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选修4-1-第2节 坐标系与参数方程 配套资料教师用书+教案


理科数学(江苏专版)

固 基 础 · 自 主 落 实

第二节

圆周角定理与圆的切线、直线与圆

启 智 慧 · 高 考 研 析

提 知 能 · 典 例 探 究

课 后 限 时 自 测

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内容 考 纲 传 真 圆的切线的判定与性质定理 圆周角定理,弦切角定理 相交弦定理,割线定理,切割线定理 圆内接四边形的判定与性质定理 A

要求 B √ √ √ √ C

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1.圆周角定理 (1)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧度数的 一半 . (2)圆周角定理的推论 推论 1 同弧(或等弧)上的圆周角 相等 ;同圆或等圆中,相等 的圆周角所对的弧 相等 . 推论 2 半圆(或直径)上的圆周角等于 90° ;反之,90° 的圆周 角所对的弦为 直径 .
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2.圆的切线 (1)圆的切线的判定定理: 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线. (2)圆的切线的性质定理:圆的切线 垂直于 经过切点的半径. 推论 1 推论 2 过圆心垂直于切线的直线必经过 切点 . 过切点且与圆的切线 垂直 的直线过圆心.

(3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线长 相等 .

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3.弦切角定理与推论 (1)定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半 . (2)推论: 同弧(或等弧)上的弦切角 相等 , 同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角相等.

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4.与圆有关的比例线段 相交弦 圆内的两条相交弦,被交点分 定理 成的两条线段长的积 相等 PA· PB=PC· PD 割线 定理 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积 相等 从圆外一点引圆的切线和割 PA· PB=PC· PD

切割线 定理
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切线长 是这点到割线与圆 线,
交点的两条线段长的比例中项
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PA· PB=PC2
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1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)相等的圆周角所对的弧也相等.( ) )

(2)在同圆或等圆中同一条弦所对的圆周角相等.( (3)任意一个四边形,三角形都有外接圆.( (4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.( ) )

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[解析] 根据圆周角定理的推论知(1)错; (2)中的圆周角相等或 互补故错;只有对角互补的四边形才有外接圆,所以 (3)错;根据 弦切角定理知(4)错.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

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2.(选修 4-1P40 习题 9 改编)如图 27,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD⊥AB 于 D 点,则 PC=________,CD=________.

图 27

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[ 解析]

连结 OC,由切割线定理得

PC2=PB· PA=12,∴PC=2 3 1 1 又 OC= OP,∴∠P=30° ,∴CD= PC= 2 2 3.

[答案]

3

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3.如图 28,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D.若 AD=3, BD=2,且 D 为 OC 的中点,则 CD=________.

图 28

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[ 解析]

延长 CO 交⊙O 于点 E, 设⊙O 半径为 r, 由相交弦定

理得 CD· DE=AD· DB 1 1 r(r+ r)=3×2 2 2 r=2 2,∴CD= 2.
[答案] 2

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4.(2014· 湖南高考)如图 29,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦, AO⊥BC,AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________.

图 29

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[解析] 设 AO, BC 的交点为 D, 由已知可得 D 为 BC 的中点, 则在直角三角形 ABD 中,AD= AB2-BD2=1,设圆的半径为 r, 延长 AO 交圆 O 于点 E,由圆的相交弦定理可知 BD· CD=AD· DE, 3 即( 2) =2r-1,解得 r=2.
2

[答案]

3 2

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5.如图 30 所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC =3, 过 C 作圆的切线 l, 过 A 作 l 的垂线 AD, 垂足为 D, 则∠DAC =________.

图 30

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[解析] 由弦切角定理得∠DCA=∠B=60° ,又 AD=⊥l,故 ∠DAC=30° .
[答案] 30°

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考向 1

圆周角与弦切角定理及应用(高频考点)

命题视角 圆周角与弦切角定理及应用是历年高考重点. 主要 命题角度:(1)证明角相等;(2)证明线段相等;(3)证明三角形相似.

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【典例 1】 (2014· 江苏高考)如图 31,AB 是圆 O 的直径,C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点,证明:∠OCB=∠D

图 31

【思路点拨】 只需证明∠OCB 和∠D 都和∠B 相等.

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[解] ∵B、C 是圆 O 上的两点, ∴OB=OC. ∴∠OCB=∠B. 又∵C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, ∴∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角. ∴∠B=∠D. ∴∠OCB=∠D.

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【通关锦囊】 1.圆周角定理常用的三种转化 (1)圆周角与圆周角之间的转化. (2)圆周角与圆心角之间的转化. (3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化. 2.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角 的关系, 从而证明三角形全等或相似, 可求线段的长度或角的大小.

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【变式训练 1】 (2012· 江苏高考)如图 32, AB 是圆 O 的直径, D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD=DC,连结 AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.

图 32

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[解] 连结 AD. ∵AB 是圆 O 的直径, ∴∠ADB=90° , ∴AD⊥BD. 又∵BD=DC, ∴AD 是线段 BC 的中垂 线.

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∴AB=AC,∴∠B=∠C, 又∵∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角, ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.

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考向 2 圆内接四边形的判定与性质 【典例 2】 如图 33,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60° ,F 在 AC 上,且 AE=AF.证明:

图 33 (1)B、D、H、E 四点共圆; (2)CE 平分∠DEF.

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【证明】

在△ABC 中,因为∠B=60° ,

所以∠BAC+∠BCA=120° . 因为 AD、CE 分别是∠BAC、∠DCF 的平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60° , 故∠AHC=120° . 于是∠EHD=∠AHC=120° . 所以∠EBD+∠EHD=180° , 所以 B、D、H、E 四点共圆.

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(2)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° . 由(1)知 B、D、H、E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30° . 又∠AHE=∠EBD=60° , 由已知可得 EF⊥AD,可得∠CEF=30° . 所以 CE 平分∠DEF.

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【规律方法】 1.(1)要证四点共圆,关键是证四边形 BDHE 的一组对角互 补.所以要从角的关系入手. (2)证明 CE 平分∠DEF,就是要证∠CED=∠CEF,可从找这 两个角的关系入手. 2.判断四点共圆的步骤 (1)观察几何图形,找到一对对角或一外角与其内对角;(2)判 断四边形的一对对角的和是否为 180° 或判断四边形一外角与其内 对角是否相等;(3)下结论.
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【变式训练 2】 如图 34,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

图 34 (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B, G,F 四点共圆.
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[解] (1)因为 EC=ED, 所以∠EDC=∠ECD. 因为 A、B、C、D 四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA, 故∠ECD=∠EBA.所以 CD∥AB.

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(2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC.连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE.又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180° , 故 A,B,G,F 四点共圆.

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考向 3 相交弦定理、切割线定理的应用 【典例 3】 (2014· 课标全国卷Ⅱ)如图 35,P 是⊙O 外一点, PA 是切线, A 为切点, 割线 PBC 与⊙O 相交于点 B, C, PC=2PA, D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明:

图 35 (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.
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[解] (1)连结 AB,AC. 由题设知 PA=PD,故∠PAD= ∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE = EC . 因此 BE=EC.

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(2)由切割线线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2.

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【规律方法】 1.(1)连结 AB,AC,由条件易知 PD=PA,得∠PAD=∠PDA, 利用弦切角性质可得∠DAC=∠BAD,从而有 BE=EC.(2)利用切 1 1 割线定理及 PC=2PA,可得 PB=2PA,进而有 BD=2PA.再结合相 交弦定理 AD· DE=BD· DC 得证.

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2.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积 式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似, 一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”. 在证明中有时还要 借助中间比来代换,解题时应灵活把握.

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【变式训练 3】 (2014· 南京盐城高三数学二模数学试卷)如图 36,△ABC 为圆的内接三角形,AB=AC,BD 为圆的弦,且 BD∥ AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.

图 36 (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE=6,BD=5,求线段 CF 的长.
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[解] (1)因为 AE 与圆相切于点 A,所以∠BAE=∠ACB. 因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 所以∠ABC=∠BAE. 所以 AE∥BC.因为 BD∥AC, 所以四边形 ACBE 为平行四边形.

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(2)因为 AE 与圆相切于点 A,所以 AE2=EB· (EB+BD),即 62 =EB· (EB+5),解得 BE=4. 根据(1)有 AC=BE=4,BC=AE=6. 4 8 AC CF x 设 CF=x,由 BD∥AC,得BD=BF,即5= ,解得 x=3, 6-x 8 即 CF=3.

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掌握 1 个结论

切点与圆心的连线与圆的切线垂直; 过切点且

与圆的切线垂直的直线过圆心; 熟记 3 种方法 与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下

三种方法:1.利用相似三角形;2.利用切割线定理、相交弦定理; 3.利用角平分线定理.

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规范解答之 17

与圆有关的证明与计算问题

(12 分)(2014· 辽宁高考)如图 37,EP 交圆于 E,C 两点, PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连结 DG 并延长交圆 于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F.

图 37
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(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

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———————

[规范解答示例] ———————

(1)∵PD=PG,∴∠PDG=∠PGD. ∵PD 为切线, ∴∠PDA=∠DBA. 又∵∠PGD=∠EGA, ∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD. ∴∠BDA=∠PFA. ∵AF⊥EP, ∴∠PFA=90° ,∠BDA=90° . ∴AB 是直径.
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(1 分)

(3 分)

(5 分)
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(2)连结 BC,DC. ∵由(1)知 AB 是直径, ∴∠BDA=∠ACB=90° . (7 分)

∵在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, ∴Rt△BDA≌Rt△ACB. ∴∠DAB=∠CBA.∵∠DCB=∠DAB, ∴∠DCB=∠CBA.

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∴DC∥AB. ∵AB⊥EP, ∴DC⊥EP,∠DCE 为直角. ∴ED 为直径,由(1)得 ED=AB.

(10 分)

(12 分)

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———————

[构建答题模板] ——————— 第一步

根据弦切角定理证明∠DBA=∠PGD, 从而证明了∠BDA=∠ PFA. ? 第二步 根据已知条件 AB⊥EP 及圆周角定理推论得 AB 是圆的直径. ?

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第三步 根据(1)中结论, 证明 Rt△BDA≌Rt△ACB, 从而得∠DAB=∠ CBA. ? 第四步 再利用圆周角定理证明 DC∥AB,从而证明 ED 为直径.

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【智慧心语】 易错提示:(1)遇到圆的切线问题时不注意弦切角的转化,导 致无法求解. (2)不会利用 AB⊥EP 这一条件,从而无法入手.

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防范措施:(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多 用于推出角的关系, 从而证明三角形全等或相似, 可求线段或角的 大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的 点,常作直径(或半径)或向弦(弦)两端画圆周角或作弦切角.

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【类题通关】

A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的

延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上.

图 38 EC 1 ED DC (1)若CB=3,DA=1,求 AB 的值; (2)若 EF2=FA· FB,证明:EF∥CD.

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[解] (1)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠EDC=∠EBF,又∠AEB 为公共角, ∴△ECD∽△EAB, DC EC ED ∴ AB =EA= EB . DC 2 EC ED EC ED 1 1 1 ∴( AB ) =EA· EB =EB· EA =4· 2=8. 2 DC ∴ AB = 4 .

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(2)∵EF2=FA· FB, EF FB ∴ FA =FE. 又∠EFA=∠BFE, ∴△FAE∽△FEB, ∴∠FEA=∠EBF, 又 A,B,C,D 四点共圆,∴∠DEC=∠EBF,∴∠FEA=∠ EDC, ∴EF∥CD.

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课后限时自测(六十五)

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