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三角函数在解析几何中的几何表示


三角函数在解析几何中的几何表示
@叶家新
摘要:本文以高中数学三角函数在解析几何中的几何表示
=1;

为型?菩兰耋形望碧三霎蚕恶毒仨曼受髦乏堡姜的兰兰警 一关系,从而进一步在教学中加深学生对数形结合这一重要思
想的认识。 关键词:高中数学;三角函数;几何表示 时下,很多高中生总是孤立地看待数学的各个分支,极少 去联系它们。就拿三角和几何来说吧,其实三角中有许多题目

(2)2b=8+c.求证:c。t等c。t号=s.
‘ ‘

分析:这道题可以用三角恒等变换证明外,也可以用几何 法证明如下: (1)设0为AABC的内心,AABC的内切圜与BC,CA, AB分别相切于D,E,F,则OD=OE=OF,设OD=OE=OF=r,S =1/2(a+b+c1. 联结OA,OB,OC,在AAOD中,
A oE B oD C oE

不仅能“纯三角”地加以解决,而且还可找到它的几何解析。坚
持这样做无疑会加深我们对数形结合这一重要数学思想的认 识,也能更深刻地认识这些三角问题的本质。 当然,不是任何三角问题都能轻易地找到其几何解析的, 但是我们不能放弃这方面的努力。 一、不查表求cot700+4cos700的值 分析:此题用同角三角函数关系式,倍角公式,和差化积公

协“i


2石,诅n了2面,妇“丁2面,
B B C C A

?’_‘8n丁。‘8n丁+‘8n丁’胁丁+‘an丁‘胁丁
0E OD OD OE OE OD

2面‘历+面。面+历‘历
r2

式,经过化简可以求出该式的值。但这样的题目对于公式掌握
得不够熟练,对于公式的功能了解得不够深透的学生来说,可

=———————————————————一+———————————————————一-p—————————————————————一

『2

r2

(s—o)(s—b)。(s—b)(s—c)

(s—c)(s一。).

知称得上是难题。另一方面,即使是那些求出值来的同学,由
于经历了较长的运算,也不容易抓住解题思想,过长的三角运 算掩盖了本来并不复杂的题目的本来面目,这是件令人遗憾 的事。 实际上,这个题目的背景很简单。


注意到%。。=“石_二i八了二_万下=百=乃,

则有tan手?tan芋+胁詈.tan手+tan善?tan争

F柄]


:!!二坚)i!二1 2 11二虫.f


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(s—c)(5—8)。


全鬻
土)

一(兰二12±(苎二堡2±f兰二鱼2—1

(2)cot了A.cot丁C=筹?器=止学立=南.
因为口+e=2b,所以s=丢(。+6+c)=丢6,s一6=号6,可
见。。t牟.。。t导:3,
利用图形解题,关键在于找到适当的图形,所用的图形可 以是基本函数的图象,也可以是基本几何图形或构造出的几何 模型等。 利用恰当的几何图形,不仅能简洁地证出(或求出)三角

考虑顶角为400的等腰IXABC,其中AB=AC=2(见图),在 三角形外作[CAE=20。,作BE上AE于E,作AD上Bc于D,设 BE交AC于F,我们要指出EF=cot700,BF=4cos70。,BE= tan60。。实际上,在RtAABE中,因为AB=2,/_BAE=60。,所 以AE=1,在RtAAEF中,£AFE=900一20。=70。,可见,EF
:AE?cot70。=cot700。

注意到/_BFC:[AFE:70。,LBCF:堡贮—÷竺:


式,而且能表现出三角式的本质,甚至能创造出更新的三角式。
我们提倡挖掘三角式在解析几何的应用,目的在于更充分地体 现数与形相互联系,相互作用,相互促进的对立统一关系。从 而进一步加深我们对数形结合这一重要思想的认识。 参考文献 [1]贾士代:要加强三角函数定义在解析几何中应用的教学 [J];中学数学教学;1989年03期 【2]沈芳:构造解析几何模型三角函数题[J];中学数学月刊; 2007年第9期 (作者单位:广东省河源市和平县和平中学517200)

70。,可见ABCF是等腰三角形BF=BC,而在zaABC中,BC=
2BD=2AB?COS么_ABD=4cos70。,可见BF=4cos700.至于BE,

只要在RtziABE中立刻可以看出曰E:tan60。=扫. 看出了题目的“简单”所在,就抓住了题目的本质.







二、例2、△ABC中,A,B.C的对边分别为a,b,c

㈩求证:tan孚.tan导+tan孚.tan孚+tan导.tan吾
?1 15?

万方数据

三角函数在解析几何中的几何表示
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 叶家新 广东省河源市和平县和平中学 517200 中学课程辅导(教学研究) Secondary School Curriculum Coaching(Teaching Research) 2013,7(10)

参考文献(2条) 1.贾士代 要加强三角函数定义在解析几何中应用的教学 1989(03) 2.沈芳 构造解析几何模型三角函数题 2007(09)

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxkcfd-jxyj201310133.aspx


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