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高中数学必修五第一章《解三角形》知识点


高中数学必修五
2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c

第一章

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);

3、三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2 4、正弦定理:在 ???C 中, a 、b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径, a b c 则有 ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C sin
5、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
②化边为角: sin ? ? 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角, 求其他边角.(对于已知两边和其 中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解) 7、三角形面积公式:

1 1 1 abc r (a ? b ? c) = = S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? .=2R2sinAsinBsinC= 2 2 2 4R 2
p( p ? a)( p ? b)( p ? c)
8、余弦定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 9、余弦定理的推论: cos ? ? , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac
10、余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量。 ②已知三边求角) 11、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式 或角的形式。设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

?

②若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? ; ③若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? . 12、三角形的五心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

第一章 解三角形单元测试
一 选择题: 1.已知△ABC 中, A ? 30 , C ? 105 , b ? 8 ,则等于
? ?

( (

) )

C 4 3 D 4 5 4 2 ? 2. △ABC 中, B ? 45 , C ? 60 , c ? 1 ,则最短边的边长等于 6 6 3 1 2 2 A 3 B C 2 D A

4

B

?

3.长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 A 90° B 120° C 135°

( D 150° ( D 等边三角形 ( ( (
?

)

a b c ? ? 4. △ABC 中, cos A cos B cos C ,则△ABC 一定是
A 直角三角形 B 钝角三角形
?
2

) ) ) )

C

等腰三角形

5. △ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则△ABC 一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中,∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定

S ? 16 3 7. △ABC 中, b ? 8 , c ? 8 3 , ? ABC ,则 ?A 等于
A 30
?

B 60
?

?

C 30 或 150

?

?

D 60 或 120

?

a?b?c 8.△ABC 中,若 A ? 60 , a ? 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C 等于 ( ) 3 1 A 2 B 2 C 3 D 2 9. △ABC 中,A : B ? 1: 2 , 则 cos A ? ( C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3: 2 两部分, 1 1 3 A B C D 0 3 2 4
10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 (





11 在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° 、60° ,则塔高为( ? A.



400 米? 3

B.

400 3 米 3

C. 200 3 米?

D. 200米

12 海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 二、填空题: B.5 海里 C. 5 6 海里 D.5 3 海里 。 。 。

13.在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 ,那么 cos C 等于 14.在△ABC 中,已知 b ? 50 3 , c ? 150 , B ? 30 ,则边长 a ?
?

15.在钝角△ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 2 ,则最大边 c 的取值范围是
?

16.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60 ,另两边之比为 8:5,则这个三角形的 面积为 。

三、解答题:

cos A b 4 ? ? 17(本题 10 分)在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 cos B a 3 ,求边 a、b 的长。
18(本题 12 分)在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断△ABC 的形状。
2

19(本题 12 分)在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足: 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积。 20(本题 12 分)在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游 击手的直线成 15°的方向把球击出,根据经验及测速仪的显示,通常情况下球速为游击手最大跑 速的 4 倍,问按这样的布置,游击手能不能接着球?(如图所示)

2

第一章 解三角形单元测试参考答案
一、选择题 BABDD CCACA 二、填空题( 4 ? 4 ) 13 ? C 15、 5 ? c ? 3 16、 40 3

1 4

14、 100 3 或 50 3

三、解答题

15、(本题 8 分)

cos A b sinB b cos A sin B ,变形为 sinAcosA=sinBcosB ? , ? ,可得 ? sinA cos B a cos B sin A a ? ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π-2B, ∴A+B= . ∴△ABC 为直角三角形. 2 b 4 2 2 2 由 a +b =10 和 ? ,解得 a=6, b=8。 a 3
解:由 16、(本题 8 分) 解:由正弦定理

a b c a b , sin B ? , ? ? ? 2 R 得: sin A ? sin A sin B sin C 2R 2R

sin C ?

c 。 2R

2 a 2 b c 2 所以由 sin A ? sin B sin C 可得: ( ,即: a ? bc 。 ) ? ?
2

2R 2R 2R 2 2 2 又已知 2a ? b ? c ,所以 4a ? (b ? c) ,所以 4bc ? (b ? c) ,即 (b ? c) ? 0 , 因而 b ? c 。故由 2a ? b ? c 得: 2a ? b ? b ? 2b , a ? b 。所以 a ? b ? c ,△ABC
为等边三角形。 17、(本题 9 分) 解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)= ∴A+B=120°, ∴c= 6 , 3 , 2
2

∵△ABC 为锐角三角形

S? ABC
2

C=60°, 又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 , 1 3 3 1 = 。 ? ab sin C = ×2× 2 2 2 2
2 2 2

a·b=2, ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, 1 3 3 1 ∴c= 6 , S? ABC ? ab sin C = ×2× = 。 2 2 2 2

18、(本题 9 分) 解: 设游击手能接着球,接球点为 B,而游击手从点 A 跑出,本垒为 O 点(如图所示).设从 击出球到接着球的时间为 t,球速为 v,则∠AOB=15°,OB=vt, AB ? 在 ?∴ △AOB 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

v ?t 。 4 OB AB ? sin ?OAB sin15?



OB vt 6? 2 sin15? ? ? ? 6? 2 而 AB vt / 4 4 ( 6 ? 2)2 ? 8 ? 4 3 ? 8 ? 4 ?1.74 ? 1 ,即 sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB 不存在,因此,游击手不 sin ?OAB ?

能接着球.


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