 1 ? ? 1 1 (ⅱ)若2a-1≥0, 即 0<a≤2时, 函数 g(x)在?0,2a-1?上单调递减,
? ? ?1 ? 在区间?2a-1,+∞?上单调递增,同样函数 g(x)在[0,+∞)上无最大 ? ?

值,此时也不满足. ③当 a<0 时,由 g′(x)= ∵x∈[0,+∞), ∴2ax+(2a-1)<0,∴g′(x)<0,故函数 g(x)在[0,+∞)上单调递 减. ∴g(x)≤g(0)=0 成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,0]. k 6.[2015· 山西四校联考(三)]设函数 f(x)=ln x+x,k∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x-2=0 垂直,求 f(x)的单调递减区间和极小值(其中 e 为自然对数的底数); (2)若对任意 x1>x2>0, f(x1)-f(x2)<x1-x2 恒成立, 求 k 的取值范 围. 解 1 k (1)由条件得 f′(x)=x-x2(x>0), x[2ax+?2a-1?] , ?x+1?

∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x-2=0 垂直,∴此 切线的斜率为 0, 1 k 即 f′(e)=0,e -e2=0,得 k=e,

1 e x-e ∴f′(x)=x -x2= x2 (x>0), 由 f′(x)<0 得 0<x<e,由 f′(x)>0 得 x>e, ∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增, e 当 x=e 时 f(x)取得极小值 f(e)=ln e+e=2. 故 f(x)的单调递减区间为(0,e),极小值为 2. (2)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)-x1<f(x2)-x2 恒成立,(*) k 设 h(x)=f(x)-x=ln x+x-x(x>0), 则(*)式等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 k 由 h′(x)=x -x2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, 1? 1 ? 得 k≥-x2+x=-?x-2?2+4(x>0)恒成立,
? ?

1 1 1 ∴k≥4(对 k=4,h′(x)=0 仅在 x=2时成立),
?1 ? 故 k 的取值范围是?4,+∞?. ? ?

专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称 性;函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象及其变换、单调区间的求法. 2.交汇点 3.常用方法 常与向量、解三角形、不等式等知识交汇考查. 利用三角函数的图象与性质求三角函数值域的方

法;利用公式求三角函数的周期的方法;利用整体代换求三角函数的 单调区间的方法;利用平移变换与伸缩变换求函数的解析式的方法.

对应学生用书P027 [重要性质] 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

π π 在[ -2+2kπ,2+ 单 调 性 2kπ ] (k ∈ Z) 上单调

在 [ - π + 2kπ ,

π 递增;在[ 2+2kπ, 递增;在 [2kπ , π kπ ) (k ∈ Z) 上 单 调 + 2kπ](k ∈ Z) 上单 3π 递增 ] (k ∈ Z) 上 + 2 k π 2 调递减 单调递减 对称中心: 对称中心:
?π ? 对称中心: ? +kπ,0? (k ∈ 2 ? ? ? kπ ? ? ,0?(k∈Z) Z) ;对称轴: x = ? 2 ?

π π 2kπ](k ∈ Z) 上单调 在 ( - + kπ , + 2 2

对 称 性

(kπ,0)(k∈Z); 对称轴: π x=2+kπ(k∈Z)

kπ(k∈Z) [重要变换]

向左?φ>0?或向右?φ<0? 1.y=sinx――――――――――――――――――→ 平移|φ|个单位 1 横坐标变为原来的ω倍 y=sin(x+φ)―――――――――――――――――→ 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ωx+φ)――――――――――――――――→ 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).

1 横坐标变为原来的ω倍 2.y=sinx―――――――――――――――――→ 纵坐标不变 向左?φ>0?或向右?φ<0? y=sinωx―――――――――――――――――→ φ 平移|ω|个单位 纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ωx+φ)―――――――――――――――――→ 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). [易错提醒] 1.忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时,要 注意函数的定义域. 2.重要图象变换顺序 在图象变换过程中, 注意分清是先相位变换, 还是先周期变换. 变 换只是相对于其中的自变量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把 这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 3.忽视 A,ω 的符号 在求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意 A 和 ω 的符号, 若 ω<0,需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的.

对应学生用书P028 热点一 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 例 1 (1)[2015· 江西八校联考]函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部 )

分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2015)的值为(

A.0 C.6 2

B.3 2 D.- 2

2π π [解析] 由图可得,A=2,T=8, ω =8,ω=4, π ∴f(x)=2sin4x, ∴f(1)= 2,f(2)=2,f(3)= 2,f(4)=0,f(5)=- 2,f(6)=-2, f(7)=- 2,f(8)=0,而 2015=8×251+7, ∴f(1)+f(2)+?+f(2015)=0. [答案] A
?π? (2)[2015· 唐山统考]已知函数 f(x)=sinωx+ 3cosωx(ω>0),f?6?+ ? ? ?π? ?π π? f?2?=0,且 f(x)在区间?6,2?上递减,则 ω=( ? ? ? ?

)

A.3 C.6 [解析] 0,

B.2 D.5

?+? ?π π? ?π? ?π? ∵f(x)在?6,2?上单调递减, 且 f?6?+f?2?=0, ∴f?6 2?= ? ? ? ? ? ? ?
2

π π

?

π? ? ∵f(x)=sinωx+ 3cosωx=2sin?ωx+3?,
? ?

?π+π? ?π? π? ?π ∴f?6 2?=f?3?=2sin?3ω+3?=0, ? ? ? 2 ? ??
π π 1 2π π π ∴3ω+3=kπ(k∈Z),又2· ω ≥2-6,ω>0,

∴ω=2. [答案] B 函数表达式 y=Asin(ωx+φ)+B 的确定方法 字母 A B 确定途径 由最值确定 由最值确定 说明 最大值-最小值 A= 2 最大值+最小值 B= 2 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对 ω 由函数的 周期确定 值为半个周期,最高点 (或最低点 )的横坐标 1 与相邻零点差的绝对值为4个周期 一般把第一个零点作为突破口,可以从图象 的升降找准第一个零点的位置.利用待定系 数法并结合图象列方程或方程组求解

φ

由图象上的 特殊点确定

π? ? 1.[2015· 山西四校联考(三)]已知函数 f(x)=cos?ωx+φ-2?( ω>0,
? ?

π? ? π |φ|<2 )的部分图象如图所示,则 y=f?x+6?取得最小值时 x 的取值
? ?

集合为(

)

π ? ? ? A.?x?x=kπ-6,k∈Z?
? ? ? ?

π ? ? ? B.?x?x=kπ-3,k∈Z?
? ? ? ?

π ? ? ? C.?x?x=2kπ-6,k∈Z?
? ?

π ? ? ? D.?x?x=2kπ-3,k∈Z?
? ?

答案 解析

B π? ? T 7π π 因为 f(x)=cos?ωx+φ-2?=sin(ωx+φ), 由图可知4=12-3
? ?

π ? ? π 2π π π =4, 所以 ω= π =2.又由图得 sin?2×3+φ?=1, 即 2×3+φ=2kπ+2, ? ? π π π k∈Z,所以 φ=2kπ-6,k∈Z,又|φ|<2,所以 φ=-6,所以 f(x)= π? π? π? ? ? π? ? ? π π sin?2x-6?,则 y=f(x+6)=sin?2?x+6?-6?=sin?2x+6?,由 2x+6=-
? ? ? ? ? ? ? ?

π? ? π π ?x+ ?取得最小值时 x + 2 k π , k ∈ Z ,得 x = k π - , k ∈ Z ,所以 y = f 6? 2 3 ?
? ? ? π 的取值集合为?x?x=kπ-3,k∈Z ?,故选 B. ? ? ?

2.[2015· 陕西高考]如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲
?π ? 线近似满足函数 y=3sin?6x+φ?+k.据此函数可知,这段时间水深(单 ? ?

位:m)的最大值为(

)

A.5 C.8 答案 解析 =3+5=8. C

B.6 D.10
?π ? 由题图可知-3+k=2,k=5,y=3sin?6x+φ?+5,∴ymax ? ?

热点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换 例 2
?

(1)[2015·辽 宁 五 校 联 考 ] 函 数 f(x) = sin(ωx +
?

π ? ? φ)?其中|φ|<2,ω>0?的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图象,只 需把 y=f(x)的图象上所有点

π A.向右平移6个单位长度 π B.向右平移12个单位长度 π C.向左平移6个单位长度 π D.向左平移12个单位长度 T 7π π 2π [解析] 由图象知:4=12-3,∴T=π.又 π= ω ,
?π? π 2π ∴ω=2.由 f?3?=0 得: 2×3+φ=kπ(k∈Z), 即 φ=kπ- 3 (k∈Z). ∵ ? ?

π? π?? ? ? ? π π |φ|<2,∴φ=3,即 f(x)=sin?2x+3?=sin?2?x+6??,故选 A.
? ? ? ? ??

[答案] A π? ? (2)[2015· 贵阳监测]为得到函数 y=sin?x+3?的图象,可将函数 y
? ?

=sinx 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右平移 n 个单位长度(m, n 均为正数),则|m-n|的最小值是( π A.3 4π C. 3 ) 2π B. 3 5π D. 3

π π [解析] 由题意可知, m=3+2k1π, k1 为非负整数, n=-3+2k2π,
?2π ? k2 为正整数,∴|m-n|=? 3 +2?k1-k2?π?,∴当 k1=k2 时,|m-n|min ? ?

2π =3. [答案] B 三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函 数,这是判断移动方向的关键点. (2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看 y =Asin(ωx+φ)中 φ 的正负和它的平移要求. (3)看移动单位:在函数 y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换 都是沿 x 轴方向的,所以 ω 和 φ 之间有一定的关系,φ 是初相,再经
?φ? 过 ω 的压缩,最后移动的单位是?ω?. ? ?

π? ? 5π 1. 已知函数 f(x)=sin?2x+3?(x∈R), 把函数 f(x)的图象向右平移12
? ?

个单位长度得函数 g(x)的图象,则下列结论错误的是( π? ? A.函数 g(x)在区间?0,2?上为增函数
? ?

)

B.函数 g(x)为偶函数 C.函数 g(x)的最小正周期为 π π D.函数 g(x)的图象关于直线 x=4对称 答案 解析 D π? π? ? ? 因为 f(x)= sin?2x+3? (x∈ R),所以 g(x)= sin ?2x-2? =-
? ? ? ?

2π cos2x,故函数 g(x)的最小正周期 T= 2 =π,函数 g(x)为偶函数,且

π? ?π? ? π g?4?=-cos?2×4?=0,故函数 g(x)的图象不关于直线 x=4对称,当
? ? ? ?

π? ? π 0≤x≤2时,0≤2x≤π,则函数 g(x)在区间?0,2?上为增函数,故选 D.
? ?

π? ? 2. [2015· 湖南高考]将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 φ?0<φ<2?个
? ?

单位后得到函数 g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1 π -x2|min=3,则 φ=( 5π A.12 π C.4 答案 解析 D 由已知得 g(x)=sin(2x-2φ),满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设 ) π B.3 π D.6

π 此时 y=f(x)和 y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=3,令
?π ? π π π π π 2x1=2,2x2-2φ=-2,此时|x1-x2|=?2-φ?=3,又 0<φ<2,故 φ=6, ? ?

选 D. 热点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的综合应用 π? ? (1)[2015· 太原一模]已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?
? ?

例 3

π 的最小正周期是 π, 若将其图象向右平移3个单位后得到的图象关于原 点对称,则函数 f(x)的图象( π A.关于直线 x=12对称
?π ? C.关于点?12,0?对称 ? ?

) 5π B.关于直线 x=12对称
?5π ? D.关于点?12,0?对称 ? ?

2π [解析] ∵f(x)的最小正周期为 π,∴ ω =π,ω=2,∴f(x)的图象

π? 2π ? ? ? ? ? π 向右平移3个单位后得到 g(x)= sin?2?x-3?+φ? = sin?2x- 3 +φ? 的图
? ? ? ? ? ?

象,又 g(x)的图象关于原点对称,
?2π ? 2π 2π π ∴- 3 +φ=kπ,k∈Z,φ= 3 +kπ,k∈Z,又|φ|<2,∴? 3 +kπ? ? ?

π? ? π π π π π <2,∴k=-1,φ=-3,∴f(x)=sin?2x-3?,当 x=12时,2x-3=-6,
? ?

5π π π ∴A,C 错误,当 x=12时,2x-3=2,∴B 正确,D 错误. [答案] B (2)[2015· 山西四校联考(三)]已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0) π 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列,把函数 f(x) π 的图象沿 x 轴向左平移6个单位, 得到函数 g(x)的图象. 关于函数 g(x), 下列说法正确的是(
? ?

)

?π π? A.在?4,2?上是增函数

π B.其图象关于直线 x=-4对称 C.函数 g(x)是奇函数
?π 2π? D.当 x∈?6, 3 ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1] ? ?

π? ? T π [解析] f(x)= 3sinωx+cosωx=2sin?ωx+6?,由题设知2=2,∴
? ?

π? ? 2π T=π,ω= T =2,∴f(x)=2sin?2x+6?.把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平
? ?

π? π? ? ? π? ? π 移6个单位, 得到 g(x)=2sin?2?x+6?+6?=2sin?2x+2?=2cos2x 的图象, ? ? ? ? ? ?
?π π? π g(x)是偶函数且在?4,2?上是减函数,其图象关于直线 x=-4不对称, ? ? ?π 2π? ?π 4π? 所以 A,B,C 错误.当 x∈?6, 3 ?时,2x∈?3, 3 ?,则 g(x)min=2cosπ ? ? ? ?

π =-2,g(x)max=2cos3=1,即函数 g(x)的值域是[-2,1],故选 D.

[答案] D 本例(1)中条件不变,若平移后得到的图象关于 y 轴对称,则 f(x) 的图象又关于谁对称? 答案 解析 D 2π π g(x)的图象关于 y 轴对称,则- 3 +φ=2+kπ,k∈Z,可
? ?

π? ? π π kπ π 求 φ=6,∴f(x)=sin?2x+6?,2x+6=kπ,可得 x= 2 -12,令 k=1, 5π 则 x=12,故选 D. 求解函数 y=Asin(ωx+φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x)=Asin(ωx +φ)的形式. (2)整体意识:类比 y=sinx 的性质,只需将 y=Asin(ωx+φ)中的 “ωx+φ”看成 y=sinx 中的“x”,采用整体代入求解. π ①令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z),可求得对称轴方程. ②令 ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标. ③将 ωx+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意 ω 的符号. (3)讨论意识:当 A 为参数时,求最值应分情况讨论 A>0,A<0.

1.[2015· 四川高考]下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原 点对称的函数是(
?

)
?

π? ? A.y=cos?2x+2? C.y=sin2x+cos2x 答案 A

π? ? B.y=sin?2x+2?
? ?

D.y=sinx+cosx

解析

π 采用验证法.由 y=cos(2x+2)=-sin2x,可知该函数的最

小正周期为 π 且为奇函数,故选 A. 2.[2015· 安徽高考]已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正 2π 的常数)的最小正周期为 π,当 x= 3 时,函数 f(x)取得最小值,则下列 结论正确的是( ) B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) 答案 解析 A 2π ∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为 π,且 x= 3 是经过函

2π π π 数 f(x)最小值点的一条对称轴,∴x= 3 -2=6是经过函数 f(x)最大值 点的一条对称轴. π? 12-π ? π? 5π-12 ? ∵?2-6?= 6 ,??π-2?-6?= 6 , ? ? ? ? π? π π? ? π? ? π? ? ? π 2π π ?0- ?= ,∴?2- ?>??π-2?- ?>?0- ?,且- <2< ,- <π 6? 6 6? ? 6? ? 6? 3 3 3 ? ? 2π π 2π -2< 3 ,-3<0< 3 , ∴f(2)<f(π-2)<f(0),即 f(2)<f(-2)<f(0).

对应学生用书P030 课题 8 三角函数图象变换 π? ? [2015· 山东高考]要得到函数 y=sin?4x-3?的图象, 只需将函
? ?

数 y=sin4x 的图象(

) π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位

π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位

审题过程 切入点 函数图象的变换方法. 关注点 函数的解析式的整理化简. π? π ?? ? ? ? [规范解答] 因为 y=sin?4x- ?=sin?4?x- ??,所以只需将 y= 3 12
? ? ? ? ??

π? ? π sin4x 的图象向右平移12个单位,即可得到函数 y=sin?4x-3?的图象,
? ?

故选 B. 解决函数图象变换问题的模型示意图如下:

1.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0, π? π |φ|<2?的部分图象如图所示,则将 y=f(x)的图象向右平移 个单 6
?

位后,得到的图象解析式为(

)

A.y=sin2x 2π? ? C.y=sin?2x+ 3 ?
? ?

B.y=cos2x π? ? D.y=sin?2x-6?
? ?

答案 解析

D π ?π? ? ? 3 3π A=1,由4· T= 4 得 T=π,ω=2,f?6?=sin?2×6+φ?=1,
? ? ? ? ? ?

π? ? π π π |φ|<2,则 φ=6, 故 f(x)=sin?2x+6?,向右平移6个单位后,得 y= π? ? sin?2x-6?.
? ? ? 1 1 ?π 2.已知函数 f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2sin?2+φ?(0<φ<π),将 ? ? ?π? 1 π 函数 f(x)的图象向左平移12个单位后得到函数 g(x)的图象, 且 g?4?=2, ? ?

则 φ=________. 答案 解析 2π 3
? 1 1 1 ?π ∵ f(x)=2sin2xsinφ+ cos2xcosφ-2 sin ?2+φ? =2 sin2xsinφ+ ? ?

cos2x+1 1 1 1 1 cos φ - cos φ = sin2 x sin φ + cos2 x cos φ = 2 2 2 2 2cos(2x-φ), π? π ? 1 ? ? 1 ? ? ∴g(x)=2cos?2?x+12?-φ?=2cos?2x+6-φ?.
? ? ? ? ? ? ?π? 1 π π 2π ∵g?4?=2,∴2×4+6-φ=2kπ(k∈Z),即 φ= 3 -2kπ(k∈Z).∵ ? ?

2π 0<φ<π,∴φ= 3 .

对应学生用书P151 一、选择题 π? ? π 1.将函数 y=sin?x+6?(x∈R)的图象上所有的点向左平移4个单位
? ?

长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的

解析式为(
?

)
?

5π? ? A. y=sin?2x+12?(x∈R)
? x 5π? B. y=sin?2+12?(x∈R) ? ? ?x π ? C. y=sin?2-12?(x∈R) ? ? ? x 5π? D. y=sin?2+24?(x∈R) ? ?

答案 解析

B π ? π 原函数图象向左平移4个单位后得 y=sin?x+6 ?
? ? ?

π? 5π? ? +4?=sin?x+12?(x∈R)的图象,再把图象上各点的横坐标扩大
? x 5π? 到原来的 2 倍得 y=sin?2+12?(x∈R)的图象. ? ?

2. 函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得线段
?π? π 长为2,则 f?6?的值是( ? ?

) 3 B. 3 D. 3

A.- 3 C.1 答案 解析
? ?

D π π π 由题意可知该函数的周期为2, ∴ω=2, ω=2, f(x)=tan2x,

?π? π ∴f?6?=tan3= 3,故选 D.

3.将函数 f(x)=cosx- 3sinx(x∈R)的图象向左平移 a(a>0)个单 位长度后,所得到的图象关于原点对称,则 a 的最小值是( π A.12 π C.3 答案 B π B.6 5π D. 6 )

解析

?1 ? π? ? 3 f(x)=cosx- 3sinx=2? cosx- sinx?=2cos?x+3?,由题 2 ? ? ?2 ?

π π π 知3+a=2+kπ,k∈Z,所以 a=6+kπ,k∈Z,又因为 a>0,所以 a π 的最小值为6.
?π ? ?π ? 4.函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意 x 都有 f?4+x?=f?4-x?, ? ? ? ? ?π? 则 f?4?等于( ? ?

) B.-2 或 2 D.-2 或 0 B
?π ? ?π ? π 由 f?4+x?=f?4-x?可知函数图象关于直线 x=4对称, 则在 ? ? ? ? ? ?

A.2 或 0 C.0 答案 解析

?π? π x=4处函数取得最值,所以 f?4?=± 2,故选 B.

5.[2015· 云南统测]已知平面向量 a=(2cos2x,sin2x),b=(cos2x, -2sin2x),f(x)=a· b,要得到 y=sin2x+ 3cos2x 的图象,只需要将 y =f(x)的图象( )

点击观看解答视频 π A.向左平行移动6个单位 π B.向右平行移动6个单位 π C.向左平行移动12个单位 π D.向右平行移动12个单位 答案 D

解析

由题意得: f(x)=a· b=2cos4x-2sin4x=2(cos2x+sin2x)(cos2x
? ? ? ?

π? π? ? ? -sin2x)=2cos2x=2sin?2x+2?,而 y=sin2x+ 3cos2x=2sin?2x+3?= π ? π? ? ? π 2sin?2?x-12?+2?, 故只需将 y=f(x)的图象向右平移12个单位即可. 故
? ? ? ?

选 D. 1 6.[2015· 南宁适应性测试 ]函数 f(x)=2(1+cos2x)· sin2x(x∈R)是 ( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 π B.最小正周期为2的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为2的偶函数 答案 解析 D 1 1 注意到 sin2x = 2 (1 - cos2x) ,因此 f(x) =4 (1 + cos2x)(1 -

1 1 1 1 cos2x)=4(1-cos22x)=4sin22x=8(1-cos4x), 即 f(x)=8(1-cos4x), f(- 1 π x)=8(1-cos4x)=f(x),因此函数 f(x)是最小正周期为2的偶函数,选 D. 7.[2014· 济宁一模]已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(0<φ<π)的图象如
?π 5π? 图所示,若 f(x0)=3,x0∈?3, 6 ?,则 sinx0 的值为( ? ?

)

4 3-3 A. 10 4 3+1 C. 10 答案 解析 B

3 3+4 B. 10 3 3+3 D. 10

T 4π π 由图象知 A=5, 2= 3 -3=π,

2π ∴T=2π,∴ω=2π=1, π π π 且 1×3+φ=2kπ+2,又 0<φ<π,∴φ=6, π? ? ∴f(x)=5sin?x+6?.
? ?

π 3 由 f(x0)=3,得 sin(x0+6)=5, 3 1 3 即 2 sinx0+2cosx0=5,①
?π 5π? π ?π ? 又 x0∈?3, 6 ?,∴x0+6∈?2,π?, ? ? ? ?

π? ? 4 3 1 4 ∴cos?x0+6?=-5,即 2 cosx0-2sinx0=-5,② ? ? 由①②解得 sinx0= 3 3+4 10 .

8.[2015· 江西八所重点中学联考]已知函数 f(x)= sinx+cosx+|sinx-cosx| ,则下列结论正确的是( 2 A.f(x)是奇函数 C.f(x)是周期函数 答案 解析 C 由题意得,f(x)本质上为取 sinx,cosx 中的较大值,为周期
?

)
?

π? ? B.f(x)在?0,2?上递增 D.f(x)的值域为[-1,1]

函 数 , 一 个 周 期 T = 2π , 在 (0,2π] 上 的 解 析 式 为 : f(x) = π? ? ? ?π 5π? ?5π ? ?cosx,x∈?0, ??sinx,x∈? , ??cosx,x∈? ,2π? . ∵ f(x) 为非 4? ? ? ?4 4 ? ?4 ?

奇非偶函数, π? ? ?π π? ∴A 错误;f(x)在?0,4?上单调递减,在?4,2?上单调递增,∴B
? ? ? ?

错误;由 f(x)在(0,2π]上的解析式可知,其值域为?-
?

?

2 ? ?,∴D 错 2 ,1?

误.故选 C. π 9. [2015· 南宁适应性测试]已知函数 f(x)=sin(2x+α)在 x=12时有 极大值,且 f(x-β)为奇函数,则 α,β 的一组可能值依次为( π π A.6,-12 π π C.3,-6 答案 解析 D π π π 依题意得 2×12+α=2k1π+2,k1∈Z,即 α=2k1π+3,k1 π π B.6,12 π π D.3,6 )

∈Z,因此选项 A、B 均不正确;由 f(x-β)是奇函数得 f(-x-β)=- f(x-β),即 f(-x-β)+f(x-β)=0,函数 f(x)的图象关于点(-β,0)对 称,f(-β)=0,sin(-2β+α)=0,sin(2β-α)=0,2β-α=k2π,k2∈Z, π k2 π π 结合选项 C、D,则 α=3得 β= 2 +6,k2∈Z,因此选 D. 10.[2015· 南昌一模]如图,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函数 f(x) =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与两条直线 l1:y=m(A≥m≥0),l2: y=-m 的两个交点,记 S(m)=|xN-xM|,则 S(m)的图象大致是( )

答案

C

解析

如图所示,作曲线 y=f(x)的对称轴 x=x1,x=x2,点 M 与

点 D 关于直线 x=x1 对称,点 N 与点 C 关于直线 x=x2 对称,所以 xM +xD=2x1,xC+xN=2x2,所以 xD=2x1-xM,xC=2x2-xN.又点 M 与点 C、点 D 与点 N 都关于点 B 对称,所以 xM+xC=2xB,xD+xN=2xB, 所以 xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB, T T 得 xM-xN=2(xB-x2)=-2,xN-xM=2(xB-x1)=2,所以|xM-xN| T π =2=ω(常数),选 C. 二、填空题 π? ? 1 3 11.[2015· 长春质监(三)]函数 y=2sinx+ 2 cosx( x∈?0,2? )的单调 ? ? 递增区间是________.

点击观看解答视频 π? ? 答案 ?0,6?
? ?

解析

π? ? 1 3 ∵y=2sinx+ 2 cosx=sin?x+3?, ? ?
? ?

5π π? ? ∴函数的单调递增区间为?2kπ- 6 ,2kπ+6?(k∈Z), π? π? ? ? 又 x∈?0,2?,∴单调递增区间为?0,6?.
? ? ? ? ?π π? 12.若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间?6,2?是减函数,则 a 的取 ? ?

值范围是________. 答案 解析 (-∞,2] f(x) = cos2x + asinx = 1 - 2sin2x + asinx ,令 t = sinx , x ∈

?π π? ?1 ? ? , ?,则 t∈? ,1?,原函数化为 y=-2t2+at+1,由题意及复合函 ?6 2? ?2 ? ?1 ? 数单调性的判定可知 y=-2t2+at+1 在?2,1?上是减函数,结合抛物 ? ?

a 1 线图象可知,4≤2,所以 a≤2. π? ? 13.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)?ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所
? ? ? π π? 示,如果 x1,x2∈?-6,3?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=________. ? ?

点击观看解答视频

答案

3 2 π π -6+3 T π ? π? π 由图可知,2=3-?-6?=2, 则 T=π, ω=2, 又∵ 2
? ?

解析

π ?π ? ? ? π π =12, ∴f(x)的图象过点?12,1?, 即 sin?2×12+φ?=1, 得 φ=3, ∴f(x) ? ? ? ? π? π π? ? ?π? ? π π π =sin?2x+3?.而 x1+x2=-6+3=6,∴f(x1+x2)=f?6?=sin?2×6+3?=
? ? ? ? ? ?

2π 3 sin 3 = 2 . 14.[2015· 湖南高考]已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点中, 距离最短的两个交点的距离为 2 3, 则 ω=_______. π 答案 2 解析 由题意,两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间 的距离,设相邻的两交点坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2),易知|PQ|2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|= 2-(- 2)=2 2,|x2-x1|为函 π? ? 数 y=2sinωx-2cosωx=2 2sin?ωx-4?的两个相邻零点之间的距离,
? ? ? 2π ? π 恰好为函数最小正周期的一半,所以(2 3)2=?2ω?2+(2 2)2,ω=2. ? ?

第二讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 同角三角函数间的基本关系及诱导公式; 三角恒等变

换.利用正弦定理与余弦定理解三角形;以实际生活为背景,与度量 工作、测量距离和高度及工程建筑等生产实际相结合命制新颖别致的 考题. 2.交汇点 常与函数、数列、平面向量以及三角函数的图象和性

质解三角形等知识交汇考查. 3.常用方法 配凑法,“切”与“弦”互换法,代换法.利用正、

余弦定理求边或角的方法;利用正、余弦定理求解实际问题的方法.

对应学生用书P031 [必记公式] 1.同角三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sinα (2)商数关系:tanα=cosα. 2.诱导公式 π (1)公式:Sα+2kπ;Sπ±α;S-α;S2± α; (2)巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限,α 当锐角看. 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sinαcosβ± cosαsinβ; (2)cos(α± β)=cosαcosβ?sinαsinβ; tanα± tanβ (3)tan(α± β)= ; 1?tanαtanβ (4)辅助角公式:asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ)= a2+b2cos(α +θ). 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tanα (3)tan2α= . 1-tan2α 5.降幂公式 1-cos2α (1)sin2α= ; 2 1+cos2α (2)cos2α= . 2 6.正弦定理

a b c = = sinA sinB sinC=2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. a b c sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R. a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. 7.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cosA= 2bc ,cosB= 2ac , a2+b2-c2 cosC= 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2= 2abcosC. 8.面积公式 1 1 1 S△ABC=2bcsinA=2acsinB=2absinC. [重要结论] 解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的 情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. [易错提醒] 1.同角关系应用错误:利用同角三角函数的平方关系开方时,忽 略判断角所在的象限或判断出错,导致三角函数符号错误. 2.诱导公式的应用错误:利用诱导公式时,三角函数名变换出错 或三角函数值的符号出错. 3.忽视解的多种情况

如已知 a,b 和 A,应先用正弦定理求 B,由 A+B+C=π,求 C, 再由正弦定理或余弦定理求边 c,但解可能有多种情况. 4.忽略角的范围 应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时,要注意角的 范围. 5.忽视解的实际意义 求解实际问题,要注意解得的结果要与实际相吻合.

对应学生用书P032 热点一 三角变换及求值
?π ? 4 3 (1)[2015· 贵 阳 监 测 ] 已 知 sin ?3+α? + sinα = 5 , 则 ? ?

例 1
? ?

7π? ? sin?α+ 6 ?的值是( 2 3 A.- 5 4 C.5 [解析]

) 2 3 B. 5 4 D.-5

π 4 3 π π 4 3 sin(3+α)+sinα= 5 ?sin3cosα+cos3· sinα+sinα= 5

7π? ? 3 3 4 3 3 1 4 7π ?2sinα+ 2 cosα= 5 ? 2 sinα+2cosα=5, 故 sin?α+ 6 ?=sinαcos 6 ? ? 7π 3 1 4 +cosαsin 6 =-( 2 sinα+2cosα )=-5. [答案] D (2)[2015· 江西八校联考] 如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A, 5? ?12 点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为?13,-13?,
? ?

α α α 3 ∠AOC=α.若|BC|=1,则 3cos22-sin2cos2- 2 的值为________.

[解析] 由题意得|OB|=|BC|=1,从而△OBC 为等边三角形,∴

1+cosα ?π ? 5 α α α 3 sin∠AOB=sin?3-α?=13,又∵ 3cos22-sin2cos2- 2 = 3· 2 ? ?
?π ? 5 sinα 3 1 3 - 2 - 2 =-2sinα+ 2 cosα=sin?3-α?=13. ? ?

5 [答案] 13 1.化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函 数的种类,做到三角函数名称的统一,通过三角恒等变换,化繁为简, 便于化简求值,其基本思路为:找差异,化同名(同角),化简求值. 2.解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知 角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角 函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某 种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.

1.[2015· 课标全国卷Ⅰ]sin20° cos10° -cos160° sin10° =( 3 A.- 2 1 C.-2 答案 解析 D 3 B. 2 1 D.2

)

1 原式=sin20° cos10° +cos20° sin10° =sin(20° +10° )=2. )

3π? ? cos?α-10? π ? ? 2.[2015· 重庆高考]若 tanα=2tan5,则 π? =( ? sin?α-5?
? ?

A.1 C.3 答案 C

B.2 D.4

3π? 3π π? π? ? ? ? cos?α-10? sin?α-10+2? sin?α+5? ? ? ? ? ? ? 解析 = = π? π? π? ? ? ? sin?α-5? sin?α-5? sin?α-5?
? ? ? ? ? ?

π π sinα π π sinαcos5+cosαsin5 cosαcos5+sin5 = π π= sinα π π sinαcos5-cosαsin5 cosαcos5-sin5 π sin5 π π 2· πcos5+sin5 π cos5 3sin5 = = π =3,故选 C. π sin5 sin5 π π 2· πcos5-sin5 cos5 热点二 利用正弦、余弦定理解三角形 例2 (1)[2015· 郑州质量预测]在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边

分别是 a,b,c,已知 sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且 c= 7,C π =3,则△ABC 的面积是( 3 3 A. 4 21 C. 3 [解析] ) 7 3 B. 6 3 3 7 3 D. 4 或 6 sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-

cosBsinA , sin2A = 2sinAcosA , sin(B + A) + sin(B - A) = 3sin2A , 即 π π 2sinBcosA=6sinAcosA.当 cosA=0 时,A=2,B=6,又 c= 7,得 b 21 1 7 3 = 3 .由三角形面积公式知 S=2bc= 6 ; 当 cosA≠0 时, 由 2sinBcosA

=6sinAcosA 可得 sinB=3sinA,根据正弦定理可知 b=3a,再由余弦 a2+b2-c2 a2+9a2-7 π 1 定理可知 cosC= 2ab = = cos 2 6a 3=2,可得 a=1,b=3, 1 3 3 所以此时三角形的面积为 S=2absinC= 4 .综上可得三角形的面积为 7 3 3 3 6 或 4 ,所以选 D. [答案] D (2)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC +ccosB=asinA,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.钝角三角形 即 sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, ∵sinA≠0∴sinA=1, ∵0<A<π, π ∴A=2. 所以△ABC 为直角三角形,故选 A. [答案] A (3)[2015· 石家庄一模]已知平面图形 ABCD 为凸四边形(凸四边形 即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且 AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 ( ) A. 30 C.4 30 [解析] B.2 30 D.6 30 1 1 根 据 题 意 , 连 接 BD , 则 S = 2 ×2×3×sinA + 2 ) B.锐角三角形 D.不确定

[解析] 由题可知 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,

×4×5×sinC=3sinA+10sinC.根据余弦定理得,BD2=13-12cosA= 41-40cosC, 得 10cosC-3cosA=7, 两边同时平方得 100cos2C+9cos2A

-60cosCcosA=49,得 100sin2C+9sin2A=60-60cosCcosA,而 S2= (3sinA+10sinC)2=100sin2C+9sin2A+60sinCsinA=60-60cosAcosC+ 60sinCsinA=60-60cos(C+A)≤120,所以 S≤2 30,故选 B. [答案] B 本例(2)中条件变为“(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A +B)”,则△ABC 的形状如何? 解 由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 得 a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], 所以 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即 sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB. 因为 0<A<π,0<B<π,

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