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高中数学 第二章 从位移的合成到向量的加法知能迁移素材 北师大版必修4


知能迁移:从位移的合成到向量的加法
1.下列命题中真命题的个数为 ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; ②若 AB = DC ,则 A、B、C、D 是一个平行四边形的四个顶点; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. A.4 答案 D 2.在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 DB= OB.DC 与 OA 交于 E, 设 OA =a, OB =b,用 a,b 表示向量 OC , DC . 解 因为 A 是 BC 的中点, 所以 OA = ( OB + OC ),即 OC =2 OA - OB =2a-b;
DC = OC - OD = OC -





B.3

C.2

D.1

1 3

1 2

5 2 2 OB =2a-b- b=2a- b. 3 3 3 1 3

3.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, (a+b)三 向量的终点在同一条直线上? 解 设 OA =a, OB =tb, OC = (a+b), ∴ AC = OC - OA =- a+ b, AB = OB - OA =tb-a. 要使 A、B、C 三点共线,只需 AC = ? AB 即- a+ b= ?t b- ? a
2 ? 2 ? ?? 3 ? ? ? ?? ? 3 ? ? ∴有 ? ,∴ ? ? 1 ? ?t ?t ? 1 ? ? ? 2 ?3
2 3 1 3 2 3 1 3

1 3

∴当 t= 时,三向量终点在同一直线上. 4.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 上, 且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值. 解 方法一 设 e1= BM ,e2= CN , 则 AM = AC + CM =-3e2-e1,

1 2

BN = BC + CN =2e1+e2.

因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线,所以存在实数 ? 、 ? , 使 AP = ? AM =-3 ? e2- ? e1,
BP = ? BN

=2 ? e1+ ? e2,∴ BA = BP - AP =( ? +2 ? )e1+(3 ? + ? )e2,

另外 BA = BC + CA =2e1+3e2,
4 ? ?? ? ?? ? 2? ? 2 ? 5 ,∴ ? , ? ?3? ? ? ? 3 ?? ? 3 ? 5 ?

∴ AP =

3 4 AM , BP = BN ,∴AP∶PM=4∶1. 5 5

方法二 设 AP = ? AM , ∵ AM = ( AB + AC )= ∴ AP =
1 2 1 3 AB + AN , 2 4

3 ? AB + ? AN . 2 4

∵B、P、N 三点共线,∴ AP - AB =t( AB - AN ), ∴ AP =(1+t) AB -t AN
?? ? 2 ? 1? t ∴? ? ? 3 ? ? ?t ? ?4



4 ? 3 + ? =1, ? = ,∴AP∶PM=4∶1. 2 4 5


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