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第八讲 不等式的应用


第八讲 不等式的应用
不等式与各个数学分支都有密切的联系,利用"大于","小于"关系,以及不等式一系列 的基本性质能够解决许多有趣的问题,本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用.

例 1 已知 x<0,-1<y<0,将 x,xy,xy2 按由小到大的顺序排列. 分析 用作差法比较大小,即若 a-b>0,则 a>b;若 a-b<0,则 a<b. 解 因为 x-xy=x(1-y),并且 x<0,-1<y<0,所以 x(1-y)<0,则 x<xy. 因为 xy2-xy=xy(y-1)<0,所以 xy2<xy. 因为 x-xy2=x(1+y)(1-y)<0,所以 x<xy2. 综上有 x<xy2<xy. 例2 若

试比较 A,B 的大小.

显然,2x>y,y>0,所以 2x-y>0,所以 A-B>0,A>B. 例 3 若正数 a,b,c 满足不等式组

试确定 a,b,c 的大小关系. 解①+c 得

②+a 得

③+b 得

由④,⑤得

所以 c<a. 同理,由④,⑥得 b<C. 所以 a,b,c 的大小关系为 b<c<a. 例 4 当 k 取何值时,关于 x 的方程

3(x+1)=5-kx 分别有(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于 1 的解. 解 将原方程变形为(3+k)x=2.

(1)当 3+k>0,即 k>-3 时,方程有正数解. (2)当 3+k<0,即 k<-3 时,方程有负数解. (3)当方程解不大于 1 时,有

所以 1+k,3+k 应同号,即

得解为

k≥-1 或 k<-3.

所以分子 1+k 可以等于零, 而分母是不能等于零的. 注意 由于不等式是大于或等于零, 例 5 已知

求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值.

|x-1|-|x+3|

达到最大值 4.结合 x<-3 时的情形,得到:在已

说明 对含有绝对值符号的问题,无法统一处理.一般情况下,是将实数轴分成几个区 间,分别进行讨论,即可脱去绝对值符号.

例 6 已知 x,y,z 为非负实数,且满足

x+y+z=30,3x+y-z=50. 求 u=5x+4y+2z 的最大值和最小值. 解 将已知的两个等式联立成方程组

所以①+②得

4x+2y=80,y=40-2x. 将 y=40-2x 代入①可解得

z=x-10.

因为 y,z 均为非负实数,所以

解得 10≤x≤20. 于是

u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140. 当 x 值增大时,u 的值减小;当 x 值减小时,u 的值增大.故当 x=10 时,u 有最大值 130;当 x=20 时,u 有最小值 120. 例 7 设 a,b,c,d 均为整数,且关于 x 的四个方程

(a-2b)x=1,(b-3c)x=1,

(c-4d)x=1,x+100=d 的根都是正数,试求 a 可能取得的最小值是多少? 解 由已知(a-2b)x=1,且根 x>0,所以 a-2b>0,又因为 a,b 均为整数,所以 a-2b 也为整数,所以

a-2b≥1,即 a≥2b+1. 同理可得,b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以

a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3 ≥6(4d+1)+3=24d+9

≥24×101+9=2433,

故 a 可能取得的最小值为 2433.

求 pq 的值. 解 由已知

所以 21q<30p<22q. 因为 p,q 都为自然数,所以当 q 分别等于 1,2,3,4,5,6 时,无适当的 p 值使 21q <30p<22q 成立.当 q=7 时,147<30p<154,取 p=5 可使该不等式成立.所以 q 最小 为 7,此时 p=5.于是 pq=5×7=35. 例 9 已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求证: b<a. 按照一定的逻辑顺序来展开推理论证. 分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质,

因为 b<c,所以 2b<b+c,所以由 b+c<a+1 得 2b<a+1,所以由 1<a 得 1+a<2a, 所以

2b<1+a<2a, 即 b<a 成立.

分析与解 由题设可知 x≥1,y≥2,z≥3,所以

又 x≥3 时,

也不成立,故 x 只能为 2. 当 x=2 时,

令 y=3,则 z=6. 当 x=2,y≥4 时,

不成立.

故本题只有一组解,即 x=2,y=3,z=6. 例 11 某地区举办初中数学联赛,有 A,B,C,D 四所中学参加,选手中, A, B 两 校共 16 名;B,C 两校共 20 名; C, D 两校共 34 名,并且各校选手人数的多少是按 A, B,C,D 中学的顺序选派的,试求各中学的选手人数. 解 设 A,B,C,D 四校的选手人数分别为 x,y,z,u.据题意有

由①,②可知,x+y<y+z,所以 x<z.又由于人数的多少是按 A,B,C,D 四校的顺 序选派的,所以有 x<y<z<u. 由①与 x<y 得 16-y=x<y,所以 y>8.由②与 y<z 得 20-y=z>y,所以 y<10.于是 8<y<10, 所以 y=9(因为人数是整数). y=9 代入①, 将 ②可知 x=7, z=11, 再由③有 u=23. 故 A 校 7 人,B 校 9 人,C 校 11 人,D 校 23 人.

注意到 x 只能取 1,2,3,4,…,9 这九个数字,所以 x=2,所以

所以 y=1,z=4. 所以 x=2,y=1,z=4. 练习八

1.如果 a<b<c,并且 x<y<z,那么在四个代数式

(1) ax+by+cz;(2)ax+bz+cy;

(3) ay+bx+cz;(4) az+bx+cy 中哪一个的值最大?

2.不等式 10(x+4)+x<62 的正整数解是方程

2(a+x)-3x=a+1

3.已知 y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求 y 的最大值. 4.已知 x,y,z 都为自然数,且 x<y,当 x+y=1998,z-x=2000 时,求 x+y+z 的最大值.

5.若 x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:x>0,y>0,z>0.

能值之和是多少?

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