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模式识别论文


基于稀疏表示的人脸识别

摘 要: 图像的稀疏表示特别适合于图像的处理, 而求得图像稀疏表示的图像稀疏分解的计 算量十分巨大。利用基于 MP 方法实现的图像稀疏分解算法,采用遗传算法快速寻找过程中 每一步分解的最佳原子。 人脸识别问题是一个经典的模式识别问题。近年来,受到压缩感知理论的启发,基于稀 疏表示的人脸识别技术得到了广泛研究。基于稀疏表示的人脸识别是利用训练图片构造字 典, 再通过求解一个欠定方程来求得测试图片的最稀疏线性组合系数, 然后根据这些系数来 对图像进行识别分类。 关键词:图像处理;稀疏表示;稀疏分解 ;MP ;遗传算法

face recognition via sparse representation
Abstract: sparse representation of images is very suitable for image processing , but the computational burden in image sparse decomposition process is huge . A new fast algorithm was presented based on Matching Pursuit (MP) image sparse decomposition . At first Genetic Algorithms (GA) was applied to effectively search in the dictionary of atoms for the best atom at each step of MP . Face recognition problem is a classic problem of pattern recognition. In recent years, inspired by the theory of perception is compressed, sparse representation-based face recognition technology has been widely studied. Face recognition based on sparse representation is to take advantage of the training images constructed dictionary owed by solving a the most sparse linear combination coefficients given equation to obtain the test images, then these coefficients to identify image classification. Key words : image processing ; sparse representation ; sparse decomposition ; Matching Pursuit ; Genetic Algorithms 诸如对人脸表情的识别、 光照补偿与光照模 型的建立、年龄变化的处理、多种检测数据 的融合等方面还缺乏着实有效的方法。 人脸识别一般包括三个步骤:人脸检 测、人脸特征提取、人脸识别与验证。也有 人对此 八十年代末。 当时采用主要的技术手段是基 于人脸集合结构特征的方法, 人脸识别只是 作为一个一般性的模式识别问题被研究。 代 表人物有布莱索 (Bledsoe)、戈登斯泰 因 (Goldstein)、哈蒙(Harmon)以及金出武雄 (KanadeTakeo)等。当时几乎所有的识别过 程都依赖于人为操作, 并没有投入到实际应

0 引言
目前人脸识别技术发展较快, 特别是基 于正面静态人脸检测与识别、 人脸特征的提 取、 基于多姿态的人脸识别等方面已取得了 大量的研究成果。 但是, 在较复杂的环境下, 进行了扩展,在以上三个步骤的基础 上,增加了前期校正与规范化、以及后期分 类与管理这两个步骤。 人脸识别的研究始于 20 世纪 60 年代末 l2]。经历了 40 多年的发展。大致可分为三 个阶段: 第一阶段是初级阶段, 从六十年代末到

用中,非常重要的成果不是很多,也基本没 有获得实际应用。 十年代。这期间除了工程技术人员外,也吸 引了神经科学家、 心理学家来从事这一领域 的研究。 前者主要是通过对人脑的感知机理 去探索自动人脸识别的可能性, 虽然这一阶 段得到的一些理论有一定缺陷和偏面性, 但 对从事算法和系统设计与实现的工程技术 人员却有重要的理论指导意义。 第三阶段是快速发展阶段, 从上世纪九 十年代到现在。计算机视觉、模式识别技术 和计算机图像处理技术的快速发展, 带动了 人脸识别的快速发展。 各国政府也大力资助 人脸识别的研究,因此取得了丰硕的成果。 其中 Eigenfaee 和 Fisherface 就是这一时 期最具有代表性、最显著的研究成果,这两 种人脸识别算法现已成为人脸识别的基准 算法和工业标准。

第二阶段是探索阶段, 从七十年代到八 等。其中,匹配追踪类方法为其近似求解提 供了有力工具, 在稳定性和运行速度方面具 有一定的优势。 目前常用的匹配追踪类算法 包括: 正交匹配追踪 (orthogonal matching pursuit,OMP)算法 正交匹配追踪算法 算法
[ 7 ?8 ] [ 4 ?5]

,基于树型搜索的

[6]

, 正则化正交匹配追踪
[9]

,压缩采样匹配追踪算法

等。

1.1 正交匹配追踪思想 [10?11] :
本质上是来自于 K “稀疏” 就是从过完 , 备字典的 N 个原子中寻找 K 个关键分量, 这 K 个关键分量系数的绝对值应该比其它 N-K 个分量大得多。 算法在每一次的迭代过 程中, 从过完备原子库里选择与信号最匹配 的原子来进行稀疏逼近并求出余量, 然后不 断迭代选出与信号余量最为匹配的原子。 为 了减少迭代次数, 算法通过递归对己选择原 子集合进行正交化以保证迭代的最优性。

1 稀疏表示的数学形式
稀疏表示的人脸识别问题表示成数学 形式为:Y = A X ,其中 Y 是 m 维自然信 号,A 是预定义的基(又称字典),X 是自然 信号在预定义基下的 n 维稀疏表示。 在已知 原始信号的基础上, 求解其在预定义基下的 稀疏表示,是一个稀疏编码问题,有以下两 种求解方式
【1-3】

2 稀疏表示的基本思想概述
最近,在统计信号处理领域,关于基础 码元或信号原子过完备字典稀疏线性表示 的计算算法问题有巨大的兴趣。 其中心主要 围绕着优化表示何时能够足够稀疏, 尽管在 普通情况下这个问题非常难, 但凸优化问题 能够有效地来计算它。其导致的优化问题, 类似于统计学中的 Lasso,penalizes 人范 数的系数, 而不是直接 penalizes 系数中非 零元素的个数(也就是 10 范数)。 这些工作最初的目的并不是用于推论 或分类,而是用于描述或者压缩信号,打破 香农一奈奎斯特采样频率的限制, 采用更低 的频率进行采样。因此,算法的效果就依据 表示的稀疏度和原始信号的保真度来衡量。 此外, 字典中的个别基础元素并不具备特别 的语义—创门只是从标准基中挑选出来的 (比如,傅里叶,小波,Gabor),甚至是由 随机矩阵生成的。然而,最稀疏的表示具有



稀疏正规化约束下的稀疏编码:

? X ? argmin|| Y - AX || 2 2 s.t.|| X || 0 ? K
误 差 约 束 下 的 稀 疏 编 码 :

? X ? argmin|| X || 0 s.t.|| Y - AX || 2 2 ? ?
? 式中: X 是原始信号 Y 在预定义基下
的稀疏表示系数; ? 是误差容限;K 是稀疏 阈值;|| ? || 0 表示 l 0 范数,即列数向量中非 0 元素的个数。 稀疏编码与信号的压缩感知重构具有 相同的数学形式, 其主要的求解算法包括最 小 l 0 范数法、贪婪迭代匹配追踪系列算法

自然的判别性:在所有基向量的子集中,它 会选择最能紧密表示输入信号的子集, 拒绝 其他不紧密表示的子集。在本文中,利用稀 疏表示的天然判别性来进行分类。 用超完备 字典来描述测试样本, 而不是上面提到的普 通字典。 过完备字典的基本元素就是训练集 本身。如果每一类都有足够的训练样本,那 么就有可能用相同类别的训练样本的线性 组合来表示测试样本。 这个表示是自然稀疏 的,因为只关联所有训练集的一小部分样 本。在一些感兴趣的问题中,可以证明,依 据这个字典得到的是测试样本最稀疏的线 性表示, 并且通过最小八范数可以被很好的 重构。因此,寻找最稀疏的表示自然可以区 别训练集中的不同类别。 稀疏表示对拒绝没 有出现在任何训练集中任何一个类别的无 效测试样本提供了一个简单却惊人有效的 方法:这些无效样本的稀疏表示将会关联字 典中的很多原子,并且跨越好几个类别。将 稀疏性用于分类不同于传统的分类方法。 不 是用稀疏性来辨认一个相关的模型或者相 关的特征用于后续分类所有的测试样本, 而 是直接将每一个测试样本进行稀疏表示来 分类, 并且自适应的选择那些最能紧密表示 测试样本的训练样本。

如果让 ? 表示由列向量 ?i 组成的 nxn 的矩 阵, 表示由 ci 组成的长度为 n 的向量, c 则 可以更加简洁的描述式(3.1)中的关系:

x ? ?c
有一种很重要的特殊的基就是正交基, 正交 基是满足如下情况的基:一组向量的集合

{?i}n i ? 1 ,且:

? ,? ? ?1,,ii? jj 0 ?
i j

正交基的优点是其系数 c 的计算简单:

ci ? x,?i
或者表示成:

c ? ?T x
容易证明,所谓矩阵 ? 的列正交性是指

? T ? ? I ,其中 I 表示 nxn 的单位矩阵。

3.2 字典构造
压缩感知最开始使用的绝大部分是完 备的标准正交基, 因为完备的标准正交基的 展开更为简单,而且表示是唯一的,但是却 不够稀疏,用于分类对精确度有很大影响。 而且完备的标准正交基多是随机矩阵, 没有 任何的语义,也不能包含任何的分类信息。 因此,本文采用超完备基,也就是字典来进 行稀疏表示。 目标识别中的一个基本问题就 是使用已经标记好的 k 类训练样本来正确的 判别新的测试样本的所属类别。 将第 i 类的 ni 个 样 本 按 列 组 成 矩 阵 Ai ,

3 字典的构造 3.1 字典概念
如果一个集合 {?i}
n

n

i ? 1

中的向量能够张

成一个 R 的空间,并且向量之间是线性独 立的,就称这个集合为一个基。这说明,空 间中的任意一个向量都可以唯一的表示成 基向量的线性组合。更明确的来说,对于任 意的
n

Ai ? ?vi ,1, vi , 2,?, vi , ni ?? Rm?ni 。在人脸识别
中,将一个 w ? h 的灰度图像按列拉伸成一 个列向量 v ? R (m=wxh), Ai 的列就是第 i
m

x ? Rn , 则 存 在 ( 唯 一 的 ) 稀 疏
类的训练人脸图像。假设训练集 D ? R
m? n



{ci}i ? 1 .,满足:
x ? ? ci?i
i ?1 n

m 表示特征数,n 表示样本总数。则第 i 类 的 ni 个 训 练 样 本 可 以 表 示 为: Di ? ?di1, di 2,?, dini ?? R
m?ni

。假设样本

总共有 k 类,则字典就可以表示为:

? ?d 11, ? , d 1n1,?, dk1,?, dknk ?? R m?n
对于整个训练集, 测试样本 y 可以表示为整 个训练样本的线性组合:

Di ? ?D1, D2,?, DK ?

Ai ? ?A1, A2,?, AK ? ? ?v1,1, v1, 2,?, vk , nk ?
此时测试样本 y 可以表示为整个训练集的线 性组合:

y ? Ax0 ? Rm
其 中
T

y ? Dx0 ? Rm
其 中 ,

x0 ? ?0,?,0,?i1,?i 2,?,?i ,0,?,0? ? Rn
是系数向量, 0 的非零项应该与训练集中第 x i 类对应。 向量 x 0 标识了测试样本 y 的身份, 因此 问题就转化为求解线性方程 y=Ax。 尽管使用 整个训练集来求解 x 与传统的最近邻分类器 困 (Nearest Neighbor,NN)或最近子空间 分类器 (Nearest Subspace,NS),一次只 计算一个或一类样本的方法相背离, 但无论 从理论上还是实验结果上都表明这种全局 的描述具有更好的分类效果。 如果 m>n, x 0 有唯一解。但是在人脸识 别应用中, 式子通常是欠定的, 也就是说 x 0 的解不唯一。通常选择最小 L2 范数来解决 这个问题:

x0 ? ?0,?,0,?i1,?i 2,?,?ini ,0,?,0?? Rn 是
系数向量, x 0 的非零项应该与第 i 类对应。 因此, 向量 x 0 就包含了测试样本 y 的类别信 息,分类问题转化为求解稀疏表示。

3.3 基于最小 L 的稀疏表示人脸
1

识别算法 3.3.1 测试样本表达
在统计学和鉴别领域, 人们提出了许多 模型来研究 AI 的结构来解决识别问题。一 个简单而有效的建模方法就是一个类别中 的样本都是在同一个线性子空间中的。 子空 间模型能够很灵活的获取真实数据集中的 各种变化, 因为不同的光线条件及表情下的 人脸图像处于一个子空间中, 这个子空间被 称为人脸子空间,因此,子空间模型可以应 用于人脸识别中。 本文提出的算法对训练集 唯一的先验知识就是, 假设训练集中每一类 的训练图像都属于同一个子空间中。 如果第 i 类的人脸有足够多的训练样本, 则该类的任一 Ai ? ?vi ,1, vi , 2,?, vi , ni ?? Rm?ni , 测试样本 y ? R 都将近似的位于由该类训
m

? ?l ? : x
2

2

? arg min || x || 2 subject to Ax ? y

练样本张成的线性子空间中:

y ? ai ,1vi ,1 ? ai , 2vi , 2 ? ? ? ai , nivi , ni
其中 ai , j ? R, j ? 1,2,?, ni 为组合系数。 由于最初无法知道测试样本所属的类 别,因此,针对整个训练集重新定义了一个 矩阵 A,它可以看成是训练集中 k 个类别所 有的 n 的样本的串联:

尽管这个优化问题能够通过求矩阵 A 的伪逆 ? 来求解, 但是所得的 x 2 却没有包含能够识别 测试样本 y 的足够信息。如下图所示,最小 L2 范数的解是密集的:最小 L2 范数的解包 含了非常多的非零元素, 并且这些非零元素 几乎存在于训练集的每一类中。 为了解决这 个问题,利用如下这个简单的观察:只需使 用训练集中相同类别的样本就足够描述一 个有效的测试样本 y。只要样本类别 k 足够 大,这个描述就是自然稀疏的。例如,如果 k=20, x 0 中只有 5%的系数是非零的。 0 越 则 x 稀疏, 就容易精确的对测试样本 y 进行识别。 这样问题就转化成了如下的描述:

? ?l ? : x
0

0

? arg min || x || 0 subject to Ax ? y

其中 || x || 0 代表向量中非零元素的个数。事 实上,若 A 中的列都在一般的位置上,则当

Y=Ax 的解 x 中的非零项小于 m 2 的时候,x

? 就是唯一最稀疏的解: x 0 ? x 。

3.3.2 稀疏求解分类
当解足够稀疏的时候,最小 L 0 的解就等价 于最小 L1 的解。 这个问题能够通过标准线性 规划方法在多项式时间内求解:

一邻近。 当且仅当 p 是 t-邻近时, 最小 L1 能 够求解所有非零项个数小于等于 t+1 的 x 0 。 其实, 这个条件很普适, 甚至由随机矩阵(如 高斯,部分傅里叶和均匀分布)给定的多面 体 C 都是高度近邻的, 都能够通过最小 L1 来 求解出稀疏的 x 0 。

3.3.3 算法描述
假定测试样本 y 来自第 i 类训练样本, ? 理想情况 通过求得测试样本的稀疏表示 x 1 。 ? 下,x 1 中的非零项系数应该对应于矩阵 A 中 的第 i 类, 则测试样本 y 就被判定为第 i 类。 ? 但是噪声或误差模型会导致 x 1 含有数值比 较小的非零项,对应着多个类,给判别带来 干扰。为了解决这个问题,可以将测试样本 ? y 判定为 x 1 中悉数最大值对应的类别。但是 这个方法并没有充分利用图像子空间的结 构。 更好的办法是,对于每一类 i,定义一 个特征函数: ?t : R ? R 用于选择第 i 类
n n

? ?l ? : x
1

1

? arg min || x || 1 subject to Ax ? y

下图给出了最小 L1 范数能够获得自购稀疏 解的几何描述:

单位 L1 一球 C 被映射到由所有满足条 件的 y 所组成的多面体 AC 中,其中 y 满足 等式 y=Ax,且 x 的 L1 范数小于等于 1。C 和 多面体 AC 之间的几何关系就是尺度不变。 也就是说 C 的图像在乘以 A 之后依然有相同 的尺度。 几何上来说, 找到上式的最小 L1 范 数的解就等价于扩大 L1 球 AC,直到多面体

对 应 的 系 数 。 对 于 x?R , 新 向 量
n

? ?x?? Rn 的非零项由 x 中对应于第 i 类的
t

系数组成。之后,利用第 i 类的系数,就能

? AC 第一次碰到 y。 而此时 a 的值就是 || x1 || 1 。
假设对于一些稀疏的 x 0 有 y ? Ax0 。 从

? ? 近似计算测试样本 y: yi ? A?i ?xi ? 。
最后利用 y 和 y i 之间的残差的最小值来对 测试样本 y 进行分类:

?

? 上图的几何关系中可知: 因为 x 1 是通过同时 扩大 C 和 AC,直到 AC 上的一个点碰到了 y ? 而找到的,那么说明最小 L1 , x 1 必定在 C ? 的边界上产生了一个点 A x 1 。因此当且仅当
点 A?x0 || x0 || 1? 位于多面体 C 的边界上时,

? mini ri? y ? ?|| y ? A?i?x1? || 2
综上所述, 对基于稀疏表示的人脸识别分类 算法流程如下: ( 1 ) 给 定 训 练 样 本 矩 阵: A ? ?A1, A2,?, AK ?? R 样本,给定测试样本
m?n

? 才有交 x1 ? x 0 。总结来说,最小 L1 的求解
就是判别点 y || y || 1 位于多面体 AC 的哪个 平面上。 测试样本 y 就可以用系数 x 0 来表示 成该平面上顶点的线性组合。 通常, 如果 A 将 C 所有 t 维的面都映射 到 AC 的面上, 则多面体 C 就被称为(中心)t

,k 类共 n 个

y ? R m ,可选的容错项 ? ? 0 。
(2)对矩阵 A 的每一列进行归一化,即

|| vij ||? 1, i ? 1,2,?, k ,j 为各类样本数。

(3)求解最小 L1 范数:

? x1 ? arg min || x || 1 subject to Ax ? y
或者求解:

? x1 ? arg min || x || 1 subject to|| Ax ? y || 2 ? ?
(4)计算残差:

? ri ? y ? ?|| y ? A?i ?x1? || 2

i ? 1,2,?, k

(5)对 测 试 样 本 y 进 行 分 类 :

identity( y) ? arg min iri ( y)

4

结语

人脸识别技术涉及到图像处理、 模式识 别、计算机视觉等领域的理论,又由于其重 要的应用价值, 使得人脸识别研究一直是多 年来的热点。 传统的人脸识别方法通常需要 经过图像的预处理与复杂的特征提取, 之后 再选用较好的分类器, 例如支持向量机进行 分类。这种方法下,特征的选择与正确计算 就成为了识别率高低的关键。 (l)对压缩感知、 稀疏表示理论进行了研究, 表明了最稀疏的表示具有自然的判别性, 它 会选择最能紧密表示输入信号的子集, 拒绝 其他不紧密表示的子集。 因此使用稀疏表示 进行分类是可行的。 由于稀疏表示是利用观 测值中最有用的信息进行稀疏求解, 因此稀 疏表示对遮挡和噪声都有一定的鲁棒性。 (2)将稀疏表示应用于人脸识别。已知训练 集中同一类的训练样本可以张成一个图像 子空间,若测试样本属于该类别,则测试样 本也必然属于这个图像子空间。 利用这一点 使用训练集图像作为超完备字典, 将测试样 本描述为训练集的线性组合,进行稀疏求 解, 则对测试样本最紧致的表示必然是训练 集中相同类别的样本, 从而稀疏系数就有良 好的判别效果。 再结合特征提取对人脸数据 进行降维。 实验表明稀疏分类识别效果相对 于传统方法有较高的识别率。 (3)对稀疏表示人脸识别算法中的有效性判 别进行研究, 不同于传统方法将残差同时用

于判别有效性和识别,利用稀疏系数的特 点,有效样本的稀疏系数中,绝大多数非零 项都应该集中在样本类别在训练集中对应 的位置,而无效的样本,稀疏表示找不到最 紧致的表示,因此非零项遍布在多个类别 中, 因此使用稀疏系数的密集程度可以对有 效性进行判别。 (4)对人脸识别中存在遮挡与噪声的情况进 行研究, 遮挡或噪声影响的都是整个人脸图 像中一小部分的像素, 因此仍然可以通过剩 下的像素进行识别。 将有遮挡或噪声的人脸 图像看作是完整的人脸图像与噪声或遮挡 误差的和, 因此在稀疏表示模型中加入误差 向量,稀疏系数对应的分为两个部分,一部 分是原图像的系数, 另一部分是误差的稀疏 表示, 利用原图像的稀疏系数就可以在遮挡 或噪声情况下进行人脸识别。 (5)对测试样本未配准的识别情况进行研 究。稀疏表示的识别方法有一个重要前提, 就是测试样本与训练集图像以配准, 在未配 准的情况下, 稀疏表示无法求得正确的稀疏 解。通过引入图像变换参数,对原图像进行 逐步的迭代, 迭代过程中同时进行配准与识 别,更好的配准效果将带来更高的识别效 果。 最后同时得到识别结果与测试样本相对 训练集的变换参数。 (6)稀疏表示模型多使用最小八范数作为稀 疏求解的模型, 因为最小八范数相对来说求 解精度较高, 但是由于最小八范数本身定义 的局限,依然会产生精度较低的情况,本文 提出使用向量总变差模型替代最小人范数 进行稀疏求解。 利用总变差模型对细节的描 绘能力,得到更精确的稀疏表示,从而得到 更高的识别率。 基于稀疏表示的人脸识别方法是稀疏 表示在图像处理领域的新的应用, 并且从理 论的角度上来说应该有很好的发展前景。 稀 疏表示的人脸识别算法即使在没有特征提 取的前提下也能获得较高的识别率, 这是一 般方法所没有的优势, 并且在遮挡和噪声情 况下有出色表现。进一步的工作如下: (l)特征提取方面,虽然稀疏表示的人脸识 别方法不依赖于特征提取, 但是特征提取对 降低运算的代价,提高识别效率很重要,这

对实际应用来说是不可忽视的问题。 因此什 么特征与稀疏表示结合会有更好的效果, 这 一点值得研究。 (2)鲁棒性方面,本文对有效性,遮挡与噪 声,配准等鲁棒性进行了研究,但是对于人 脸的姿态及表情的鲁棒性还不够, 这也是稀 疏表示用于分类理论本身的一个局限, 怎样 突破这个局限是很值得研究的。 (3)稀疏求解方面,虽然最小人范数已经可 以获得较好的精度, 作者也在文中提出了向 量总变差模型进一步提高分类精度, 但是这 两个方法在求解速度上都没有太大突破, 研 究一种快速的, 高精度的稀疏求解方法很有 必要,并且最好可以与硬件实现结合起来。

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