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云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学理试题 Word版含答案


绝密★启用前

【考试时间:5月6日 15∶00—17∶00】

昆明市 2013 届高三复习适应性检测

理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 4 页,第Ⅱ卷 5 至 8 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分,考试用时 120 分钟.

注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 卡上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定 的位置贴好条形码. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)复数

2i ( i 是虚数单位)的虚部是 1? i (A) i (B) ? i (C)1

(D) ? 1

(2)对某班级 50 名学生学习数学与学习物理的成绩进行调查,得到如下表所示: 数学成绩较好 物理成绩较好 物理成绩一般 合计 18 6 24 数学成绩一般 7 19 26 合计 25 25 50

由 K2 ?

50 ? (18 ?19 ? 6 ? 7) 2 n(ad ? bc)2 2 ? 11.5 ,解得 K ? 25 ? 25 ? 24 ? 26 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是 (A)在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下,认为“数学成绩与物理成绩有关” (B)在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下,认为“数学成绩与物理成绩无关” (C)有 100 0 0 的把握认为“数学成绩与物理成绩有关” (D)有 99 0 0 以上的把握认为“数学成绩与物理成绩无关”

(3)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC ,得到三棱锥 C-ABD,其 正视图与俯视图为全等的等腰直角三角形,如图所示,则侧视图的面积为 (A)

1 4

(B)

1 2
正视图

2 (C) 2

(D)1

俯视图

(4)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a5 ? 4a3 ,则数列 ?an ? 的前 10 项的和等于 (A)23 (B)95 (C)135 (D)138

(5)下列程序框图中,某班 50 名学生,在一次数学考试中, an 表示学号为 n 的学生的成 绩,则 (A)P 表示成绩不高于 60 分的人数; (B)Q 表示成绩低于 80 分的人数; (C)R 表示成绩高于 80 分的人数; (D)Q 表示成绩不低于 60 分,且低于 80 分人数.


开始 开始 n=1,P=0,Q=0,R=0

输入 an
an ? 60


an ? 80

是 P=P+1 Q=Q+1

否 R=R+1

n=n+1 否
n ? 50

是 输出P、Q、R 开始 结束

(6)设抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 过抛物线 C 的焦点 F ,且与 C 的对称轴垂直,
2

l 与 C 交于 Q、R 两点, S 为 C 的准线上一点,若 △QRS 的面积为 8 ,则 p ?
(A) 2 (B) 2 (C) 2 2 (D) 4

(7)已知函数 f ( x) ? 2sin x( 3 cos x ? sin x) ?1 ,若 f ( x ? ? ) 为偶函数,则 ? 的一个值 为 (A)

?
2

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

?
6

(8)命题 p1 :若函数 f ( x) ?

x ? (?

? ?
2 , 2

1 在 (??, 0) 上为减函数,则 a ? ( ??, 0) ;命题 p2 : x?a

) 是 f ( x) ? tan x 为增函数的必要不充分条件;命题 p3 :“ a 为常数,?x ? R ,

f ( x) ? a2 x2 ? ax ? 1 ? 0 ”的否定. 以上三个命题中,真命题的个数是
(A) 3 (B) 2 (C)1 (D) 0

? ? (9)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 与 AC 、 AB 所成角均为 60 , ?BAC ? 90 ,且

AB ? AC ? AA ?1 ,则 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 1
(A)1 (B) ?1 (C)

3 3

(D) ?

3 3

(10) 若函数 y ? e ? e
x

?x

? 3x (? 3? 4

1 1 ? x ? ) 的图象上任意点处切线的倾斜角为 ? , ? 的 则 2 2
(C)

最小值是 (A)

5? 6

(B)

? 4

(D)

? 6

(11)过双曲线 C :

a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 左焦点 F 斜率为 的直线 l 分别与 C 的两渐 2 b a b

近线交于点 P 与 Q ,若 FP ? PQ ,则 C 的渐近线的斜率为 (A) ? 3 (B) ?2 (C) ?1 (D) ? 5

??? ?

??? ?

? (12) f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, x ? R , 设 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 且当 x ?[0, 2]
时, f ( x) ? 2x ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a ( x ? 1) ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (?1, 9] 内恰有 三个不同零点,则实数 a 的取值范围是

1 1 ) ? ( 3, 7) 9 5 1 (C) ( , 1) ? (1, 3) 9
(A) ( ,

(B) (0,

1 ) ? ( 7, ? ?) 9 1 1 (D) ( , ) ? ( 5, 3) 7 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上

?x ? y ? 1 ? 0 ? (13) x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 设 若目标函数 z ? ax ? y ?a ? 0? 的最大值为10 , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
则a ? .

2 (14)在 ( x ? ) 展开式中,不含 x 的项的系数和是
7

1 x

.

(15)某一部件由四个电子元件按如图方式连结而成,已知每个元件正常工作的概率为 p , 且每个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为
元件2 元件1 元件3 元件4 元件2

.

(16)数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列且 bn ? 则 a21 ?

an ?1 ,若 b10 ? b11 ? 2 , an

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

a c ? , 3 cos A sin C

(18)某种报纸,进货商当天以每份进价 1 元从报社购进,以每份售价 2 元售出。 频率 组距 若当天卖不完,剩余报纸报社以每份 0.5 元的价格回收。根据市场统计,得到这个 0.0035 季节的日销售量 X (单位:份)的频率分 0.003 布直方图(如图所示) ,将频率视为概率。 0.002 a (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)若进货量为 n (单位:份) ,当 O X 时,求利润 Y 的表达式; 150 n? (Ⅲ) 若当天进货量 n ? 400 , 求利润

250

350

450 550

日销售量(份)

Y 的分布列和数学期望 E (Y ) (统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表) .

(19)如图,四边形 ABCD 是正方形, PD ∥ MA , MA ? AD , PM ? 平面CDM ,

MA ?

1 PD . 2

(Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 AMPD ;
? (Ⅱ)若 BC 与 PM 所成的角为 45 ,求二面角 M ? BP ? C 的余弦值.

C B D P A M

(20)已知 F (c , 0) 是椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,圆 F : ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 2 a b

与 x 轴交于 E、D 两点, B 是椭圆 C 与圆 F 的一个交点,且 BD ? 3 BE . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,且 △ ABD 的面积等于

24 6 c ,求椭圆 C 的方程. 13

(21)设函数 f ( x) ? ln x ?

a 2 x ? (a ? 1) x ( a ? 0 , a 为常数) 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明:当 x ? 1 时, f ( x) ?

1 2 2x x ? ? x. 2 x ?1

选考题(本小题满分 10 分)
请考生在第(22)(23)(24)三道题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡第Ⅰ卷 、 、 选择题区域内把所选的题号涂黑. 注意:所做题目必须与所涂题号一致. 如果多做,则按所 做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, BA 是圆 O 的直径, C 、 E 在圆 O 上, BC 、 BE 的延长线交直线 AD 于点 D 、

F , BA2 ? BC ? BD .求证:
(Ⅰ)直线 AD 是圆 O 的切线; (Ⅱ) ?D ? ?CEF ? 180 .
?

D

C

E

F
A

B

·

O

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2, (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若 ? ? ?0,

?
4

) ,半径 r ? 3 .

? x ? 2 ? t cos? ? ?? ( t 为参数) ,直线 l 交圆 C ? ,直线 l 的参数方程为 ? ? 4? ? y ? 2 ? t sin ?

于 A、B 两点,求弦长 AB 的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 x ; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? ax ? 1 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

昆明市 2013 届高三复习适应性检测

理科数学参考答案及评分标准
一.选择题: 1.C 2.A 7.B 8.D 3.A 9.C 4.B 10.B 5.D 11.A 6.C 12.A

二、填空题: 13.2 14. 7 15. p 2 ? p3 ? p 4 16.1024

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得,
a 3 cos A ? c a ? sin C sin A

从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

.........5 分 ........

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (12,18] ..........12 分 ........ 法二:由正弦定理得:
b c 6 ? ? ?4 3. sin B sin C sin ? 3

?
3

3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,
2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B)? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3 ? sin B ? cos B ? ? 12 ? ?2 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 2 ? ? ? ?

?? ? ? 12sin ? B ? ? . 6? ?


?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?? ? ? ∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 6? 3 ?
从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (12,18] ..........12 分 ........

18 . 解 : Ⅰ ) 由 图 可 得 : 100a ? 0.002 ?100 ? 0.003 ?100 ? 0.0035 ?100 ? 1 , 解 得 ( a ? 0.0015 .........2 分 ........ (Ⅱ)? n ? X ,?Y ? (2 ? 1) X ? (n ? X )0.5 ? 1.5 X ? 0.5n .........7 分 ........ (Ⅲ)若当天进货量 n ? 400 ,依题意销售量 X 可能值为 200 , 300 , 400 ;对应的 Y 分 别为:100,250,400. 利润 Y 的分布列为: 100 250 400 Y

P

0.20

0.35

0.45

所以, E (Y ) ? 0.20 ?100 ? 250 ? 0.35 ? 0.45 ? 400 ? 287.5 (元)......12 分 ......

19.解: (I)? PM ? 平面 CDM ,且 CD ? 平面 CDM ,

? PM ? CD , 又 ABCD 是正方形,? CD ? AD ,而梯形 AMPD 中 PM 与 AD 相交,
?CD ? 平面 AMPD ,
又 CD ? 平面 ABCD , ........ ? 平面 ABCD ? 平面 AMPD .........4 分 ( II ) ? CD ? 平 面 A M P D 则 ,

z
C B D P M

C D? P D CD ? AD , ,
又 PD ∥ MA , MA ? AD , ? PD ? AD , 以点 D 为原点, DA, DP, DC 依次 为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系,

y

1 A 不妨设 MA ? PD ? 1 , AD ? a . 2 则 A(a,0,0) , M (a,1,0) , x B(a,0, a) , .....6 C (0,0, a) , P(0, 2, 0) ..... 分 ???? ? ??? ? PM ? (a, ?1,0) , BC ? (?a,0,0) , ? 由 BC 与 PM 所成的角为 45 , ???? ??? ? ? a2 2 ? 得 cos ? PM , BC ? ? 2 2 a ?1 ? a
解得 a ? 1 .........8 分 ........

??? ? ???? ? ? BP ? (?1, 2, ?1) , PM ? (1, ?1,0) ,
求得平面 MBP 的一个法向量是

?? .........9 n1 ? (1,1,1) ;........ 分

??? ? ??? ? BC ? (?1,0,0) , BP ? (?1, 2, ?1) , ?? ? 求得平面 CBP 的一个法向量是 n2 ? (0,1, 2) ;........ .........10 分 ?? ?? ? ?? ?? ? n ? n2 1? 2 15 则 cos ? n1 , n2 ?? ??1 ?? ? ,........ .........11 分 ? ? 5 3? 5 n1 ? n2
故二面角 M ? BP ? C 的余弦值为 ? (其他做法参照给分)

15 .......... .........12 分 5

20.解: (Ⅰ)由题意, B(0 , b) , E (c ? a , 0) , D(c ? a , 0) , ∵ BD ? 3 BE , ?EBD ? 90
?

y B

1 得 BE ? ED ? a , 2
2 2 2 由 BE ? (c ? a ) ? b ? a , 2

A E O F D x

得 a ? 2c , 即椭圆 C 的离心率 e ? (Ⅱ) C 的离心率 e ?

1 ………(4 分) 2

x2 y2 1 ,令 a ? 2c , b ? 3c ,则 C : 2 ? 2 ? 1 2 4c 3c
3 x ? 3c 3

直线 l ? BF ,设 l : y ?

? x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ? 4c 3c 由? ? y ? 3 x ? 3c ? 3 ?

得 A(?

24 5 3 16 3 c, c) , AB ? c 13 13 13

又点 D(3c, 0) 到直线 l 的距离 d ?

3c ? 0 ? 3c ? 3c , 2

?ABD 的面积 S ?
解得 c ? 故椭圆 C :

1 1 16 3 24 3 24 6 AB ? d ? ? , c ? 3c ? c? 2 2 13 13 13

2
x2 y 2 ? ? 1 ………(12 分) 8 6

21.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0 , ? ?) ,

f ?( x)?

2 1 a x ? ( a 1 )? 1 ? x ? a? ( ? 1) x a ? , x x

(1)当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 或 x ?

1 1 ; f ?( x) ? 0 解得 1 ? x ? a a 1 1 所以函数 f ( x ) 在 (0 , 1) , ( , ? ?) 上单调递增,在 (1 , ) 上单调递减; a a

(2)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,所以函数 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递增;

1 1 ; f ?( x) ? 0 解得 ? x ? 1 a a 1 1 所以函数 f ( x ) 在 (0 , ) , (1 , ? ?) 上单调递增,在 ( , 1) 上单调递减. ……(6 分) a a 2x ? x ?0 (Ⅱ)证明:不等式等价于 ln x ? 2 x ? x ?1 x ?1 因为 x ? 1 , 所以 x ? x ?1 ? , 2 2x 2x x ?1 ? x ? ln x ? 2 x ? ? 因此 ln x ? 2 x ? x ?1 x ?1 2
(3)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 或 0 ? x ?

3 5 ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 1 2x x ?1 2 ? 令 g ( x) ? ln x ? 2 x ? , 则 g ?( x ) ? 2 2 x ( x ? 1) x ?1 2
令 h( x ) ? ?

3 3 5 9 5 x ? 2 x 2 ? x ? 1 得:当 x ? 1 时 h?( x) ? ? x 2 ? 4 x ? ? 0 , 2 2 2 2

所以 h( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减,从而 h( x) ? h(1) ? 0 . 即 g ?( x) ? 0 ,

? g ( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减,得: g ( x) ? g (1) ? 0 , ? 当 x ? 1 时, f ( x) ?
1 2 2x x ? ? x .. ……(12 分) 2 x ?1

22.证明: (Ⅰ)连 AC ,∵ BA 是圆 O 的直径, ∴ ?ACB ? 90 ,
?

D

BA BD ? ∵ BA ? BC ? BD ,∴ , BC BA 又∵ ?ABC ? ?DBA ,
2

C
?

E

F
A

∴ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAD ? ?ACB ? 90 ,

B
∵ OA 是圆 O 的半径,

·

O

∴直线 AD 是圆 O 的切线.........5 分 ........ (Ⅱ)方法一:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∵ ?BEC ? ?CEF ? 180? , ∴ ?D ? ?CEF ? 180? ......... .........10 分 方法二:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∴四点 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆, ∴ ?D ? ?CEF ? 180? ......... .........10 分

23.解: (Ⅰ) 【法一】∵ C ? 2 ,

? ?

??

? 的直角坐标为 ?1, 1? , 4?
2 2

∴圆 C 的直角坐标方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 . 化为极坐标方程是 ? 2 ? 2? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 . 【法二】设圆 C 上任意一点 M ?? , ? ? ,则 如图可得, ? 2 ?

C O

M

? 2?

2

?? ? ? 2 ? ? 2 cos? ? ? ? ? ?4 ?

? 3? .
2

x

化简得 ? ? 2? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ..........4 分 ........
2

(Ⅱ)将 ?

? x ? 2 ? t cos? 2 2 代入圆 C 的直角坐标方程 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 , ? y ? 2 ? t sin ?
2 2

得 ?1 ? t cos? ? ? ?1 ? t sin ? ? ? 3 即 t ? 2t ?sin ? ? cos? ? ? 1 ? 0
2

有 t1 ? t 2 ? ?2?sin ? ? cos? ?, t1 ? t 2 ? ?1 . 故 AB ? t1 ? t 2 ? ∵ ? ? ?0,

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4?sin ? ? cos? ? ? 4 ? 2 2 ? sin 2? ,
2

? ?

??

? ?? ? ? 2? ? ?0, ? , 4? ? 2?

∴ 2 2 ? AB ? 2 3 ,

即弦长 AB 的取值范围是 2 2 , 2 3 ..........10 分 ........

?

?

24.解: (Ⅰ) f ?x ? ? 5 x ? ?

1 ? 1 ? ? x ? ?1 ?? 1 ? x ? ?x ? 或? 或? 2 2 ?? 3x ? 5 x ?2 ? x ? 5 x ?3x ? 5 x ? ?

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? ?1 ? ? 或? 或? ?? 2 ?x ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? ? 3 ?
? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 1 3

1 1? ? ? x ? ,即解集为 ? ? ?, ?. .........5 分 ........ 3 3? ?

? ?? 3x, x ? ?1 ? 1 ? (Ⅱ) f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?2 ? x, ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? x? ?3x, 2 ?
如图, k PA ? ?2, k PB ? 1 , 故依题知, ? 2 ? a ? 1. 即实数 a 的取值范围为 ?? 2, 1? ..........5 分 ........

y B

1 P ?1 O

A

x


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