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一元二次不等式的解法(3)


1.5 一元二次不等式的解法(3)

知识回顾:

设 a ? b ,则 x ? a ? 0 ? ( x ? a)(x ? b) ? 0 ? x ? a, 或x ? b. x ?b x ? a ? 0 ? ( x ? a)(x ? b) ? 0 ? a ? x ? b. x ?b x ? a ? 0 ? ?( x ? a)(x ? b)

? 0 ? x ? a, 或x ? b. ? x ?b ?x ? b ? 0

x ? a ? 0 ? ?( x ? a)(x ? b) ? 0 ? a ? x ? b. ? x ?b ?x ? b ? 0

x ? 1 ? a (a ? R). 例1 解不等式 x ?1 解: x ? 1 ? a ? x ? (1 ? a) ? 0 x ?1 x ?1 ? ax ? 1 ? a ? 0 ? (ax ? 1 ? a)(x ? 1) ? 0 x ?1 (1) 当 a ? 0 时, 原不等式 ? ( x ? a ? 1)(x ? 1) ? 0 a a ? 1 ? ? x ? 1; a (2) 当 a ? 0 时, 原不等式? x ? 1 ? 0 ? x ? 1; a ? 1 (3) 当 a ? 0 时, 原不等式 ? ( x ? )(x ? 1) ? 0 a ? x ? 1, 或 x ? a ?1 . a

综上所述,原不等式解集为:

a ? 1 { x | ? x ? 1} ; (1) 当 a ? 0 时, a {x | x ? 1 }; (2) 当 a ? 0 时,
a ? 1 { x | x ? 1 , 或 x ? }. (3) 当 a ? 0 时, a

例2. 已知不等式ax ? bx ? c ? 0的解集
2

{ x | 2 ? x ? 3},求不等式cx 2 ? bx ? a ? 0的解集.

解: ax ? bx ? c ? 0的解集 { x | 2 ? x ? 3}.
2

? a ? 0, 2 、是方程 3 ax 2 ? bx ? c ? 0的根 . b c b c 即 ? ? 5 , ? 6. ? 2 ? 3 ? ? ,且2 ? 3 ? . a a a a 2 a ? 0 ,? cx ? bx ? a ? 0 ? c x 2 ? b x ? 1 ? 0 a a 2 即 6 x ? 5 x ? 1 ? 0 解得x ? 1 或x ? 1
3 2
? 原不等式的解集 { x | x ? 1 或x ? 1 } . 3 2

例 3 20 .若不等式组

? x2 ? x ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 x ? ( 5 ? 2k ) x ? 5k ? 0
的整数解只有-2,k应取怎样的值?

x2 ? x ? 2 ? 0 解:? ? x ? ?1 或 x ? 2 ?? ? 2 ?2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0 ?(2 x ? 5)( x ? k ) ? 0

? ? x ? ?1 或 x ? 2 要不等式组的整数解只有-2, 原不等式组 ?? 5 ? ? x ? ?k ? ? 2
?

。 5
2

?2

.

。 ?1

。 。 2 ?k 3

.

x

? k 需满足: ? 2 ? ?k ? 3

? ?3? k ? 2.

例4.

例4.

2 例5 2.设 M ? {x | x ? (m ? 1) x ? 4 ? 0, 0 ? x ? 3},

求满足 card( M ) ? 2 的m 范围 .
解: 根据已知条件可得:

?? ? (m ? 1) 2 ? 16 ? 0 ? 2 0 ? (m ? 1)0 ? 4 ? 0 ? ? ?32 ? ( m ? 1)3 ? 4 ? 0 ? ?0 ? m ? 1 ? 3 ? 2 ?
10 解得 3 ? m ? . 3

y 或m ? 3 ?m ? ?5, ?4 ? 0 ? ? 即? 10 x x ?m ? 3 1 2 O 3 ? ? ?0 ? m ? 5

x

2 x ? 1 例6.已知A ? { x | ? 0},B ? { x | 2 x ? x ? 6 ? 0}, x?4 全集U ? R, 求 A B,A B , (C U A ) B.

解: A ? { x | ?1 ? x ? 4} , CU A ? { x | x ? ?1 , 或 x ? 4} B ? { x | (2 x ? 3)( x ? 2) ? 0} ? { x | x ? ? 3 或x ? 2} 2
-3/2 -1 2
。 4

? A

A B ? { x | 2 ? x ? 4} ,

B ? { x | x ? ? 3 , 或x ? ?1} 2

-3/2 -1

2

4

(CU A ) B 3 ? {x | x ? ? , 或 x ? 4} . 2


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