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2012年数学第一轮复习精品试题第08讲 一次函数 二次函数 幂函数


第八讲 一次函数?二次函数?幂函数
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。 ) 坐标系中的大致图象是( ) 1.一次函数 y ? ax ? c ? a ? 0? 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 在同一个

解析:函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? a>0? 的对称轴是直线 x ?<

br />2

1 , f ? 0? ? a , 2 ∵ a>0 , ∴ f ? 0? ? a>0 , 由抛物线的对称性知 f ?1? ? f ? 0?> 0,
∵抛物线开口向上,∴由图象可知:当 x>1 时恒有 f ? x ?>0 , ∵ f ? m?<0 ,∴ 0<m<1 ,∴ m ? 1>1 ,∴ f ? m ? 1?>0 。

答案:A。 评析: 数形结合思想的实质是通过对图象的观察分析并进行简单运算推理 来寻找解题思路,得出结论。 A. B. C. D. 解析:当 a>0 时,一次函数单调递增,二次函数开口向上,两者都经过 点 ? 0, c ? ;当 a<0 时,一次函数单调递减,二次函数开口向下, 两者都经过点 ? 0, c ? ,故排除 B?C?D。 2.若函数 y ? ? x ? 1?? x ? a ? 是偶函数,则 a 的值为( A. ?2 B. ?1 C. 1
2
q q ? N ?且互质 ? 的图象如图所示,则( 5.已知幂函数 y ? x ? p 、 p

)

A. p 、 q 均为奇数,

p <0 q

答案:A。

) D. 2

解析:∵ y ? ? x ?1?? x ? a ? ? x ? ?1? a ? x ? a 为偶函数, ∴ 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 。 答案:C。
2 2

p <0 q p C. p 为奇数, q 为偶数, >0 q p D. p 为偶数, q 为奇数, <0 q
B. p 为奇数, q 为偶数, 解析:∵函数 y ? x 的图象是双曲线型,∴
p q

3.若 f ? x ? ? x ? 2mx ? m ? 2m 在 ? ??, 3? 上单调递减,则实数 m 的取值 范围是( A. ? ??, ?3? ) B. ? ?3, ?? ? C. ? ??, 3? D. ?3, ???

p <0 。 q

∵函数的图象关于 y 轴对称,∴函数 f ? x ? 是偶函数, ∴ p 为偶数, q 为奇数。 答案:D。 评析:根据函数的图象去研究函数的性质时一定要抓住函数图象的特征。 幂函数的图象特征与它的幂指数的取值密切相关, 它们之间的关系 是解决本题的关键所在。 6.给定一组函数解析式和一组函数图象,则与图象对应的解析式的号码顺序 正确的是( )

解析:∵ f ? x ? 开口向上,对称轴为直线 x ? ?m 且在 ? ??, 3? 上单调递减 ∴结合图象得 ? m≥3 ,故 m≤ ? 3 。 答案:A。
2

4.设 m ? R ,若 f ? x ? ? x ? x ? a ? a>0? 且 f ? m?<0 , 则 f ? m ? 1? 的值( A.大于 0 B.小于 0 ) C.等于 0 D.不确定
1

①y ? x ; ②y ? x ; ③y ? x ; ④y ? x ; ⑤y ? x ; ⑥y ? x ; ⑦y ? x 。

3 4

2 3

?

3 2

?

2 3

3 2

?

1 3

1 3

?a 2 ? 1 ? 0 2 ? ? ?a >1 ∴? ? ? 1<a<9 ? 2 2 2 a ? 1 a ? 9 ? 0 a ? 1 ? 4 a ? 1 ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?1 ?
A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤ C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤① 解析:∵前三个图象在第一象限内函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 ∴幂指数小于零,其中第一个图象关于原点对称,第二个图象关于 y 轴对称,而第三个函数的定义域为 x>0 , ∴第一个图象对应函数 y ? x
? 1 3

答案: ?1, 9? 。

综上所述,实数 a 的取值范围是 ?1, 9? 。

2 8.已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? b ? x ? R ? ,则下列命题正确的序号是



,第三个图象对应函数 y ? x

?

3 2

① f ? x ? 必是偶函数; ②若 f ? 0? ? f ? 2? ,则 f ? x ? 的图象一定关于直线 x ? 1 对称; ③若 a ? b≤0 ,则 f ? x ? 在区间 ? a, ??? 上是增函数;
2
2 ④ f ? x ? 有最大值 a ? b 。



∵后四个图象都通过 ? 0, 0? 和 ?1, 1? 两点,∴幂指数应大于 0, ∵第四、五个图象分别关于 y 轴、原点对称且定义域都是 R ∴第四个图象对应函数 y ? x ,第五个图象对应函数 y ? x ∵由最后两个图象知:自变量 x 的取值范围是 x≥0 ,并且: 第六个图象呈上凸状,幂指数应小于 1, 第七个图象呈下凹状,幂指数应大于 1, ∴第六个图象对应函数 y ? x ,第七个图象对应函数 y ? x 。 答案:C。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。) 7.若不等式 a ? 1 x ? ? a ? 1? x ?
2 2

2 3

1 3

解析:∵ f ? x ? ? x ? 2ax ? b ? ? x ? a ? ? b ? a ,
2 2 2
2 2 ∴当 b ? a ≥0 时,f ? x ? ? ? x ? a ? ? b ? a 在 ? a, ??? 上是增函数 2

3 4

3 2

∴①、②、④均不正确。 答案:③。 9.若 x>0 ,则 ? 2 x 4 ? 3 2 ?? 2 x 4 ? 3 2 ? ? 4 x 2 ?

? ?

1

3

?? ??

1

3

? ?

1



?

?

2 >0 对于任意的 x ? R 永远成立, a ?1


解析:当 x>0 时,原式 ? 4 x ? 3 ? 4 x ? ?27 。 答案: ?27 。
3

1 2

1 2

则实数 a 的取值范围是

解析:设 f ? x ? ? a ? 1 x ? ? a ? 1? x ?
2 2

?

?

2 ,∵ a ? 1 ? 0 ,∴ a ? ?1 。 a ?1

10.函数 f ? x ? ? x
2

2 ? 1 ,符合题意; 1?1 ②当 a ? ?1 时,函数 f ? x ? 是二次函数。
①当 a ? 1 时, f ? x ? ? ∵由题意可知:函数 f ? x ? 的图象开口向上且与 x 轴没有交点
2

,单调递增区间是 ? m ? N ? 的定义域是 2 解析:∵ m ? m ? m ?m ? 1? 且 m ? N ,∴ m ? m 一定是偶数, ∵当 f ? x ? 有意义时必有 x≥0 ,∴函数的定义域为 ?0, ???
m2 ? m

1



∵当 f ? x ? 有意义时必有 答案: ?0, ??? ?0, ??? 。

1 >0 , ∴函数的递增区间是 ?0, ??? m ?m
2

三、解答题(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分。 )

2 7 11.已知函数 f ? x ? ? x ? 且 f ? 4 ? ? 。 x 2
m

⑴求 m 的值;

⑵判定 f ? x ? 的奇偶性; ⑶判断 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的单调性并给予证明。 解:⑴∵ f ? 4 ? ?

1 1 1 1 ? ? 1 ? 3 ? x13 ? x1 3 x2 ? x2 3 1 ? 1 1 3 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? x1 ? x2 3 ? ?1 ? 1 1 ? 5 5 5? ?? x 3 x 3 ? 1 2 1 1 1 ∵ 0<x1<x2 ,∴ x13 ? x2 3 ? 0 , 1 ? 1 1 ? 0 3 x13 x2

? ? ? ? ?

7 2 7 2 m ,∴ 4 ? ? ,∴ m ? 1 ,∴ f ? x ? ? x ? 。 2 4 2 x 2 ? 2? ? ? ? x ? ? ? ? f ? x? ⑵∵ f ? x ? 的定义域为 ? x x ? 0? 且 f ? ? x ? ? ? x ? ?x ? x?
∴ f ? x ? 是奇函数。

∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ?<0 ,∴ f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是单调递增函数 ∵ f ? x ? 是奇函数,∴ f ? x ? 在 ? ??, 0? 上也是单调递增函数 ∴ f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??, 0?

??? ? 0, ⑵经过计算可得: f ? 4? ? 5 f ? 2? g ? 2? ? 0 , f ? 9? ? 5 f ?3? g ?3? ? 0 ,
2 由此猜测对所有非零实数 x 都成立的等式是 f x ? 5 f ? x ? g ? x ? ? 0 。

? ? 2? ? 2? 2 ? ⑶设 x1>x2>0 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? x1 x2 ? 2 ∵ x1>x2>0 ,∴ x1 ? x2>0 , 1 ? >0 ,∴ f ? x1 ?>f ? x2 ? , x1 x2
∴ f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是单调递增函数。
1 3 ? 1 3 1 3 ? 1 3

? ?
1

证明过程如下:

x3 ? x 3 x3 ? x f ? x2 ? ? 5 f ? x ? g ? x ? ? ?5 5 5

2

?

2

1

?

1 3

x3 ? x 3 x 3 ? x 3 x3 ? x 3 ? ? ?0 5 5 5

1

?

2

?

2

2

?

2

12.已知函数 f ? x ? ?

⑴证明 f ? x ? 是奇函数并求它的单调区间;

x ?x 5

和函数 g ? x ? ?

x ?x 5



评析:本题既考查了幂函数的性质,又考查了归纳推理。函数是整个高中 数学的核心和主线,可以和许多问题联系在一起。幂函数作为一种 常见的函数模型,往往也是许多知识的交汇点,所以我们应该重视 对幂函数的研究。 13.已知集合 A ? 若A 解:∵ A

y? y ? x ?? x,

2

? mx ? 2 和集合 B ? ? x, y ? y ? x ? 1,≤ 0 x≤2 ,

?

?

?

⑵分别计算 f ? 4? ? 5 f ? 2? g ? 2? 和 f ? 9? ? 5 f ? 3? g ?3? 的值, 请由此概括 一个涉及函数 f ? x ?、 g ? x ? 且对所有非零实数 x 都成立的等式并证明。 解:⑴∵ f ? x ? 的定义域是 x x ? 0 且:

B ? ? ,求实数 m 的取值范围。 B ? ? ,∴抛物线 y ? x2 ? mx ? 2 与线段 y ? x ?1? 0≤x≤2? 有交点

?

?

∴方程组 ?
? 1 3

? y ? x 2 ? mx ? 2 ①

? ??x? x ?x ?? ? ? f ? x? 5 5 ∴ f ? x ? 是奇函数,设 0<x1<x2 ,则: f ??x? ?
?

??x?

1 3

1 3

1 3

② ? y ? x ?1 ∵ A B ? ? ,∴方程③在 ? 0, 2? 上有实数根
设 f ? x ? ? x ? ? m ?1? x ? 1,
2

有解,把①代入②得 x ? ? m ?1? x ?1 ? 0 ③
2

3

?? ? ? m ? 1?2 ? 4≥0 ? m ?1 ? ∵ f ? 0? ? 1 ?2 >0 ,∴由函数 f ? x ? 的图象知 f ? 2?≤0 或 ?0 ? ? 2 ? ? f ? 2? ? 0 ? ? ? m≥3或m≤ ? 1 3 ? 3 3 ∴ m≤ ? 或 ? ?3<m<1 ,即 m≤ ? 或 ? <m≤ ? 1 2 ? 2 2 3 ? m> ? ? 2 综上所述, m≤ ? 1 为所求,∴实数 m 的取值范围是 ? ??, ? 1? 。
评析:本题是数形结合、函数方程、化归等数学思想的综合运用。涉及到 二次函数问题时,抓住函数的图象是关键。

4


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