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浙江省宁波市北仑中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题(3-10班)


北仑中学 2015 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷
(供高二(3)-(10)班用) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、若 (1 ? 2 x)n 的展开式中仅第 5 项二项式系数最大,则 n 的值是( (A)6; (B) 7; (C)8 ; (
2



(D) 9. ) (D) 8? x .
2

2、已知函数 f ( x) ? (2? x)2 ,则 f / ( x) ? (A) 4? x ; (B) 8? x ;

(C) 4? x ; (

3、在电话号码中后四个数全不相同的概率为
4 A4 (A) 4 10 4 A10 (B) 4 10



1 (C) 4 A4

A44 (D) 4 A10

4、有两条平行直线 a 和 b ,在直线 a 上取 4 个点,直线 b 上取 5 个点,以这些点为顶点作 三角形,这样的三角形共有( ) (A)70; (B) 78; (C)80; (D)84. 5、如果函数 y ? f ( x)( x ? R) 在 R 上处处可导, P :函数 y ? f ( x)( x ? R) 是偶函数,

q :函数 y ? f / ( x)( x ? R) 是奇函数.则 P 是 q 的( )
(A)充分不必要条件;(B) 必要不充分条件;(C)充要条件; (D) 既不充分也不必要条件. 6、有 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上,若快车 A 不能停在第三条轨道上,货车 B 不 能停在第一条轨道上,则五列火车的停车方法有( )种. (A)72; (B) 78; (C)96 ; (D)120.

b?c x2 y2 7、已知 c 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距,则 的取值范围是 a a b
(A)(1, +∞) ; (B) ( 2 , ? ?) ; (C) (1,

(

)

2) ;

(D) (1,

2].

8、设函数 f ? x ? 满足x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?
2

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? ( x 8
(B)有极小值,无极大值 ; (D)既无极大值也无极小值.

)

(A)有极大值,无极小值; (C)既有极大值又有极小值 ;

二、填空题(9、10、11 题每空 3 分,12、13、14、15 每空 5 分,共 38 分) 9、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为____ 8 4

___,离心率为



10、 x ? 2 x
3

?

?

7

的展开式的第 4 项的二项式系数是

,所有项的系数和是

.
1

11、四个标有 1、2、3、4 号码的小球都放入四个标有 1、2、3、4 号码的盒中,恰有一个空 盒有 种不同的放法,每盒一球且仅一组球盒同号有 种不同的放法. 12、设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f / (1) ? .

13、在一次口试中,要从 10 道题中随机抽出 3 道题进行回答,答对了其中 2 道题就获得及 格,某考生会回答 10 道题中的 6 道题,那么他获得及格的概率是 . 14、用 0 到 5 这 6 个数字,可以组成 个同时满足以下两个条件的五位数: (1)有 重复数字; (2)偶数字在奇数位,奇数字在偶数位. 2 15、函数 f(x)=2ln x 的图像与函数 g(x)=x -4x+5 的图像的交点个数为 . 三、解答题(18、19、20、21 题每题 14 分,22 题 16 分,共 72 分) 16、 (14 分)从 5 名语文老师、6 名数学老师和 5 名英语老师中, (I)每科安排 2 名老师,承担期中考试的命题和审题工作,有多少种不同的安排方法? (II)每科各 选 2 名老师排成一排,数学老师都不相邻,且英语老师都排在一起的概率是多少? (Ⅲ)选派 6 名老师参加一个座谈会,至少有 2 名语文老师的概率是多少?

17、 (14 分)已知曲线 C : y ? ax3 ? 8a 经过定点 P . (I)若 M (1,3) 在曲线 C 上,求 y
/ x?a

的值;

(II )求曲线 C 经过点 P 的切线方程.

18、 (14 分)已知 ( x ?

2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14:3, x2

(I)求 n 的值; (II)求展开式的常数项; (Ⅲ)求展开式系数最大的项.

19、 (14 分)如图,点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴位于 x 轴下方的端点,过 A 作斜 a 2 b2

率为 k 的直线交椭圆于另一点 B . (I)若 k ? 1 ,点 P (0,1)满足 BP // x 轴, AP ? AB ? 9 ,求椭圆的方程; (II)求 ?OAB ( O 为坐标原点)面积的最大值及此时斜率 k 的值.

??? ? ??? ?

2

20、 (16 分)已知函数 f ( x) ? x ?

a ? ln x . x

(I)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 在区间 ? , 4 ? 上的最大值和最小值; 2 (II)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
2 (Ⅲ)若对于 ?a ? ? , 2e ? ,函数 f ( x ) 满足对于 ?x ??1, e? 都有 f ( x) ? m 成立.求实数 m 的 e

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

取值范围.

3

北仑中学 2015 学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷 (供高二(3——10)班使用) 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二.填空题(共 7 题,每小题 4 分,共 28 分 ) 9. 11. 13. 15. 三.解答题(共 5 题,72 分) 16(14 分) 、 、 ; 10. ; 12. ; 14. . 、 ; ; ;

17.(14 分)

4

18. (14 分)

19 (14 分)

5

20(16 分)

6

答案:1---8CDBAC BDD 9、 y ? ?

2 6 . x ,离心率为 2 2
13、

10、 35 , ?1 .

11、144;

8

12、 2

2 3

14、 138

15、

2

2 2 2 16、(I) A5 A6 A5 ? 12000 种
2 2 3 3 2 C52C6 C5 A3 A4 A2 2 ? 2 2 2 6 C5 C6 C5 A6 5

(II) p ?

6 1 5 C11 ? C5 C11 9 17 (Ⅲ) p ? 1 ? ? 1? ? 6 C16 26 26

17、 (I)若 M (1,3) 在曲线 C 上,则 a ? 已知曲线 C : y ? ax3 ? 8a 经过定点 P . 求y
/ x?a

1 / ,则 y / ? x 2 , y 3

x?a

?

1 9

的值;

(II)定点 P 的坐标为 (?2, 0) , y / ? 3ax2 若 P 为切点,则 k ? 12a ,切线方程为 12ax ? y ? 24a ? 0 ;

y0 , y0 ? ax03 ? 8a ,解得 x0 ? 2 , k ? 3a ,切线方程为 3ax ? y ? 6a ? 0 x0 ? 1 或 x0 ? ?2 (舍去) 综上,曲线 C 经过点 P 的切线方程为 12ax ? y ? 24a ? 0 和 3ax ? y ? 6a ? 0 .
若 P 不是切点,设切点为 Q( x0 , y0 ) ,则有 k ? 3ax0 ?
2

18、已知:已知 ( x ? (I) n ? 10 ;

2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3, x2

(II)展开式的常数项为 T3 ? 180 ; (Ⅲ)展开式系数最大的项为 T7 ? 13440 x?10 . 19、 (I)若 k ? 1 ,点 P (0,1)满足 BP // x 轴, AP ? AB ? 9 ,椭圆的方程为

??? ? ??? ?

x2 y 2 C: ? ?1 12 4
(II)设直线 AB: y ? kx ? b , B( x1 , y1 ) ,将 y ? kx ? b 与

x2 y 2 2kba 2 ? ? 1 x ? 联立解得 , 1 a 2 b2 a 2k 2 ? b2

7

则 AB ? 1 ? k

2

2kba 2 ,原点到直线 AB 的距离 d ? a 2k 2 ? b2

?b 1? k 2



S?OAB ?

b2 a 2 k 1 AB d ? 2 2 ? 2 a k ? b2

1 ? ab ,当且仅当 k ? ?1 是取等号.所以 ?OAB ( O 为 b 2 a2 k ? k
2

b2 a 2

坐标原点)的面积得最大值为

1 ab ,此时 k ? ?1 . 2 a 20、已知函数 f ( x) ? x ? ? ln x . x
/ ( I ) 当 a ? 2 时 , f ( x) ? 1 ?

2 1 x2 ? x ? 2 ? ? ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?2 ( 舍 去 ) ,显然当 x2 x x2

1 x ? ( ,1) 时,函数 f ( x) 递减,当 x ? (1, 4) 时,函数 f ( x) 递增,所以 f ( x) 得最小值为 f (1) ? 3 ; 2 1 9 而 f (4) ? f ( ) ? 0 , f ( x ) 最大值为 f (4) ? ? 2 ln 2 2 2

求函数 f ( x ) 在区间 ? , 4 ? 上的最大值和最小值; 2 (II) f ( x) ? 1 ?
/

?1 ?

? ?

a 1 x2 ? x ? a ? ? (x ? 0) x2 x x2

/ / 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 递增;当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 得 x ?

?1 ? 1 ? 4a 2

或x?

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a (舍去) , f ( x ) 在 (0, ) 递减, f ( x) 在 ( , ??) 递增. 2 2 2 ?1 ?
a

2 (Ⅲ)对于 ?a ? ? , 2e ? , f ( x) ? x ? ? ln x ? m ,( x ? 0 )恒成立,则 x ?e ?

x?

2e 2 2e2 ? ln x ? m .设 g ( x) ? x ? ? ln x ,又对于 ?x ??1, e? 都有 f ( x) ? m 恒成立,则 x x

?1 ? 2e 2 ? m ? g (1) ? m ? 1 ? 2 ,因为 2e ? 1 ? 3e ? 1 , g ( x)max ? max? f ( ), f (2 e2 ? ) ? m,即有 ? ? ? g ( e ) ? m 3 e ? 1 ? m e ? ? ? ?
2 所以 m ? 2e ? 1 ,即所求实数 m 的取值范围是 (2e ? 1, ??) .
2

8


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