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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第七章不等式7.1不等关系与不等式


第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式
考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握不等式的性质,会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大 小.

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?________;a-b=0?________;a-b<0?________. 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b?________ ? 传递性 a>b,b>c?________ ? 可加性 a>b?________ ?

a?b
可乘性
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c?0 ?a ? b ?________ ? ?c ? 0
?a ? b ?________ ? ?c ? d ?a ? b ? 0 ?________ ? ?c ? d ? 0
a>b>0?________ (n∈N,n≥2) a>b>0?________ (n∈N,n≥2)

?________

c 的符号

同向可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性

? ?

同正

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 1 1 ①a>b,ab>0? __________ ; a b 1 1 ②a<0<b? __________ ; a b a b ③a>b>0,0<c<d? __________ ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? ____ ______ __________ . b x a (2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 b+m b b-m b ①真分数的性质: __________ , __________ (b-m>0). a a+m a a-m a+m a a-m a ②假分数的性质: ______ ____ , __________ (b-m>0). b b+m b b-m 4.(1)若 a>0,则|x|<a?__________. (2)若 a>0,则|x|>a?__________. 1.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ).

1 1 A. < a b B.a2>b2 a b C. 2 > 2 c +1 c +1 D.a|c|>b|c| a>b?ac>bc? ? a b ??ac>bd? > ,其中错误之处的个数是( ). d c ? c>d?bc>bd? A.0 B.1 C.2 D.3 1 1 3.设 a>0,b>0,若 lg a 和 lg b 的等差中项是 0,则 + 的最小值是( ). a b A.1 B.2 C.4 D.2 2 2.下面的推理过程 a 4.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y ;②a+x>b+y;③ax>by;④x-b>y-a;⑤ y b > 这五个式子中,恒成立的不等式的序号是__________. x

一、用不等式(组)表示不等关系 【例 1】某蔬菜收购点租用车辆,将 100 t 新鲜辣椒运往某市销售,可租用的大卡车和 农用车分别为 10 辆和 20 辆,若每辆大卡车载重 8 t,运费 960 元,每辆农用车载重 2.5 t, 运费 360 元,总运费不超过 13 000 元,据此安排两种车型,应满足哪些不等关系,请列出 来. 方法提炼 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 大于,高于, 小于,低于, 大于等于,至 小于等于,至 语言 超过 少于 少,不低于 多,不超过 符号 > < ≥ ≤ 语言 2.注意变量的实际意义 体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数. 请做演练巩固提升 4 二、比较实数(或代数式)的大小 S3 S5 【例 2-1】已知在等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比较 与 的大 a3 a5 小. e e 【例 2-2】已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: > . a-c b-d 方法提炼 比较大小的方法 1.作差法 其一般步骤是:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、 因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式.当两个式子都为正数时,有时 也可以先平方再作差. 2.作商法 其一般步骤是:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与 1 的大小;(4)结论. 3.特例法 若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以用特殊值法探路. 1 1 4.注意:a>b? < 和 a>b?an>bn(n∈N,且 n>1)成立的条件. a b

请做演练巩固提升 2,5 错用不 等式性质求范围致误 【典例】 设 f(x)=ax2+bx, 若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 则 f(-2)的取值范围是________. ?1≤f?-1?≤2, ?1≤a-b≤2, ① ? ? 错解:由? 得? ? ? ② ?2≤f?1?≤4, ?2≤a+b≤4. 3 ①+②得 ≤a≤3, 2 1 ②-①得 ≤b≤1. 2 由此得 4≤f(-2)=4a-2b≤11. ∴f(-2)的取值范围是[4,11]. 正解:法一:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. ? ? ?m+n=4, ?m=3, 于是? 解得? ?n-m=-2, ?n=1. ? ? ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10. 即 5≤f(-2)≤10. ? ?f?-1?=a-b, 法二:由 ? ?f?1?=a+b, ?

?a=2[f?-1?+f?1?], 得? 1 ?b=2[f?1?-f?-1?].
∴f(-2)=4 a-2b =3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10. 答案:[5,10] 答题指导:利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严 格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取 值范围,要 特别注意.错因在于运用同向不等式相加这一性质时,不是等价变形,导致 f(-2)的取值范 围扩大.另外,本题也可用线性规划求解,题中 a、b 不是相互独立的,而是相互制约的, 故不可分割开来 .先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次 性”不等式关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径.

1

1 1.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的( ). a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.比较大小:aabb__________abba(a>0,b>0 且 a≠b).

a 3.已知 12<a<60,15<b<36,则 a-b, 的取值范围分别是__________,__________. b 4.已知一个三边分别为 15,19,23 个单位长度的三角形,若把它的三边分别缩短 x 个单 位长度且构成钝角三角形,试用不等式写出 x 满足的不等关系__________. 5.已知 a、b、c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.a>b a=b a<b 2. b<a a>c a+c>b+d ac>bc ac<bc a+c> b+d ac>bd>0 an>bn n a

n > b 3.(1)①< ②< ③> ④< < (2)①< > ②> < 4.(1)-a<x<a (2)x<-a 或 x>a 基础自测 1.C 解析:解法一:(特殊值法) 令 a=1,b=-2,c=0,代入 A,B,C, D 中,可知 A,B,D 均错.故选 C. 解法二:(直接法) a b ∵a>b,c2+1>0,∴ 2 > 2 .故选 C. c +1 c +1 a b 2.D 解析:①a>b ac>bc,②c>d bc>bd,③ac>bd > . d c 1 1 1 3.B 解析:lg a+lg b=lg ab=0,ab=1, + ≥2 =2. a b ab 当 且仅 当 a=b 时“=”成立. 4.②④ 解析:若 x>y,a>b,则-x<-y,∴a-y>b-x. 若 x>y,a>b,则-b>-a, ∴x-b>y-a, 若 x>y,a>b,则推不出 ax>by. a b 若 x>y,a>b,推不出 > . y x 综上,①③⑤错误,②④正确. 考点探究突破 【例 1】 解:设租用大卡车 x 辆,农用车 y 辆,

? ?24x+9y≤325, 则?0≤x≤10, 0≤y≤20, ? ?x,y∈N.

8x+2.5y≥100,

S3 S5 【例 2-1】 解:当 q=1 时, =3, =5, a3 a5 S3 S5 所以 < . a3 a5 当 q>0 且 q≠1 时, 3 5 S3 S5 a1(1-q ) a1(1-q ) - = 2 - 4 a3 a5 a1q (1-q) a1q (1-q) q2(1-q3)-(1-q5) = q4(1-q) -q-1 = <0, q4 S3 S5 所以有 < . a3 a5

S3 S5 综上可知 < . a3 a5 【例 2-2】 证明:∵c<d<0, ∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. 1 1 ∴ < . a-c b-d e e 又∵e<0,∴ > . a-c b-d 演练巩固提升 1.D 解析:∵0<ab<1,∴a,b 同号. 1 当 a,b 同正时,由 0<ab<1 易 得 b< ; a 1 当 a,b 同负时,由 0<ab<1 易得 b> . a 1 因此 0<ab<1 b< ; a 1 1 反过来,由 b< 得,b- <0, a a ? ? ?a>0, ?a<0, ab-1 即 <0,即? 或? a ? ? ?ab<1 ?ab>1. 1 因此 b< 0<ab<1. a 1 综上知“0<ab<1”是“b< ”的既不充分也不必要条件. a 2.> 解析:根据同底数幂的运算法则,采用作商法. a?a-b aabb - - =aa bbb a=? ?b? , abba 当 a>b>0 时, a 即 >1,a-b>0, b a?a-b a b b a 则? ?b? >1,于是 a b >a b ; a 当 b>a>0 时,0< <1,a-b<0, b a a b b a ?a-b 则? ?b? >1,于是 a b >a b . 综上,aabb>abba. 1 ? a 3.(-24,45) ? ?3,4? 解析:欲求 a-b 的取值范围,应先求-b 的取值范围;欲求b的 1 取值范围,应先求 的取值范围. b ∵15<b<36,∴-36<-b<-15. 又 12<a<60, ∴12-36<a-b<60-15. ∴-24<a-b<45. 1 1 1 12 a 60 又 < < ,∴ < < . 36 b 15 36 b 15 1 a ∴ < <4. 3 b

15-x>0, ? ? 4.?15-x+19-x>23-x, ? ?(23-x)2>(15-x)2+(19-x)2 5.解:方法一:(作差法) ∵a2+b2+c2-(ab+bc+ca) 1 = [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 2 当且仅当 a=b=c 时取等号, ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 方法二:(函数法) 记 t=a2+b2+c2-(ab+bc+ca) =a2-(b+c)a+b2+c2-bc, ∵Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc) =-3b2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤0, ∴t≥0 对 a∈R 恒成立, 即 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.


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