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2016年江苏省高考数学压轴试卷


2016 年江苏省高考数学压轴试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写 在题中横线上) 1. (5 分)若集合 A={x|y= 2. (5 分)若复数 ,x∈R},B={x||x|≤1,x∈R},则 A∩B= . .

+m(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m=

3.

(5 分)若原点(0,0)和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 . 4. (5 分)某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这 组数据的方差为 . 5. (5 分)如图是一个算法流程图,则输出的 x 的值为 .

6. (5 分) 从 2 个红球, 2 个黄球, 1 个白球中随机取出两个球, 则两球颜色不同的概率是 7. (5 分)若 sinα= 且 α 是第二象限角,则 tan(α﹣ )= . ,侧面积为



8. (5 分)如图,正四棱锥 P﹣ABCD 的底面一边 AB 长为 则它的体积为



9. (5 分)已知双曲线 双曲线的离心率为 .



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 2x﹣y=0,则该

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10. (5 分)不等式组

所表示的区域的面积为



11. (5 分) 已知△ABC 外接圆 O 的半径为 2, 且

, |

|=|

|, 则

=



12. (5 分)如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点 P1,P2,…P10,记 mi= ? (i=1,2,3,…,10) ,则 m1+m2+…+m10 的值





13. (5 分)在等差数列{an}中, 首项 a1=3, 公差 d=2, 若某学生对其中连续 10 项迸行求和, 在遗漏掉一项的情况下,求得余下 9 项的和为 185,则此连续 10 项的和为 . 2 14. (5 分)设关于 x 的实系数不等式(ax+3) (x ﹣b)≤0 对任意 x∈[0,+∞)恒成立,则 2 a b= . 二、解答题 15. (14 分) 如图,在△ABC 中, 点 D 在边 AB 上, CD⊥BC, AC=5 (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求△ABC 的面积.

,CD=5, BD=2AD.

16. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中 点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

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17. (14 分)如图,A、B 是海岸线 OM、ON 上的两个码头,海中小岛有码头 Q 到海岸线 OM、ON 的距离分别为 2km、 km.测得 tan∠MON=﹣3,OA=6km.以点 O 为坐标

原点,射线 OM 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以 18 km/小时 的平均速度在水上旅游线 AB 航行(将航线 AB 看作直线,码头 Q 在第一象限,航线 AB 经 过 Q) . (1)问游轮自码头 A 沿 方向开往码头 B 共需多少分钟?

(2) 海中有一处景点 P (设点 P 在 xOy 平面内, PQ⊥OM, 且 PQ=6km) , 游轮无法靠近. 求 游轮在水上旅游线 AB 航行时离景点 P 最近的点 C 的坐标.

18. (16 分)已知椭圆 C: 在椭圆 C 上; (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C1:

的右焦点为 F(1,0) ,且点 P(1, )

=1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O:x +y = 的两条切

2

2

线, 切点分别为 M、 N (M、 N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴, y 轴上的截距分别为 m、 n,证明: 为定值;

(3)若 P1、P2 是椭圆 C2:

上不同两点,P1P2⊥x 轴,圆 E 过 P1、P2,且椭圆

C2 上任意一点都不在圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆,试问:椭圆 C2 是否存在过 焦点 F 的内切圆?若存在,求出圆心 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 19. (6 分)已知函数 f(x)=e |x ﹣a|(a≥0) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调减区间; (2)若存在 m>0,方程 f(x)=m 恰好有一个正根和一个负根,求实数 m 的最大值. 20. (16 分)已知数列{an}的通项公式为 an=(n﹣k1) (n﹣k2) ,其中 k1,k2∈Z: (1)试写出一组 k1,k2∈Z 的值,使得数列{an}中的各项均为正数; (2)若 k1=1、k2∈N ,数列{bn}满足 bn= 出所有满足条件的 k2 的值;
* x 2

,且对任意 m∈N (m≠3) ,均有 b3<bm,写

*

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(3)若 0<k1<k2,数列{cn}满足 cn=an+|an|,其前 n 项和为 Sn,且使 ci=cj≠0(i,j∈N , i<j)的 i 和 j 有且仅有 4 组,S1、S2、…、Sn 中至少 3 个连续项的值相等,其他项的值均不 相等,求 k1,k2 的最小值. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷 纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 4-1:几何证明 选讲] 21. (10 分)如图:在 Rt∠ABC 中,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,连接 AE 交⊙O 于点 F,求证:BE?CE=EF?EA.

*

B.[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知矩阵 A= ,求矩阵 A 的特征值和特征向量.

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 线 C 所截得的弦长. D.[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+ ≥2y+3. (t 为参数) ,求直线 l 被曲

四.【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.甲、乙两人投篮命中的概率为别为 与 ,各自相互独立,现两人做投篮游戏,共比赛 3 局,每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后,甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E (ξ) . 26.若存在 n 个不同的正整数 a1,a2,…,an,对任意 1≤i<j≤n,都有 这 n 个不同的正整数 a1,a2,…,an 为“n 个好数”. (1)请分别对 n=2,n=3 构造一组“好数”;
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∈Z,则称

(2)证明:对任意正整数 n(n≥2) ,均存在“n 个好数”.

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2016 年江苏省高考数学压轴试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写 在题中横线上) 1. (5 分) (2016?江苏模拟) 若集合 A={x|y= , x∈R}, B={x||x|≤1, x∈R}, 则 A∩B=

{1} . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出两集合的交 集即可.
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【解答】解:由 A 中 y=

,得到 x﹣1≥0,

解得:x≥1,即 A={x|x≥1}, 由 B 中不等式变形得:﹣1≤x≤1,即 B={x|﹣1≤x≤1}, 则 A∩B={1}, 故答案为:{1}. 2. (5 分) (2016?江苏模拟) 若复数
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+m (i 为虚数单位) 为纯虚数, 则实数 m=

﹣1 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于 0 求得 m 的值. 【解答】解:∵ 由复数 +m= =m+1+2i,

+m 为纯虚数,得 m+1=0,解得 m=﹣1.

故答案为:﹣1. 3. (5 分) (2016?江苏模拟)若原点(0,0)和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 (0,2) . 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】方程思想;综合法;不等式. 【分析】因为原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧,所以(﹣a)?(1+1﹣a)<0, 由此能求出 a 的取值范围. 【解答】解:因为原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y﹣a=0 的两侧, 所以(﹣a)?(1+1﹣a)<0, 解得 0<a<2, 故答案为: (0,2) .
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4. (5 分) (2016?江苏模拟)某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1, 10.2,10.1,则这组数据的方差为 0.032 .
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【考点】极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】先计算数据的平均数后,再根据方差的公式计算.
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【解答】解:数据 9.7,9.9,10.1,10.2,10.1 的平均数= 方差= (0.09+0.01+0.01+0.04+0.01)=0.032. 故答案为:0.032. 5. (5 分) (2016?江苏模拟)如图是一个算法流程图,则输出的 x 的值为 .

=10,

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】模拟执行算法流程,依次写出每次循环得到的 x,n 的值,当 n=6 时,满足条件 n
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>5,退出循环,输出 x 的值为 . 【解答】解:模拟执行算法流程,可得 n=1,x=1 x= ,n=2 不满足条件 n>5,x= ,n=3 不满足条件 n>5,x= ,n=4 不满足条件 n>5,x= ,n=5 不满足条件 n>5,x= ,n=6 满足条件 n>5,退出循环,输出 x 的值为 .
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故答案为: .

6. (5 分) (2016?江苏模拟)从 2 个红球,2 个黄球,1 个白球中随机取出两个球,则两球 颜色不同的概率是 .
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可. 2 【解答】解:从 5 个球中任意取两个共有 C5 =10 种, 两球颜色相同的有 2 种, 两球颜色不同的概率是 1﹣ 故答案为: . = ,

7. (5 分) (2016?江苏模拟)若 sinα= 且 α 是第二象限角,则 tan(α﹣ 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;三角函数的求值.
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)= ﹣7



【分析】由已知求得 cosα,进一步得到 tanα,再由两角差的正切求得 tan(α﹣ 【解答】解:∵α 是第二象限角,sinα= , ∴ ∴ , ,

)的值.



=



故答案为﹣7. 8. (5 分) (2016?江苏模拟)如图,正四棱锥 P﹣ABCD 的底面一边 AB 长为 积为 ,则它的体积为 4 ,侧面

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】作出棱锥的高 PO,则 O 为底面中心,作 OE⊥AB 于 E,根据侧面积计算 PE,利 用勾股定理计算 PO,带入体积公式计算体积. 【解答】解:过 P 作底面 ABCD 的垂线 PO,则 O 为底面正方形 ABCD 的中心,
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过 O 作 OE⊥AB 于 E,连结 PE.则 OE=

=



∵PO⊥平面 ABCD,AB? 平面 ABCD, ∴PO⊥AB, 又 AB⊥OB,PO? 平面 POE,OE? 平面 POE,PO∩OE=O, ∴AB⊥平面 POE,∵PE? 平面 POE, ∴AB⊥PE. ∴正四棱锥的侧面积 S 侧=4S△PAB=4× 解得 PE=2. ∴PO= =1. (2 ) ×1=4.
2

=8



∴正四棱锥的体积 V= S 正方形 ABCD?PO= 故答案为:4.

9. (5 分) (2016?江苏模拟)已知双曲线



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线的方程

为 2x﹣y=0,则该双曲线的离心率为
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【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线 c= ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x﹣y=0,可得 b=2a,

a,即可求出双曲线的离心率. ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x﹣y=0,

【解答】解:∵双曲线 ∴b=2a, ∴c= a,

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∴双曲线的离心率是 e= = 故答案为: .



10. (5 分) (2016?江苏模拟)不等式组

所表示的区域的面积为 16 .

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;定义法;不等式. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出交点坐标, 【解答】解:由不等式组作出平面区域如图所示(阴影部分) ,
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则由





得 A(﹣1,1) ,B(3,5) ,C(3,﹣3) ,

所以 故答案为:16.



11. (5 分) (2016?江苏模拟)已知△ABC 外接圆 O 的半径为 2,且 |,则 = 12 .
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,|

|=|

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】数形结合;定义法;平面向量及应用. 【分析】 运用平面向量的三角形法则, 以及外心的特点, 可得 O 为 BC 的中点, 三角形 ABC 为直角三角形, 再由勾股定理和向量的数量积定义,即可求出结果. 【解答】解:如图所示,

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△ABC 的外接圆的半径为 2,且 ∴( ∴ + ﹣ =2 )+( +2 ﹣ = , )=2 ,



∴O 为 BC 的中点, 即 AB⊥AC; 又| |=| |,

∴△ABO 为等边三角形,且边长为 2, 由勾股定理得,AC= 则 ? =| |?| =2 |?cos∠ACB=2 , ×4× =12.

故答案为:12. 12. (5 分) (2016?江苏模拟)如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上, 边 B3C3 上有 10 个不同的点 P1, P2 , …P10, 记 mi= ? (i=1, 2, 3, …, 10) , 则 m1+m2+…+m10

的值为 180 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】以 A 为坐标原点,AC1 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,可得 B2(3, ) ,B3 (5, ) ,C3(6,0) ,求出直线 B3C3 的方程,可设 Pi(xi,yi) ,可得 xi+yi=6 ,运 用向量的数量积的坐标表示,计算即可得到所求和. 【解答】解:以 A 为坐标原点,AC1 所在直线为 x 轴建立 直角坐标系, 可得 B2(3, ) ,B3(5, ) ,C3(6,0) , 直线 B3C3 的方程为 y=﹣ (x﹣6) , 可设 Pi(xi,yi) ,可得 xi+yi=6 ,
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即有 mi=

?

=3xi+

yi

= ( xi+yi)=18, 则 m1+m2+…+m10=18×10=180. 故答案为:180.

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13. (5 分) (2016?江苏模拟)在等差数列{an}中,首项 a1=3,公差 d=2,若某学生对其中连 续 10 项迸行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下 9 项的和为 185,则此连续 10 项的和 为 200 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列.
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【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项,从而设 9 项为 an,an+1,an+2,…,an+m﹣1,an+m+1, an+m+2,…,an+9,从而可得 10(2n+1)+90﹣2(m+n)﹣1=185,从而求得. 【解答】解:若遗漏的是 10 项中的第一项或最后一项, 则 185=9?a 中,故 a 中=20 (舍去) ; 故设 9 项为 an,an+1,an+2,…,an+m﹣1,an+m+1,an+m+2,…,an+9, * 其中(0<m<9,m∈N ) 故 10an+ ×2﹣am+n=185,

即 10(2n+1)+90﹣2(m+n)﹣1=185, 故 m=9n﹣43, 故 n=5,m=2; 故 10×a5+ 故答案为:200. 14. (5 分) (2016?江苏模拟)设关于 x 的实系数不等式(ax+3) (x ﹣b)≤0 对任意 x∈[0, 2 +∞)恒成立,则 a b= 9 . 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】转化思想;数形结合法;不等式的解法及应用. 2 【分析】利用换元法设 f(x)=ax+3,g(x)=x ﹣b,根据一元一次函数和一元二次函数的 图象和性质进行判断求解即可.
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×2=110+90=200;

2

【解答】解:∵(ax+3) (x ﹣b)≤0 对任意 x∈[0,+∞)恒成立, ∴当 x=0 时,不等式等价为﹣3b≤0,即 b≥0, 2 当 x→+∞时,x ﹣b>0,此时 ax+3<0,则 a<0, 2 设 f(x)=ax+3,g(x)=x ﹣b, 2 若 b=0,则 g(x)=x >0, 函数 f(x)=ax+3 的零点为 x=﹣ ,则函数 f(x)在(0,﹣ )上 f(x)>0,此时不满 足条件; 若 a=0,则 f(x)=3>0,而此时 x→+∞时,g(x)>0 不满足条件,故 b>0;
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2

∵函数 f(x)在(0,﹣ )上 f(x)>0,则(﹣ ,+∞) )上 f(x)<0, 而 g(x)在(0,+∞)上的零点为 x= ,且 g(x)在(0, 则( ,+∞)上 g(x)>0, 2 ∴要使(ax+3) (x ﹣b)≤0 对任意 x∈[0,+∞)恒成立, 则函数 f(x)与 g(x)的零点相同,即﹣ = ∴a b=9. 故答案为:9.
2

)上 g(x)<0,



二、解答题 15. (14 分) (2016?江苏模拟)如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD⊥BC,AC=5 CD=5,BD=2AD. (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求△ABC 的面积.



【考点】解三角形. 【专题】数形结合;数形结合法;解三角形. 【分析】 (1)假设 AD=x,分别在△ACD 和△ABC 中使用余弦定理计算 cosA,列方程解出 x; (2)根据(1)的结论计算 sinA,代入面积公式计算.
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【解答】解: (1)设 AD=x,则 BD=2x,∴BC=

=



在△ACD 中,由余弦定理得 cosA=

=



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在△ABC 中,由余弦定理得 cosA=

=



∴ ∴AD=5.

=

,解得 x=5.

(2)由(1)知 AB=3AD=15,cosA= ∴S△ABC= =

= =

,∴sinA= . .

16. (14 分) (2016?江苏模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE,E 为 PA 的中点,利用三角形中位线的性质, 可知 OE∥PC,利用线面平行的判定定理,即可得出结论; (2)先证明 PA⊥DE,再证明 PA⊥OE,可得 PA⊥平面 BDE,从而可得平面 BDE⊥平面 PAB. 【解答】证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.…(2 分) 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.…(4 分) 因为 PC? 平面 BDE,OE? 平面 BDE,所以 PC∥平面 BDE.…(6 分) (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.…(8 分) 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE? 平面 BDE,DE? 平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.…(12 分) 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.…(14 分)
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17. (14 分) (2016?江苏模拟)如图,A、B 是海岸线 OM、ON 上的两个码头,海中小岛有 码头 Q 到海岸线 OM、 ON 的距离分别为 2km、 km. 测得 tan∠MON=﹣3, OA=6km. 以

点 O 为坐标原点,射线 OM 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以 18 km/小时的平均速度在水上旅游线 AB 航行(将航线 AB 看作直线,码头 Q 在第一象限, 航线 AB 经过 Q) . (1)问游轮自码头 A 沿 方向开往码头 B 共需多少分钟?

(2) 海中有一处景点 P (设点 P 在 xOy 平面内, PQ⊥OM, 且 PQ=6km) , 游轮无法靠近. 求 游轮在水上旅游线 AB 航行时离景点 P 最近的点 C 的坐标.

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)由已知得:A(6,0) ,直线 ON 的方程为 y=﹣3x,求出 Q(4,2) ,得直线
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AQ 的方程, 从而求出水上旅游线 AB 的长, 由此能求出游轮在水上旅游线自码头 A 沿



向开往码头 B 共航行时间. (2)点 P 到直线 AB 的垂直距离最近,则垂足为 C,分别求出直线 AB 的方程和直线 PC 的 方程,联立直线 AB 和直线 PC 的方程组,能求出点 C 的坐标. 【解答】解: (1)由已知得:A(6,0) ,直线 ON 的方程为 y=﹣3x,…1 分 设 Q(x1,2) , (x1>0) ,由 及 x1>0,得 x1=4,∴Q(4,2) ,…3 分

∴直线 AQ 的方程为 y=﹣(x﹣6) ,即 x+y﹣6=0,…5 分 由 ,得 ,即 B(﹣3,9) ,…6 分
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∴AB=

=9

,即水上旅游线 AB 的长为 9

km.

游轮在水上旅游线自码头 A 沿

方向开往码头 B 共航行 30 分钟时间. …8 分

(2)点 P 到直线 AB 的垂直距离最近,则垂足为 C. …10 分 由(1)知直线 AB 的方程为 x+y﹣6=0, P(4,8) ,则直线 PC 的方程为 x﹣y+4=0,…12 分 联立直线 AB 和直线 PC 的方程组 得点 C 的坐标为 C(1,5) . …14 分 ,

18. (16 分) (2016?江苏模拟)已知椭圆 C:

的右焦点为 F(1,0) ,

且点 P(1, )在椭圆 C 上; (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C1: =1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O:x +y = 的两条切
2 2

线, 切点分别为 M、 N (M、 N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴, y 轴上的截距分别为 m、 n,证明: 为定值;

(3)若 P1、P2 是椭圆 C2:

上不同两点,P1P2⊥x 轴,圆 E 过 P1、P2,且椭圆

C2 上任意一点都不在圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆,试问:椭圆 C2 是否存在过 焦点 F 的内切圆?若存在,求出圆心 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由焦点坐标确定出 c 的值,根据椭圆的性质列出 a 与 b 的方程,再将 P 点坐标 代入椭圆方程列出关于 a 与 b 的方程,联立求出 a 与 b 的值,确定出椭圆方程即可. (2)由题意:确定出 C1 的方程,设点 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,N(x3,y3) ,根据 M, N 不在坐标轴上,得到直线 PM 与直线 OM 斜率乘积为﹣1,确定出直线 PM 的方程,同理
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可得直线 PN 的方程,进而确定出直线 MN 方程,求出直线 MN 与 x 轴,y 轴截距 m 与 n, 即可确定出所求式子的值为定值. (3)依题意可得符合要求的圆 E,即为过点 F,P1,P2 的三角形的外接圆.所以圆心在 x 轴上.根据题意写出圆 E 的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到圆 E 距离的最 小值是|P1E|,结合图形可得圆心 E 在线段 P1P2 上,半径最小.又由于点 F 已知,即可求得 结论. 【解答】解: (1)∵椭圆 C: 在椭圆 C 上; 的右焦点为 F(1,0) ,且点 P(1, )



,解得 a=2,b=



∴椭圆 C 的标准方程为



(2)由题意:C1:

+

=1,

设点 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,N(x3,y3) , ∵M,N 不在坐标轴上,∴kPM=﹣ =﹣ ,

∴直线 PM 的方程为 y﹣y2=﹣

(x﹣x2) ,

化简得:x2x+y2y= ,①, 同理可得直线 PN 的方程为 x3x+y3y= ,②,

把 P 点的坐标代入①、②得



∴直线 MN 的方程为 x1x+y1y= , 令 y=0,得 m= ,令 x=0 得 n= ,

∴x1=

,y1=



又点 P 在椭圆 C1 上,
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∴( 则

) +3( +

2

) =4,

2

= 为定值.

(3)由椭圆的对称性,可以设 P1(m,n) ,P2(m,﹣n) ,点 E 在 x 轴上,设点 E(t,0) , 2 2 2 2 则圆 E 的方程为: (x﹣t) +y =(m﹣t) +n , 由内切圆定义知道,椭圆上的点到点 E 距离的最小值是|P1E|, 设点 M(x,y)是椭圆 C 上任意一点,则|ME| =(x﹣t) +y = 当 x=m 时,|ME| 最小,∴m=﹣ 又圆 E 过点 F,∴(﹣ 点 P1 在椭圆上,∴ 由③④⑤,解得:t=﹣ 又 t=﹣ 时,m=﹣
2 2 2 2 2 2



,③,
2

) =(m﹣t) +n ,④ ,⑤ 或 t=﹣ ,

<﹣2,不合题意, ,0) .

综上:椭圆 C 存在符合条件的内切圆,点 E 的坐标是(﹣
x 2

19. (6 分) (2016?江苏模拟)已知函数 f(x)=e |x ﹣a|(a≥0) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调减区间; (2)若存在 m>0,方程 f(x)=m 恰好有一个正根和一个负根,求实数 m 的最大值. 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系;分段函数的应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)求出 a=1 的 f(x)的解析式,分别求出各段的导数,解不等式即可得到减区 间; (2)讨论 a=0,a>0,通过导数判断单调区间和极值,由方程 f(x)=m 恰好有一个正根和 一个负根,即可求得 m 的范围,进而得到 m 的最大值.
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【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=
x 2



当|x|>1 时,f′(x)=e (x +2x﹣1) , 由 f′(x)≤0 得﹣1﹣ ≤x≤﹣1+ , 所以 f(x)的单调减区间是(﹣1﹣ ,﹣1) ; x 2 当|x|≤1 时,f′(x)=﹣e (x +2x﹣1) , 由 f′(x)≤0 得 x≥﹣1+ 或 x≤﹣1﹣ . 所以 f(x)的单调减区间是(﹣1+ ,1) ; 综上可得,函数 f(x)的单调减区间是(﹣1﹣ ,﹣1) , (﹣1+ ,1) ; x 2 x (2)当 a=0 时,f(x)=e ?x ,f′(x)=e ?x(x+2) , 当 x<﹣2 时,f′(x)>0,f(x)递增,当﹣2<x<0 时,f′(x)<0,f(x)递减, 当 x>0 时,f′(x)>0,f(x)递增. f(﹣2)为极大值,且为 4e ,f(0)为极小值,且为 0,
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﹣2

当 a>0 时,f(x)= 同(1)的讨论可得,f(x)在(﹣∞,﹣ ﹣1)上增,在(﹣ 在(﹣ , ﹣1)上增,在( ﹣1, )上减,在( 且函数 y=f(x)有两个极大值点, f(﹣ ﹣1)= ,f( ﹣1)= ﹣1,﹣ )上减, ,+∞)上增,



且当 x=a+1 时,f(a+1)=e (a +a+1)> 所以若方程 f(x)=m 恰好有正根, 则 m>f(﹣ ﹣1) (否则至少有二个正根) . 又方程 f(x)=m 恰好有一个负根,则 m=f(﹣
﹣x ﹣x

a+1

2



﹣1)>



﹣1) .

令令 g(x)=e (x+1) ,x≥1.g′(x)=﹣xe <0, g(x)在 x≥1 递减,即 g(x)max=g(1)= , 等号当且仅当 x=1 时取到. 所以 f(﹣ 且此时 f(﹣ 即 f(﹣ ﹣1)max=( ) ,等号当且仅当 a=0 时取到. ﹣1)= ﹣1)>f( ( ﹣1) , . ﹣1)=0,
2

所以要使方程 f(x)=m 恰好有一个正根和一个负根,m 的最大值为

20. (16 分) (2016?江苏模拟)已知数列{an}的通项公式为 an=(n﹣k1) (n﹣k2) ,其中 k1, k2∈Z: (1)试写出一组 k1,k2∈Z 的值,使得数列{an}中的各项均为正数; (2)若 k1=1、k2∈N ,数列{bn}满足 bn=
*

,且对任意 m∈N (m≠3) ,均有 b3<bm,写

*

出所有满足条件的 k2 的值; * (3)若 0<k1<k2,数列{cn}满足 cn=an+|an|,其前 n 项和为 Sn,且使 ci=cj≠0(i,j∈N , i<j)的 i 和 j 有且仅有 4 组,S1、S2、…、Sn 中至少 3 个连续项的值相等,其他项的值均不 相等,求 k1,k2 的最小值. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题;综合题;函数思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)通过函数 f(x)=(x﹣k1) (x﹣k2)是与 x 轴交于 k1、k2 两点且开口向上的 抛物线可知,只需知 k1、k2 均在 1 的左边即可;
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(2)通过 k1=1 化简可知 bn=n+ (n)=n+ 不等式组 而言,当 n≤

﹣(1+k2) ,排除 k2=1、2 可知 k2≥3,此时可知对于 f 时 f(n)单调递增,进而解

时 f(n)单调递减,当 n≥

即得结论;

(3) 通过 0<k1<k2 及 an= (n﹣k1) (n﹣k2) 可知 cn=
*

, 结合 ci=cj

≠0(i,j∈N ,i<j)可知 0<i<k1<k2<j,从而可知 k1 的最小值为 5,通过 S1、S2、…、 Sn 中至少 3 个连续项的值相等可知 5=k1≤m+1<m+2<…<k2,进而可得 k2 的最小值为 6. 【解答】解: (1)k1=k2=0; * (2)∵k1=1、k2∈N ,an=(n﹣k1) (n﹣k2) , ∴bn= = =n+ ﹣(1+k2) ,

当 k2=1、2 时,f(n)=n+ 当 k2≥3 时,对于 f(n)=n+ 当 n≤

均单调递增,不合题意; 可知: 时 f(n)单调递增,

时 f(n)单调递减,当 n≥

由题意可知 b1>b2>b3、b3<b4<…, 联立不等式组 ,解得:6<k2<12,

∴k2=7,8,9,10,11; (3)∵0<k1<k2,an=(n﹣k1) (n﹣k2) , ∴cn=an+|an|= ∵ci=cj≠0(i,j∈N ,i<j) , ∴i、j?(k1,k2) , 2 又∵cn=2[n ﹣(k1+k2)n+k1k2], ∴ = ,
*



∴0<i<k1<k2<j, 此时 i 的四个值为 1,2,3,4,故 k1 的最小值为 5, 又 S1、S2、…、Sn 中至少 3 个连续项的值相等, 不妨设 Sm=Sm+1=Sm+2=…,则 cm+1=cm+2=…=0, ∵当 k1≤n≤k2 时 cn=0, ∴5=k1≤m+1<m+2<…<k2, ∴k2≥6,即 k2 的最小值为 6.
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【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷 纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 4-1:几何证明 选讲] 21. (10 分) (2016?江苏模拟)如图:在 Rt∠ABC 中,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,连接 AE 交⊙O 于点 F,求证:BE?CE=EF?EA.

【考点】圆的切线的性质定理的证明. 2 【分析】欲证明 BE?CE=EF?EA.在圆中线段利用由切割线定理得 EB =EF?FA,进而利用 四边形 BODE 中的线段,证得 BE=CE 即可. 【解答】证明:因为 Rt△ABC 中,∠ABC=90° 所以 OB⊥CB 所以 CB 为⊙O 的切线(2 分) 2 所以 EB =EF?FA(5 分) 连接 OD,因为 AB=BC 所以∠BAC=45° 所以∠BOD=90° 在四边形 BODE 中,∠BOD=∠OBE=∠BED=90° 所以 BODE 为矩形(7 分)
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所以 即 BE=CE. 所以 BE?CE=EF?EA. (10 分)

B.[选修 4-2:矩阵与变换] 22. (2016?江苏模拟)已知矩阵 A=
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,求矩阵 A 的特征值和特征向量.

【考点】特征值与特征向量的计算. 【专题】计算题;方程思想;综合法;矩阵和变换. 【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式,令 f(λ)=0 解方程可得特征值,再由特征 值列出方程组求出相应的特征向量.
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【解答】B.矩阵 A 的特征多项式为 由 f(λ)=0,解得 λ1=2,λ2=3. .…(4 分) 当 λ1=2 时,特征方程组为

,…(2 分)

故属于特征值 λ1=2 的一个特征向量

;…(7 分)

当 λ2=3 时,特征方程组为

故属于特征值 λ2=3 的一个特征向量

. …(10 分)

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?江苏模拟)在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,以极点为坐 标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 (t 为参

数) ,求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】求出曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心与半径,直线的参数方程 为普通方程,利用圆心距半径半弦长满足勾股定理求解弦长即可.
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【解答】解:曲线 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣2x﹣2y=0,圆心为(1,1) ,半径为 分) 直线的直角坐标方程为 x﹣y﹣ =0, (5 分) 所以圆心到直线的距离为 d= 所以弦长=2 = . (10 分) = , (8 分)

2

2

, (3

D.[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?江苏模拟)设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+ 【考点】不等式的证明. 【专题】不等式. ≥2y+3.

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【分析】因为 x>y,所以 x﹣y>0,所以不等式左边减去 2y 得:2x+

=(x

﹣y)+(x﹣y)+

,这样便可证出本题.

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【解答】证明:由题设 x>y,可得 x﹣y>0; ∵2x+ ﹣2y=2(x﹣y)+ =(x﹣y)+(x﹣y)+ ;

又(x﹣y)+(x﹣y)+

,当 x﹣y=1 时取“=“;

∴2x+

﹣2y≥3,即 2x+

≥2y+3.

四.【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. (2016?江苏模拟)甲、乙两人投篮命中的概率为别为 与 ,各自相互独立,现两人做 投篮游戏,共比赛 3 局,每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后,甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E (ξ) . 【考点】随机事件;离散型随机变量及其分布列. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个,有以下几种情况:甲进 1 球,乙 进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球.由此能求出比赛结束后甲的进球数比 乙的进球数多 1 个的概率. (2)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列 和 Eξ. 【解答】解: (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个,有以下几种情况: 甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球. 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率:
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p=

+

+

=



(2)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P (ξ=0) = + P(ξ=1)= + = P(ξ=3)= P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)=1﹣
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+ = = , + , = ,

+

+

=



∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ=

0

1

2

3

=1.

26. (2016?江苏模拟) 若存在 n 个不同的正整数 a1, a2, …, an, 对任意 1≤i<j≤n, 都有 ∈Z,则称这 n 个不同的正整数 a1,a2,…,an 为“n 个好数”. (1)请分别对 n=2,n=3 构造一组“好数”; (2)证明:对任意正整数 n(n≥2) ,均存在“n 个好数”. 【考点】进行简单的合情推理. 【专题】综合题;转化思想;综合法;推理和证明. 【分析】 (1)利用新定义,分别对 n=2,n=3 构造一组“好数”; (2)利用数学归纳法进行证明即可.
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【解答】解: (1)当 n=2 时,取数 a1=1,a2=2,因为 当 n=3 时,取数 a1=2,a2=3,a3=4,则 =﹣5∈Z,

=3∈Z, =﹣7∈Z, =﹣3∈Z,即

a1=2,a2=3,a3=4 可构成三个好数. (2)证:①由(1)知当 n=2,3 时均存在, ②假设命题当 n=k(k≥2,k∈Z)时,存在 k 个不同的正整数 a1,a2,…,ak, 使得对任意 1≤i<j≤k,都有 ∈Z 成立,

则当 n=k+1 时,构造 k+1 个数 A,A+a1,A+a2,…,A+ak, (*) 其中 A=1×2×…×ak, 若在(*)中取到的是 A 和 A+ai,则 若取到的是 A+ai 和 A+aj,且 i<j, 则 = + ,由归纳假设得 ∈Z, =﹣ ﹣1∈Z,所以成立,

又 aj﹣ai<ak,所以 aj﹣ai 是 A 的一个因子,即

∈Z,

所以

=

+

∈Z,

所以当 n=k+1 时也成立. 所以对任意正整数,均存在“n 个好数”.
第 24 页(共 26 页)

第 25 页(共 26 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;sxs123;刘老师;minqi5;w3239003;whgcn; zhczcb;刘长柏;maths;742048;双曲线;炫晨;zlzhan;lcb001;cst;yhx01248;qiss; wkl197822(排名不分先后) 菁优网 2016 年 11 月 9 日

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