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山西省康杰中学2013届高三第八次模拟数学(理)试题


康杰中学 2013 年高考模拟(八)

数学(理)
2013.6.1 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? ?2, ln x? , B ? ? x, y? ,若 A ? B ? ?0? ,则 y 的值为( ) 2.如果复数 ? a ? 2i ??1

? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( ) ) ) A.2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2 2 3.若命题“ ?x0 ? R,使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是( A. [2, 6] B. [?6, ?2] C. (2, 6) D. (?6, ?2) 4.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则直线 l 的方程是( A. x ? 0 B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 5.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) ( A ? 0, ? ? 0) 在 区间 [? ? , 5? ] 上的图象.为了得到这个函数的图象,
6 6

只需将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点( ) ? A.向左平移 个单位长度, 再把所得各点的横坐标 3 1 缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 ? B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 6.已知数列 {a n } 为等比数列, a 4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为( ) A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7 7.二项式 ( x ? 1 )8 的展开式中常数项是( 3
2 x

) D.-28

???? 8.已知 AD 是 ΔABC 的中线,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是 ( ) 1 1 A. 1 B.2 C. D. 2 4 9.一个几何体 的三视图如 右图所示,则它的体积为( ) 40 20 A. B. C. 20 D. 40 3 3 10.一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每 次取出 一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取 3 次,则取得 小球标 号最大 值是 3 的取法有( ) A.12 种 B.15 种 C.17 种 D.19 种 2 2 x y 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的一点 P( x0 , y0 ) 到左焦点的距离与到右焦点的距 a b
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A.28

B.-7

C. 7

16 ,则双曲线的离心率为( ) 5 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 2 4 12.定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时 ,

离之差为 8,且到两渐近线的距离之积为

f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至多三个零点,则 a
的取值范围是( ) 5 5 3 5 A. ( ,1) B. ( ,1) ? (1,??) C. (0, D. ( ,1) ) 5 5 3 5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸的相应位置. ) ?2 x ? y ? 0 ? 13.若实数 x 、 y 满足 ? y ? x ,且 z = 2 x + y 的最小值 开始 ? y ? ?x ? b ? 为 3 ,则实数 b 的值为__ n=1,s=0 14.一个算法的程序框图如右,则其输出结果是 n≤2013 15.半径为 r 的圆的面积 S (r ) ? ?r 2 ,周长 是 C (r ) ? 2?r ,若将 r 看作(0,+∞)上的变量, n? 输出 S s ? s ? sin 则 (?r 2 )' ? 2?r ① 4 ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的 结束 周长函数。对于半径为 n=n+1 R 的球,若将 R 看作(0,+ ? )上的变量,请你写出 类似于①的式子 _______________②;②式可用语言叙述为________________。 16.在三棱锥 S-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= 2 ,SA=SC=2,AC 的中点为 M,∠SMB 的余 3 弦值是 ,若 S、A、B、C 都在同一球 面上,则该球的表面积是 。 3 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本题满分 12 分) 如图, 某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条 运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0, ? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3 , 员的 2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动 o 安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A , ? 的值和 M,P 两点间的距离; (II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 18. (本小题满分 12 分) 如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺 寸如图所示)


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(I)求证:AE//平面 DCF;
9 (II)当 AB 的长为 , ?CEF ? 90 ? ,求二面角 A-EF-C 的大小。 2 19. (本小题满分 12 分) 某次月考数学第Ⅰ卷共有 8 道选择题,每道选择题有 4 个选项,其中只有一个是正确的; 评分标准为:“每题只有一个选项是正确的,选对得 5 分,不选或选错得 0 分.”某考生每道题 都给出一个答案,已确定有 5 道题的答案是正确的,而其余 3 道题中,有一道题可判断出两 个选项是错误的,有一道题可以判断出一个选项是错误的,还有一道题因不了解题意而乱猜, 试求该考生: (I)得 40 分的概率; (II)得多少分的可能性最大? (III)所得分数 X 的数学期望. 20. (本小题共 12 分) x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点为 F(2,0) ,M 为椭圆的上顶点, a b O 为坐标原点,且 ?OMF 是等腰直角三角形. (I)求椭圆的方程; (II) 过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点, 设两直线的斜率分别为 k1 , k2且k1 +k2 =8,
[来源:www.shulihua.net]

? 1 ? 证明:直线 AB 过定点 ? ? ,- 2 ? . ? 2 ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax 2 ? 1. (I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.选修 4 ? 1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙ O / 相交于 A, B 两点,过 A 作两 (Ⅰ) AC ? BD ? AD ? AB ; (Ⅱ) AC ? AE . 23.选修 4 ? 4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴 为极轴建立极 ? M,N 分别为 C 坐标系曲 线 C 的极坐标方程为 cos( ? ? )=1, 3 与 x 轴,y 轴的交点。 (I)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (II)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。
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24.选修 4 ? 5:不等式选讲 已知正数 a、b、c 满足 a ? b ? 2c ,求证: c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab .

2013 年高考模拟八理科数学参考答案
一、选择题 ACADA DCABD AB
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二、填空题 2 9 4 ? 1 15. ( ?R 3 )' ? 4?R 2 ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 16. 13. 14. 2 4 3 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 解法一: (I) 依题意, 有 A ? 2 3 , ? 3, 又T ?
?? ?

6?

?
6

。? y ? 2 3 sin

?
6

T 4

2?

?



x 2? ? 3 ? M (4, 3) 3



x ? 4 时 , ? y ? 2 3 sin



P(8, 0) ? MP ? 42 ? 32 ? 5 ………………5 分 (II)在△MNP 中 ∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60°

由正弦定理得
? NP ?

MP NP MN ? ? sin1200 sin ? sin(600 ? ? )

10 3 10 3 sin(600 ? ? ) sin ? , ? MN ? 3 3
? 10 3 sin(? ? 600 ) …10 3


? 0°< ? <60°, ? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长



亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长…………12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ? NP ? cos ∠MNP= MP2 , 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ? NP ? 25 MN ? NP 2 故 ( MN ? NP) 2 ? 25 ? MN ? NP ? ( ) 2 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ?
3 4
10 3 3

,当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长

18. (本小题满分 12 分 ) (I)过点 E 作 EG⊥CF 交 CF 于 G,连结 DG,可得四边 形 BCGE 为矩形,又四边形 ABCD 为矩形,所以 AD 平行 且等于 EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形,故 AE∥DG,………………4 分 因为 AE ? 平面 DC F,DG ? 平面 DCF, 所以 AE∥平面 DCF。………………6 分 (II)过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H, 连结 AH,BH, 由平面 ABCD⊥平面 BEFC,AB⊥BC, 得 AB 平面 BEFC,从而 AHEF, 所以∠AHB 为二面角 A-EF-C 的平面角, 在 Rt△EFG 中,因为 EG=AD= 3, EF ? 2. , ∴∠GFE=60°,FG=1, 又因为∠GEF=90°,所以 CF=4,从而 BE=CG=3, 3 3 于是 BH=BE·sin ?BEH ? .……………………10 分 2 9 AB 在 Rt?AHB 中, AB ? , 则 tan∠AHB= ? 3, 2 BH 因为 0? ? ?AHB ? 180 ? ,
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因为所以∠AHB=60°,所以二面角 A-EF-C 的大小为 60°…………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)某考生要得 40 分,必须全部 8 题做对,其余 3 题中,有一道做对的概率为 有一道做对的概率为
1 , 2

1 1 1 1 P ? ? ? ? .………………4 分 2 3 4 24 (Ⅱ)依题意,该考生得分的范围为 ?25,30,35, 40?

1 1 , 有 一 道 做 对 的 概 率 为 , 所 以 得 40 分 的 概 率 为 3 4

1 2 3 1 得 25 分是指做对了 5 题,其余 3 题都做错了,所以概率为 P ? ? ? 1 ? 2 3 4 4 得 30 分是指做对 5 题,其余 3 题只做对 1 题,所以概率为 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 得 35 分是指做对 5 题,其余 3 题做对 2 题,所以概 P2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 率为 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 ,所以概率为 P4 ? P3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 40 分是指做对 8 题, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 24 所以得 30 分的可能性最大.……………………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得 X 的分布列为: 25 30 35 40 X 1 11 1 p 4 24 24 ………………10 分 1 11 1 1 730 5 所以 E? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? ? 40 ? ? ? 30 .…………………12 分 4 24 4 24 24 12 20.(本小题共 12 分) 解: (I)由△ OMF 是等腰直角 三角形,得 b=2, a ? 2 2 , x2 y2 故椭圆方程为 ? ? 1 .………………4 分 8 4 (II)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 4km 2m 2 ? 8 y ? 2 y2 ? 2 , x x ? 则 x1 ? x2 ? ? . 由已知 1 ? ?8, 1 2 2 2 x1 x2 1 ? 2k 1 ? 2k kx ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 x ?x 所以 1 ? ? 8 ,即 2k ? ? m ? 2 ? 1 2 ? 8 .……8 分 x1 x2 x1 x2 mk 1 所以 k ? ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 . m?2 2 1 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 . 2 2 1 所以直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) . ………………10 分 2 若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 , y ? 2 ? y0 ? 2 设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) ,由已知 0 ? ? 8, x0 x0 1 1 1 得 x0 ? ? .此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点( ? , ? 2 ) . 2 2 2 21.(满分 12 分)
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解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ……2 分 ? 2ax ? x x 当 a≥0 时, f ?( x) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少;
a ?1 a ?1 a ?1 .当 x∈(0, ? )时, f ?( x) >0; x∈( ? , 2a 2a 2a a ?1 a ?1 ? ) 单调增加, 在 ( ? , +?) 单调减少………… 2a 2a

当-1<a<0 时, 令 f ?( x) =0,解得 x= ? + ? )时,f ?( x) <0, 故 f( x)在 (0,

6分 (Ⅱ)不妨设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2, 即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. ……………………9 分 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 a ?1 令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x) ? . ? 2ax +4= x x ?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 于是 g ?( x) ≤ = ≤0. x x 从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .………12 分

23.解(Ⅰ)由 ? cos(? ? ) ? 1得 ? ( cos? ?
3

?

1 2

3 sin ? ) ? 1 从而 C 的直角坐标方程为 2 ,

…………5 分
2 3 (Ⅱ)M 点 的直角坐标为(2,0) ,N 点的直角坐标为 (0, ) 3 3 2 3 ? 所 以 P 点 的 直 角 坐 标 为 (1. 3 ), 则P点的极坐标为( 3 , 6 ), 所 以 直 线 OP 的 极 坐 标 方 程 为
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, ? ? (??, ??) ………………10 分 6 24.证明:要证 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,

??

?

只需证 ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,
2

………………3 分

即只要证 | a ? c |? c ? ab ………………5 分? 两边都是非负数, ? 只要证(a ? c) 2 ? c 2 ? ab, 只要证a 2 ? 2ac ? ?ab
即只要证a(a ? b) ? 2ac,? a ? 0, 只需证a ? b ? 2c, 这就是已知条件,且以上各步都可逆,
? c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab .
[来源:学§科§网]

………………10 分

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