当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试理科数学试卷 word版


湛江第一中学 2015——2016 学年度第一学期期末考试

高二级理科数学试题
考试时间:120 分钟
只有一项是符合题目要求的。 1. 已知命题 p: {1}∈{1,2,3}, q: {3} ? {1,2,3}, 则在命题: ①p∧q; ②p∨q; ③ ? p; ④?q 中,真命题的个数是. A.1 B.2 C.3 D.4

满分 150 分

命题人:

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,

2.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则 k 的值为 A.8 B.7 C.6 D.5 a+b?2 a2+b2 ? 2 ? ≤ 2 ,则 p 是 q 成立的

3.设 a,b∈R,已知命题 p:a2+b2≤2ab;命题 q:? A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 1 4.已知点 F? ?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线 段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
3

5.已知数列{an}满足 1+log3an=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9, 则 log1(a5+a7+a9)的值 1 A. 5 1 B.- 5 C.5 D.-5

6.如图,在正四棱锥 SABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为 侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成角为 A.30° C.60° B.45° D.75°

a b 7.不等式 x2+x< + 对任意 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是 b a A.(-2,0) C.(-2,1) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)

8.已知双曲线 x2-y2=4 左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 2,则 a+b 的值为
高二理科数学 第 1 页 共 4 页

A.2

B.-2

C.4

D.-4

x2 y2 → → 9.椭圆 + =1 上有两个动点 P、Q,E(3,0),EP⊥EQ,则EP·QP的最小值为 36 9 A.6 B.3- 3 C.9 D.12-6 3

x+y-4≥0 ? ? 10. 已知二元一次不等式组?x-y-2≤0 所表示的平面区域为 M.若 M 与圆(x-4)2+(y-1)2 ? ?x-3y+4≥0 =a(a>0)至少有两个公共点,则实数 a 的取值范围是 1 ? A.? ?2,5? B.(1,5) 1 ? C.? ?2,5? D.(1,5]

11.已知圆锥曲线 mx2+4y2=4m 的离心率 e 为方程 2x2-5x+2=0 的根,则满足条件的圆 锥曲线的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

x2 y2 12.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)分别交于 O, a b A,B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p 的值为 A.1 3 B. 2 C.2 D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°,距塔 68 海里的 M 处,下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/小时. x2 y2 14.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的 a b |PF1|2 任意一点.若 =8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是________. |PF2|
2 15.请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a1 +a2 2=1,那么 a1+a2≤ 2.

证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒 有 f(x)≥0,所以Δ ≤0,从而得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.
2 2 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 a2 1+a2+…+an=1 时,你能得到的结论为

________(不必证明). 16. 过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线 AB, CD 与抛物线交于 A, B, C, D 四点, 且 AB⊥CD, → → → → 则FA·FB+FC·FD的最大值等于
高二理科数学 第 2 页 共 4 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos 2C+2 2cos C+2=0. (1)求角 C 的大小; (2)若 b= 2a,△ABC 的面积为 2 sin Asin B,求 sin A 及 c 的值. 2

1 18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1- ,其中 n∈N*. 4an 2 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式; 2an-1 4an (2)设 cn= ,数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<3. n+1

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.

高二理科数学 第 3 页 共 4 页

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点, 1 PA=PD=2,BC= AD=1,CD= 3. 2 (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 MQBC 为 30°,求线段 PM 与 线段 MC 的比值 t.

1 1 21.(本小题满分 12 分)已知正数数列{xn}满足 x1= ,xn+1= ,n∈N*. 2 1+xn (1)求 x2,x4,x6。 (2)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论.

x2 y2 3 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2,且过点 P(1, ). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点. ①当直线 l 的倾斜角为 45° 时,求|MN|的长; ②求△MF1N 面积的最大值,并求出当△MF1N 的面积取最大值时直线 l 的方程.

湛江第一中学 2015——2016 学年度第一学期期末考试

高二级理科数学答案
考试时间:120 分钟 满分 150 分 命题人:
高二理科数学 第 4 页 共 4 页

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.B 7.C 2.A 8.B 17 6 2 3.B 9.A. 4.D 10.C 5. D 11.B 6.A 12.B.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,. 13. 14. (1,3] 15. a1+a2+…+an≤ n 16.-16.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.解:(1)∵cos 2C+2 2cos C+2=0, ∴2cos2C+2 2cos C+1=0, 即( 2cos C+1)2=0,∴cos C=- 2 . 2

3π 又 C∈(0,π),∴C= ………………………………………………..5 分 4 (2)∵c2=a2+b2-2abcos C=3a2+2a2=5a2, ∴c= 5a,即 sin C= 5sin A,∴sin A= 1 10 sin C= . 10 5

1 2 ∵S△ABC= absin C,且 S△ABC= sin Asin B, 2 2 1 2 ∴ absin C= sin Asin B, 2 2 ∴ ab sin C= 2, sin Asin B

c ?2 由正弦定理得:? ?sin C? sin C= 2, ………………………………………………………………10 分 2 2 18.解:(1)∵bn+1-bn= - 2an+1-1 2an-1 2 2 = - 1 2 a -1 n ? 2? ?1-4an?-1 4an 2 = - =2(常数), 2an-1 2an-1 ∴数列{bn}是等差数列. ∵a1=1, ∴b1=2,bn=2+(n-1)×2=2n, n+1 2 由 bn= ,得 an= . ……………………………………………..6 分 2n 2an-1 n+1 4an 2 (2) 证明:由 cn= ,a = ,得 cn= , n n+1 n 2n 解得 c=1.
高二理科数学 第 5 页 共 4 页

1 1 4 ∴cncn+2= =2?n-n+2?, ? n(n+2) ? 1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn=2?1-3+2-4+3-5+…+n-n+2? ? ? 1 1 1 =2?1+2-n+1-n+2?<3, ? ? ∴Tn<3 ……………………………………………….12 分 19.解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1 . …………………..4 分 (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 y1-2 y2-2 kPA= (x ≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 1 x2-1 2 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y2 1=4x1,① y2 = 4 x ,② 2 2 ∴ y1-2 y2-2 =- , 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+2=-(y2+2). ∴y1+y2=-4. 2 由①-②得,y2 1-y2=4(x1-x2), ∴kAB= y1-y2 4 = =-1. x1-x2 y1+y2 ………………………………………………..12 分

1 20.解:(1)证明:∵AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点. 2 ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ?平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ………………………………………………..4 分 (2)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点. ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD . ……………………………………………..6 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的一个法向量为 n=(0,0,1),Q(0,0,0),P(0,0, 3),B(0, 3, 0),C(-1, 3,0). → → 设 M(x,y,z),则PM=(x,y,z- 3),MC=(-1-x, 3-y,-z),
高二理科数学 第 6 页 共 4 页

→ → ∵PM=tMC,

? 3t ?x=t(-1-x) ∴?y=t( 3-y) ,∴?y=1+t ?z- 3=t(-z) 3 ? ?z=1+t

?

t x=- 1+t .

t 3t 3 → → 在平面 MBQ 中,QB=(0, 3,0),QM=(- , , ), 1+t 1+t 1+t ∴平面 MBQ 的一个法向量为 m=( 3,0,t). t 3 n· m ∵二面角 MBQC 为 30°,cos 30°= = 2= 2 ,………..11 分 |n||m| 3+0+t ∴t=3 ………………………………………………..12 分 1 1 21.解: (1)由 x1= 及 xn+1= , 2 1+xn 2 5 13 得 x2= ,x4= ,x6= 。 3 8 21 ………………………………………………..3 分 …………..4 分

(2)由 x2>x4>x6 猜想:数列{x2n}是递减数列. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,已证命题成立. ②假设当 n=k 时命题成立,即 x2k>x2k+2,易知 xk>0, 当 n=k+1 时,x2k+2-x2k+4= 1 1 - 1+x2k+1 1+x2k+3

x2k+3-x2k+1 = ?1+x2k+1??1+x2k+3? x2k-x2k+2 = >0, ?1+x2k??1+x2k+1??1+x2k+2??1+x2k+3? 即 x2(k+1)>x2(k+1)+2. 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立. 结合①和②知命题成立. ………………………………………………..12 分 9 4 1 22.解 (1)由已知,得 a2-b2=c2=1,且 2+ 2=1,解得 a2=4,b2=3, a b x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. ……………………………………………….. 2 分 4 3

高二理科数学 第 7 页 共 4 页

y=x-1, ? ?2 2 (2)①由?x y 消去 x 得 7x2-8x-8=0, ? 4 + 3 =1, ? 4+6 2 4-6 2 解得 x1= ,x2= . 7 7 24 则|MN|= 1+k2|x1-x2|= . 7 ………………………………………………..5 分

x=my+1, ? ?2 2 ②设直线 l 的方程为 x=my+1,由?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 x 得,(3m2+4)y2+6my-9=0,显然 Δ>0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 6m 9 y1+y2=- 2 ,y1· y2=- 2 , 3m +4 3m +4 12 m2+1 1 由 S△MF1N= |F1F2|· |y1-y2|=|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2= ,…..8 分 2 3m2+4 令 t= m2+1,则 t≥1,且 m2=t2-1,则 S△MF1N= 12t 12 = , 1 3t2+1 3t+ t ………………………………………………..9 分

1 令 f(t)=3t+ (t≥1),而 f(t)在区间[1,+∞)上单调递增,故有 f(t)≥f(1)=4,所以 t S△MF1N≤3,即当 t=1,m=0 时,S△MF1N 有最大值 3,这时△MF1N 的内切圆面 9 积的最大值为 π,直线 l 的方程为 x=1. 16 ………………………………………………..12 分

高二理科数学 第 8 页 共 4 页


赞助商链接
相关文章:
...一中学高二上学期期末考试英语试卷 word版
2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试英语试卷 word版_高中教育_教育专区。湛江一中 2015—2016 学年度第一学期期末考试 高二级英语科试卷考试时间...
广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试...
广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试英语试卷 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。湛江一中 2015—2016 学年度第一学期期末考试 高二级英语...
广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学 (...
广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学 (理)试题(word)版 广东实验中学 2015—2016 学年(上)高二级选修 2-1 考试 理科数学 命题:先开萍 审定:...
广东省肇庆市2015-2016学年高二下学期期末考试理科数学...
广东省肇庆市2015-2016学年高二学期期末考试理科数学试题(word版)_数学_高中教育_教育专区。试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2015—2016 学年二学期统一...
广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试理科历...
广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试理科历史试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。广东实验中学 2015—2016 学年(上)高二级模块三考试 理科历史...
2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版...
2015-2016学年高二学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。高二理科数学试题 钟. 注意事项: 2016.07 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...
广东省肇庆市2015-2016学年高二下学期期末考试理科数学...
广东省肇庆市2015-2016学年高二学期期末考试理科数学试题(word版) - 试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2015—2016 学年二学期统一检测题 高二数学(理科)...
...揭阳市第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试理...
广东省揭阳市第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。揭阳一中 96 届高二上学期期末考试 理科数学试卷第Ⅰ卷...
北京101中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)...
北京101中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。北京 101 中学 2015-2016 学年上学期高二年级期末考试...
北京市海淀重点中学2015-2016学年高二上学期期末考试数...
北京市海淀重点中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷-Word版含答案 北京市重点中学 2015-2016 学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)一、选择题:...
更多相关标签: