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选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学案例


选修 1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学案例
一、指导思想与理论依据
1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出: “强调本质,注意适度形式化。高 中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,让学生体会 蕴涵在其中的思想方法。” 在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中, 遵循学生的认识规律, 通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程,让学生逐步将认识由感性上升到理 性,把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学,努力揭示知识的发生、发展过程。 2. 建构主义理论——建构主义认为:知识不是通过教师讲授得到的,而是学习者在一 定的情境即社会文化背景下,借助其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助,充分利用各种学 习资源(包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从 Internet 上获取的各种教 学信息等等),通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过 人际间的协作活动而实现的意义建构过程,因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协 作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。

二、教学背景分析
1. 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支, 它沟通了数学内数与形、 代数与几何等最基本对象之 间的联系。 平面解析几何问题, 就是借助建立适当的坐标系, 科学合理地把几何问题代数化, 运用代数的方法来研究几何问题。 在必修 2 中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法, 并在平面直角坐标系中研 究了直线和圆这两个基本的几何图形。 在选修 1 中, 教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何 利用代数方法研究几何问题。 本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线, 因为对这几种曲 线研究的问题基本一致, 方法相同, 所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上, 通过求椭圆的标准方程,是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。 因此,“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 2. 学情分析 知识方面 (1) 在必修 2 第二章里学生已经学习了直线和圆的方程, 并初步熟悉了求曲线方程的一 般方法和步骤,具备主动探究椭圆知识的基础; (2) 根据日常生活中的经验, 学生对椭圆有了一定的认识, 但仍没有上升到成为 “概念” 的水平,将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战; (3)在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题; 自身特征方面 (1)我所教授的班级是文科班,他们普遍对数学有一定的畏难情绪,但是他们思维比较 活跃,对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望,对老师的讲授敢于质疑,有自己的想法和主 见,愿意自己去探索是什么和为什么,并且具备了初步的探索能力。

(2) 对数学概念的学习只是停留在表面, 对概念的形成过程不重视, 所以无法深刻理解; (3)对于较复杂的计算问题,往往不知如何动手或懒得动手,计算能力较弱。但他们同 时又乐于小组合作学习,学习气氛浓厚; 3. 教学方法及手段 新课程倡导学生自主学习, 要求教师成为学生学习的引导者、 组织者、 合作者和促进者, 使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用学案导学法,让学生动 手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,并以多媒体手段辅助教学,使学 生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式, 使学生真正成为学习的主人。 根据本节内容的特点, 教学过程中可充分发挥信息技术的作用, 用几何画板的动态作图 优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。

三、教学目标及重难点
1. 教学目标 知识与技能 (1)掌握椭圆的定义; (2)理解椭圆标准方程的推导过程,掌握椭圆标准方程的两种形式,会运用待定系数 法求椭圆的标准方程; 过程与方法 (1)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,逐步提高学生的观察、分析、归纳、 类比、概括能力; (2)通过椭圆标准方程的推导,进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法,并渗 透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观 在动手折纸得出椭圆的定义的学习过程中, 培养学生思维的严密性; 亲身经历椭圆标准 方程的获得过程,感受数学的对称、简洁、和谐美,同时养成扎实严谨的学习习惯,增强学 生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神。 2. 教学重难点 重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点:椭圆的标准方程的建立和推导

四、教学过程设计
教学环节 教师为主活动 学生为主活动 设计意图 通 过 折 纸游 戏 充 分 调 动 学生 的 学 习兴趣, 激发学生 的探究心理。 为引 出新知做铺垫。

情景引入

【折纸活动】 请拿出预先准备的圆形纸片 (圆心为 O, F 是圆内异于圆心的一点),将圆纸片翻折, 使翻折上去的圆弧通过 F 点,将折痕用笔画 动手实践,课前完 上颜色,继续上述过程,绕圆心一周,观察 成 所得到的图形。 动画演示折纸的过程。 学生展示成果 【提问】在我们的日常生活中,椭圆随处可 见。你能举出椭圆形的例子吗? 在肯定学生的回答后,老师加以补充。 比如: ①嫦娥二号绕月球运行的是椭圆形的轨道; 学生踊跃回答 ②斜着切起出来的四色卷是椭圆的; ③装饰品项链中间的饰物是椭圆形的; 由此可见,椭圆是我们生活中一种重要 的曲线。引出课题——椭圆及其标准方程。 让我们回到折纸活动中,看看得到的椭 圆究竟是怎样形成的。 我们不妨来分析其中 的一个折叠过程。 此时圆周上的点 A 与点 F 重合,连结 OA,交折痕 BC 于点 M,那么 点 M 的轨迹是什么?(动画演示) 【提问】 也就是说, 椭圆就是满足一定条件的点 M 的轨迹,那么点 M 满足什么条件呢? 如学生有困难,可按如下提示铺设认 知阶梯: 1. 2. 如何用数学语言表达点 A 与定点 F 重 合? 线段垂直平分线上的点有什么几何性 质? 3. 动点 M 与定点之间有什么关系? 【提问】 你能否给椭圆下个定义? 预设: 与两个定点的距离之和等于定长的点 的轨迹叫做椭圆 教师引导,学生补充“平面内”。 【提问】要成为椭圆的定义,必须保证它足 够严谨,经得起推敲。那么这个常数是任意 点 A 与定点 F2 关 于折痕轴对称,折 痕即对称轴是线 段 AF 的垂直平分 线 到线段两个端点 距离相等 与两个定点 O、F 的距离之和等于 半径 OA

通过举例和展示 生活中椭圆形的 图片, 让学生认识 到椭圆和日常生 活关系密切。

回答:就是刚才得 到的椭圆 学生以组为单位, 合作探究,教师巡 视指导

概念形成

通过分析动点 与定点的关系, 使 学 生 经 历椭 圆 概 念 的 生 成和 完 善 过程, 提高其归纳 概括能力, 加深对 椭圆本质的认识,

教学环节

教师为主活动 实数吗?有什么限制条件吗? 预设: 学生可能会遇到障碍, 此时教师提醒:

学生为主活动 预设: 点 在定圆 到

设计意图 培 养 思 维的 严 谨 性

概念形成

如何体现点

在圆的内部?

的内部即点 圆心

的距离小

【提问】继续深化问题:如果常数 常数 时,将是什么样的情形? 经概括总结后得到:【板书】 文字语言: 平面内与两个定点 之和等于定长(大于 做椭圆。这两个定点 点,两焦点的距离 数学语言:

, 于圆的半径,也就 是在定义中需要 加上“常数 ”的限制。

的距离

常数

,轨 ; ,轨

)的点的轨迹叫 迹是线段 叫做椭圆的焦 叫做椭圆的焦距。 常数 迹不存在;

1. 已知 概念深化 满足 ( )



是定点,

,动点 认真思考后回答

, 则点 M 的轨迹是

A.椭圆 B. 直线 C.圆 D.线段

2.已知 段 “

是两个定点,

,以线

为一边画三角形,试问满足条件 的周长为 20”的顶点 的轨迹是

什么样的图形?为什么?

学 生 初 步理 解 了 椭圆的概念, 接下 去还必须消化、 巩 固 。 怎 么消 化 巩 固?基于“双基” 和 学 生 的认 知 规 律, 这里设计了两 道 比 较 基础 的 题 目 (第 1 题是自编 题, 第 2 道选自课 本 2.1.1 练习 B 第 2 题)。理解数学 往 往 不 可能 一 次 完成, 通过这两道 题,学生来“做” 数学,在“做”的 过程中, 认识到对 椭圆定义的理解, 一 要 抓 住椭 圆 上

教学环节

教师为主活动

学生为主活动

设计意图 的 点 所 满足 的 条 件, 二要注意定义 中对“常数”的限 定, 从而进一步加 深 对 椭 圆概 念 的 理解。

教学环节

教师为主活动 我们已经知道, 在直角坐标平面上直线 和圆都有相应的方程, 从而就可以用代数的 方法来研究它们的几何性质、位置关系等。 那么如何求椭圆的方程呢? 【提问】求圆的方程的一般步骤是什么?

学生为主活动

设计意图

① 建系设点: 【提问】根据简单和优化的原则,如何建立 平面直角坐标系?

以两定点 方程推导 段



所在直线为 轴,线 轴,建立直角坐 . ,

的垂直平分线为

标系(如图).设

为椭圆上的任意一点,则 、 距离的和等于 ② 集合表示: 由椭圆定义得:动点 M 的集合为: . .又设 与 、 的

通过对必修 2 中 ① 建系设点 坐标法研究曲线 ② 集合表示 性质方法的复习, ③ 坐标化 让学生认识到本 ④ 化简 节课研究椭圆的 ⑤ 证明(一般省 一般方法和思路。 略) 在标准方程的推 导过程中, 问题的 回答 设问让学生认识 到在推导方程的 过程中进行等价 变形的重要性, 培 建立如图坐标系: 养 严 谨 的数 学 演 算习惯。 提高运算 能力, 养成不怕困 难的钻研精神; 感 受数学的简洁美、 对称美

小组交流,尝试化 简

③ 坐标化: 用含有动点坐标的方程表示: . ④ 化简: 预案:移项后两次平方法 观察方程的特点, 得出标准方程。

引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方 程的系数,学生容易发现 应图形中的特殊线段 ,则有 实际上对 ,不妨令其为 ,类比由

教学环节

教师为主活动

学生为主活动

设计意图

让 学 生 对椭 圆 的 两 种 标 准方 程 有 个清晰的认识, 体 会 问 题 的本 质 所 在, 只是位置的不 同 , 图 形是 一 样 的, 为后面的应用 做准备

教学环节

教师为主活动

学生为主活动

设计意图 本 题 是 根据 教 学 需要将课本的例 2 前置的一道题, 目 的 是 加 深学 生 对 椭 圆 的 焦点 位 置 与 标 准 方程 之 间 关系的理解, 明确 不 是 标 准方 程 的 要 先 将 方程 化 为 椭圆的标准方程, 确定出

, 再

求出 c。从而进一 步 认 清 椭圆 标 准 方程两种形式, 再 次 突 破 本节 课 的 重 点 — —椭 圆 标 准 方 程 的两 种 形 式。 例 1(1)(2)小 题 是 教 材上 的 例 题,设计目的:一 是 进 一 步理 解 椭 圆 的 焦 点位 置 与 椭 圆 标 准方 程 的 关系 (注意焦点在 轴还是在 轴

例 1 根据下列条件,求椭圆的标准方程。 (1) 两个焦点的坐标分别是(-3,0), (3,0),椭圆上一点 P 与两焦点的 学生思考后回答 距离的和等于 8; (2) 两个焦点的坐标分别是(0,-4), ( 0,4 ) , 并 且 椭 圆 经 过 点 ( (3) 初步应用 )

已知椭圆的焦距是 6,椭圆上的一 点到两焦点距离的和等于 10

上),掌握运用待 定 系 数 法求 解 椭 圆 标 准 方程 的 方 法; 二是加深学生 对 椭 圆 定义 的 理 解与运用, 学会运 用 椭 圆 定义 求 解 椭 圆 标 准方 程 。 (3) 小题是对 (1) (2)的变式题, 其 目 的 是对 学 生 进 行 分 类讨 论 数 学思想的渗透, 达

教学环节

教师为主活动

学生为主活动

设计意图 到拓展知识、 提高 能力的目的。

阅读课本 33 页内容。

阅读课本

椭 圆 的 生成 方 式 有多种,课本 33 页 给 出 了我 们 另 外 一 种 生成 的 方 式, 学生通过阅读 这部分内容, 再一 次 感 受 椭圆 的 形 成过程。 这 两 道 题考 查 的 知 识 点 和方 法 与 本 节 课 所讲 解 的 内容完全一致, 通 过 这 两 个小 题 对 学生进行检测, 一 方 面 可 以加 深 学 生 对 本 节课 的 理 解, 同时也能够及 时 反 馈 出学 生 对 本 节 课 知识 和 方 法的落实情况, 便 于及时调整。

1.

已知椭圆的焦点坐标为 ,且经过点 圆的标准方程。(课本

和 ,求椭 练习 A 第 1 学生独立完成

目标检测 2.

题(5)) 设 点, 焦点 是椭圆 是椭圆的焦点。 如果点 的距离为 4,那么点 上一 与

与焦点 练习 A 第

的距离是多少? (课本 2 题的改编题) 【课堂总结】 1. 知识层面 2. 方法层面 3. 学习反思

归纳小结

学生小结归纳,不 足的地方老师补 充说明。

让学生自己小结, 不仅仅总结知识, 更 重 要 的是 总 结 数学思想方法, 这 样 可 帮 助学 生 自 行构建知识体系, 理清知识脉络, 养 成 良 好 的学 习 习 惯。

教学环节 1.必做题: 作业布置 课本

教师为主活动

学生为主活动

设计意图

练习 A 1,

练习 A 1(1)(2)(3)(4)

2. 思考题: (2)已知 F1、F2 是椭圆 椭圆于 M、N 两点,则

分层次布置作业, 帮 助 学 生巩 固 所 学知识; 为学有余 力 的 学 生留 有 进 的两个焦点,过 F1 的直线交 一步探索、 发展的 空间。 的周长为 ;

(3)若方程 的取值范围是 .

表示焦点在

轴上的椭圆,则

六、学习效果评价设计 1. 已知椭圆的焦点坐标为 方程。(课本 练习 A 第 1 题(5)) 和 ,且经过点 ,求椭圆的标准

2. 设

是椭圆 与焦点 题目

上一点,

是椭圆的焦点。如果点

与焦点

的距离为 4,那么点

的距离是多少?(课本 1 正确 错误 0 正确 4

练习 A 第 2 题的改编题) 2 错误 0

得分 6 学习效果评价标准: 题 目 正答率 85%以上 75%-85% 65%-75% 65%以下 学习过程评价标准: 评价方式 评价项目 1 等级 优秀 良好 合格 不合格 正答率 90%以上 80%-90% 70%-80% 70%以下 2 等级 优秀 良好 合格 不合格

标 准

评价内容 评价等级

A 课堂发言反映出的思维深度 师评 课堂练习的正确性 课堂学习的积极性 小组中发言的次数、质量 小组互评 自评 设计解决问题的方法、方案 本节课的学习兴趣 合作交流的意识 对知识、方法等方面获得收获的程度

B

C


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