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弧度制及同角三角函数计算公式


弧度制及同角三角函数计算公式
一、弧度制
平面几何里角的度量,规定周角的 1/360 为 1 度的角,这种用度作单位来度量角的 制度叫做角度制。 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

如图 2—6,弧 AB 的长度等于半径 r,弧 AB 所对的圆心角∠AOB 就是 1 弧度的角,在 图 2—7 中,圆心角∠AOC 所对的弧 AC 的长 l=2r,那么∠AOC 的弧度数即为:l/r=2r/r=2 如果圆心角所对的弧的长 l=2πr(即弧是一个整圆) ,那么这个圆心角的弧度数是:

l/r=2πr/r=2π
如果圆心角表示一个负角,且它所对的弧的长 l=4πr,那么这个角的弧度数的绝对值 是:

l/r=4πr/r=4π。 即此角的弧度数是—4π。
一般规定:正角的弧度数为正数。负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,任一已 知角α的弧度数的绝对值:

|α|=l/r
其中 l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度”做单位 来度量角的制度叫做弧度制。 根据上面的公式

|α|=l/r,可以得到:

l= |α|.r
即圆弧的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积。这个圆弧长公式比 采用角度制时的相应公式 l=nπr/180 要简单一些。 例、利用弧度制来推导扇形面积公式 s=1/2.l.R,其中 l 是扇形的弧长,R 是圆的半径。 解:因为圆心角为 1 弧度的扇形的面积为
1 2π

. π.R2,而弧长为 l 的扇形的圆

心角的弧度数为 l/R,所以它的面积为:

S=l/R× ×πR2=1/2.lR


1

一个角用度和弧度来表示时的换算公式:

360°=2π弧度; 180°=π弧度.
由此还可得到:

1°=π/180 弧度≈0.01745 弧度。

1 弧度=(
度 弧度 0° 0 30° 45°

180° π

)°≈57.30°=57°18′
90° 180° 270° 360°

特殊角的度数与弧度数的对于表: 60°

π/6

π/4

π/3

π/2

π

3π/2



二、同角三角函数计算公式 设α是一个任意大小的角,角α的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y) ,它与原点的距 离是 r(r>0) ,图 2—11,那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是:

sin α=y/r,cosα=x/r tgα=y/x,ctgα=x/y 角 α的正割: sec α=r/x 角 α的余割: csc α=r/x

同角三角函数的基本关系式:
(1)倒数关系:

sin α×csc α=1 cosα×sec α=1 tgα×ctgα=1
(2)商数关系:

tgα= sin α/ cosα ctgα= cosα/ sin α
(3)平方关系:

Sin2 α+cos2 α=1 2 2 1+ tg α= sec α 2 2 1+ ctg α= csc α
利用上述(1) 、 (2 ) 、 (3)这些关系式,可以根据一个角的某一个三角函数值,求

出这个角的其他三角函数值。 公式二:

Sin(180°+ α)=- sin α cos(180°+ α)=- cos α tg(180°+ α)= tg α ctg(180°+ α)=ctg α
公式三:

Sin(- α)=- sin α cos(- α)= cos α tg(- α)=- tg α ctg(- α)=-ctg α
公式四:

Sin(180°- α)= sin α cos(180°- α)=- cos α tg(180°- α)=- tg α ctg(180°- α)=-ctg α
公式五:

Sin(360°- α)=- sin α cos(360°- α)= cos α tg(360°- α)=- tg α ctg(360°- α)=-ctg α
终边相同的角的同一三角函数的值相等。

公式一:

Sin(k.360°+ α)= sin α cos(k.360°+ α)= cos α tg(k.360°+ α)= tg α ctg(k.360°+ α)=ctg α
公式一、二、三、四、五均叫做诱导公式。利用诱导公式求任意角的三角函数值, 一般可按下面的步骤进行: 任意负角的三角函数 用公式三、一 任意正角的三角函数 用公式一

0°~360°间角的三角函数 用公式二、四、五

0°~90°间角的三角函数

查表

求值

两角和与差公式:

Sin( α ±β)= sin α. cos β ±cos α Sinβ cos( α ±β)= cos αcos β ? sin αSinβ

tg( α ±β)=
倍角公式:

tg α ±tg β 1? tg α tg β

Sin2 α=2 sin αcosα cos2α=cos2α-Sin2α=2 cos2α-1=1-2 Sin2α
tg2α=2tgα/1-tg2α
半角公式:
α 2 α 2 1? 2 1+ 2 1— 1+ 1 2

Sin cos tg
积化和差公式:
α 2

= ± = ±

= ±

=

1?cos α sin α

=

sin α 1+cos α

Sinαcosβ = [sin α + β + sin α ? β ]

cosαsinβ =

1 2

[sin α + β ? sin α ? β ]
1 2

cosαcosβ = ? [cos α + β + cos α ? β ] sinαsinβ = ? [cos α + β ? cos α ? β ]
2 1

和差化积公式:

Sinα+sinβ=2sin

α +β 2 2 2

cos

α?β 2 α?β 2 α?β 2 α?β 2

Sinα-sinβ=2cos cosα+cosβ=2cos

α +β

sin

α +β

cos
2

cosα-cosβ=-2sin
万能公式:
α

α +β

sin

Sinα=2tg /(1+tg2 )
2 2

α

cosα = (1—tg2 )/(1+tg2 )
2 2

α

α

tgα=2tg /(1—tg2 )
2 2

α

α

关于反三角函数:
(一)反正弦函数
π π

函数 y=sinx (x∈ [? , ])的反函数叫做反正弦函数,记
2 2

作 x=arc siny。 习惯上用字母 x 表示自变量,用 y 表示函数,所以反正弦函 数 可 以 写 成 y=arc sinx 。 它 的 定 义 域 是 [ — 1 , 1] , 它 的 值 域 是 [? , ] 。
2 2 π π

注:有的书把反正弦函数写作 y=sin-1x,同理,反余弦函数、反正切 函数、反余切函数也可写作:cos-1x、tg-1x、tg-1x、ctg-1x。


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