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河北南宫中学2016届高三5月第三次模拟考试(石家庄二模)数学(文)试题 扫描版含答


2016 年石家庄市第二次模拟考试试题答案 数学文科
一、选择题 1-5 BAACB 二、填空题 13. 15. 三、解答题 6-10CBADD 11-12AC

4 5
6

14. 16.

3 8

?6或2

17.(I)由正弦定理

a b c ? ? ? 2 R 可得: sin A sin B sin C 2R s i n A = ? 3 R2 sB in C c………………… os 1分
-------------------------3 分

? A ? B ? C ? ? ?sin A ? sin( B ? C )=3sin B cos C ,
即 sin B cos C ? cos B sin C =3sin B cos C

? cos B sin C =2sin B cos C


?

cos B sC in =2 sin B cos C
-------------------------5 分

tan C =2 . tan B

(II) (法一)由 A ? B ? C ? ? 得 tan( B ? C ) ? tan(? ? A) ? ?3 ,

tan B ? tan C 3 tan B ? ?3 , 将 tan C ? 2 tan B 代入得: ? ?3 ,-------------------------7 分 1 ? tan B ? tan C 1 ? 2 tan 2 B 1 解得 tan B ? 1 或 tan B ? ? , 2 tan B 同正, 根据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 所以 tan B ? 1 , tan C ? 2 . ……………………8 分
即 则 tan A ? 3 ,可得 sin B ?

2 2 5 3 10 , sin C ? , sin A ? , 2 5 10

代入正弦定理可得

3 b = ,? b ? 5 ,-------------------------10 分 3 10 2 10 2

所以 S?ABC ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 5 ? ? 3 .-------------------------12 分 2 2 5

(法二)由 A ? B ? C ? ? 得

tan( B ? C) ? tan(? ? A) ? ?3 ,


tan B ? tan C 3 tan B ? ?3 , 将 tan C ? 2 tan B 代入得: ? ?3 ,-------------------------7 分 1 ? tan B ? tan C 1 ? 2 tan 2 B

解得 tan B ? 1 或 tan B ? ?

1 tan B 同正, ,根据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 2

所以 tan B ? 1 , tan C ? 2 . ………………………8 分 又因为 a ? 3b cos C ? 3 所以 b cos C ? 1 ,

? ab cos C ? 3
? ab cos C tan C ? 6 . -------------------------10 分 1 1 ? S?ABC ? ab sin C ? ? 6 ? 3 .-------------------------12 分 2 2
18. 解: (1)由茎叶图可得二维列联表 正常 男性 女性 合计 9 5 14 偏高 1 5 6 合计 10 10 20

…………………4 分(填错一个数,扣 2 分,错两个以上扣 4 分)

K2=

2 20 ? (9 ? 5 ? 5 ? 1) n(ad ? bc)2 = ? 3.810 ? 2.706 10 ? 10 ? 14 ? 6 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为此项血液指标与性别有关系. ………………6 分 (2)由茎叶图可得该样本中此项血液指标偏高的人数为 6,其中男性 1 人,女性 5 人. 用 a 表示男性,bi 表示女性 ( i ? 1, 2,3, 4,5) .则抽取的方式为 ?a, b1? ,?a, b2 ? ,?a, b3 ? ,?a, b4 ? ,?a, b5 ? ,

?b1 , b2 ? , ?b1 , b3 ? , ?b1 , b4 ? , ?b1 , b5 ? , ?b2 , b3? , ?b2 , b4 ? , ?b2 , b5 ? , ?b3 , b4 ? , ?b3 , b5 ? , ?b4 , b5 ? .共 15 种情况.………………8 分
其中男性和女性均被抽到的情况有 ?a, b1? ,?a, b2 ? ,?a, b3 ? ,?a, b4 ? ,?a, b5 ? 共 5 种情况.………… 10 分 所以男性和女性均被抽到的概率为 19.

1 .…………………12 分 3

P

D F A E B

C

解析: (1)在矩形 ABCD 中, AB : BC ? 2 :1 ,且 E 是 AB 的中点, ∴ tan ∠ ADE = tan ∠ CAB ? ∴∠ ADE =∠ CAB ,
? ? ∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥ DE .…………3 分

1 ,………………1 分 2

由题可知面 PAC ? 面 ABCD ,且交线为 AC ,∴ DE ? 面 PAC .…………5 分

P

M D G H F A E B
∴四边形 EBGD 为平行四边形,∴ DE ∥ GB (2)作 DC 的中点 G , GC 的中点 H ,连结 GB 、 HF .……………6 分 ∵ DG ∥ EB ,且 DG ? EB ∵ F 是 BC 的中点, H 是 GC 的中点,∴ HF ∥ GB ,∴ HF ∥ DE .…………8 分 作 H 作 HM ∥ PD 交 PC 于 M ,连结 FM , ∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ,∴平面 HMF ∥平面 PDE ,∴ FM ∥平面 PDE .………10 分 由 HM ∥ PD 可知:∴

C

PM DH ? ? 3 …………12 分 MC HC
2 2 2

20.解: (1) DF 1 ? DF 2 ? (?c ? x0 , ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0 ? c ? y0 ?

???? ? ???? ?

c2 2 x ? b 2 ? c 2 ,………2 分 2 0 a

2 2 因为 0 ? x0 ? a2 ,所以当 x0 ? a 2 时, DF1 ? DF2 得最大值 b .………………………………3 分
2

???? ? ???? ?

所以 b ?
2

a2 3 ,故离心率 e ? ………………………………4 分 4 2 x2 ? y 2 ? 1, 4

(2)由题意知 b ? 1 ,可得椭圆方程为: 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ), H ( x, y)

由?

? y ? kx ? m ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 , 2 2 x ? 4 y ? 4 ?
?8kmx 4(m 2 ? 1) x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
……………………………6 分

x1 ? x2 ?

由 AB ? AC ? 0 得: x1 x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,……………………………8 分

??? ? ??? ?

3 ……………………………10 分 5 3 3 所以动直线 l 的方程为: y ? kx ? ,即直线恒过定点 (0, ? ) ……………12 分 5 5
将韦达定理代入化简可得: m ? ? 21. 解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? (ex ?1)( x ?1) , f (1) ? 0 , f ? (1) ? e ? 1 所以在 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? (e ? 1)( x ? 1) …………2 分 所证问题等价于 (ex ?1)( x ?1) ? (e ?1)( x ?1),( x ? 1) …………3 分 即 (ex ? e)( x ?1) ? 0,( x ? 1) 当 x ? 1 时, ex ? e ? 0, x ?1 ? 0,(ex ? e)( x ?1) ? 0 当 x ? 1 时 ex ? e ? 0, x ?1 ? 0,(ex ? e)( x ?1) ? 0 命题得证!…………5 分 (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? x ln x ?
x 等价于 (e ? 1) x ? x ln x ?

1 ? 0, ( x ? 0) e 1 ,…………6 分 e

1 ?0 e

x 即 (e ? 1) x ? ? x ln x ?

x 令 p ( x) ? (e ? 1) x, q ( x) ? ? x ln x ?

1 e

p?( x) ? ex ( x ? 1) ?1 ? 0, y ? p( x) 单调递增, p( x) ? (e x ?1) x ? p(0) ? 0 …………8 分
又 q?( x) ? ? ln x ? 1 , x ? (0, ), q?( x) ? 0, y ? q( x) 单调递增;

1 e

1 x ? ( , ??), q?( x) ? 0, y ? q( x) 单调递减; e 1 q ( x) ? q ( ) ? 0 ,…………11 分 e 1 x 所以 (e ? 1) x ? ? x ln x ? ,命题得证.…………12 分 e

选做题 22. (I)证明:? 在 ? O 中,弦 AC、BF 相交于 E,

? FE ? EB ? AE ? EC ,
又 E 为 AC 的中点,所以 FE ? EB ? AE ,-------------------------2 分
2

又因为 OA ? AD , OE ? AE , 根据射影定理可得 AE ? DE ? EO ,-------------------------4 分
2

? DE ? EO ? FE ? EB ,

------------------------5 分
0

(II)因为 AB 为直径,所以 ?C =90 , 又因为 ?CBE ? 45 ,所以 ?BCE 为等腰直角三角形. ………………6 分
o

? AC ? 2 BC ,根据勾股定理得 AC 2 ? BC 2 ? 5BC 2 ? 80 ,解得 BC ? 4 ,-------------------------8 分
2 所以 AE ? 4,OE ? 2 ,由(I)得 AE ? DE ? EO 所以 DE ? 8 ,

所以 AD ?

AE 2 ? DE 2 ? 42 ? 82 ? 4 5 .

------------------------10 分

23 解: (I)由 ? cos 2 ? ? 3sin ? , 得 ? 2 cos2 ? ? 3? sin ? ,………………2 分

? 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 ? 3 y ,
(II)将 ? =

-----------------------------------4 分

?
3

代入 C2 : ?

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?
5? , 6
--------------------------6 分

得 P(1, 3) ,由题意可知切线 AB 的倾斜角为

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ( t 为参数) 设切线 AB 的参数方程为 ? , ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
代入 x2 ? 3 y 得: (1 ?

3 2 1 t ) ? 3( 3 ? t ) , 2 2
--------------------------8 分



3 2 3 3 t ? t ?2 ?0, 4 2

设方程的两根为 t1 和 t 2 可得: t1 ? t2 ? 2 3 ,

所以 | MP |?|

t1 ? t2 |? 3 --------------------------10 分 2

24 解: (I) f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b |?| ( x ? a) ? ( x ? b) |? a ? b ,--------------------------2 分 所以 f ( x ) 的最大值为 a ? b ,

? a ? b ? 3 ,--------------------------4 分
(II)当 x ? a 时, f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | =x ? a ? ( x ? b) ? ?a ? b ? ?3 , 对于 ?x ? a ,使得 g ( x) ? f ( x) 等价于 ?x ? a , gmax ( x) ? ?3 成立, --------------------------6 分

? g ( x) 的对称轴为 x ? ?

a ?a, 2

? g ( x) 在 x ?[a, ??) 为减函数,
? g ( x) 的最大值为 g (a) ? ?a2 ? a2 ? b ? ?2a2 ? a ? 3 ,--------------------------8 分

??2a 2 ? a ? 3 ? ?3 ,即 2a 2 ? a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ?
又因为 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 3 ,所以

1 , 2

1 ? a ? 3 .--------------------------10 分 2


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