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高中数学数列


数列
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数列
等差数列 等差数列求和 等比数列 等比数列求和

1 3 2

3 4

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数列

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数列的概念
按一定的次序排列的一列数叫做数列。
数列实质上是定义域为正整数N+(或它的有限子集{1,2,3,…n})的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时所对应的值时所对应的一列函数值

数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列中的各项依次叫做这个数列的相数 第1项(或首项)用a1表示 第2项用a2表示 第n项用an表示

数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公 式就叫做这个数列的通项公式。
an ? 2n ? 1
2 (n ? 1 ) ?1 an ? n ?1

1、 3、 5、 7??
22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 、 、 、 ?? 2 3 4 5

n (- 1 ) an ? n(n ? 1 )

?

1 1 1 1 、 、 ? 、 ?? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

数列的递推公式
如果已知数的第一项(或前几项),且任一项an与前一项(或
前几项)之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫数列

的递推公式.递推公式也是给出数列的一种重要方法.
an ? 1 ? 若a1 ? 1 ,则由递推公式:
a2 ? 1 ? 1 ?2 a1 1 3 ? a2 2 1 5 ? a3 3

1 an ?1

a3 ? 1 ? a4 ? 1 ?

数列的前n项和公式
数列S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an ,叫做数列 {an }的前n项和

an与S n的关系:
S( ) 1 n ?1
an ?

S n ? S n?( ) 1 n?2

数列的分类
1.按照项数是有限还是无限来分:有穷数列,无穷数列

2.按照项与项之间的大小关系来分
?递增数列,递减数列. ?递增数列与递减数列统称为单调数列. ?摆动数列,常数列. 3.按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数列,无界数列

例1:写出下列数列的一个通项公式.

( 1 ) 3、 5、 9、 17、 33??
2 4 6 8 ( 2 ) 、 、 、 ?? 3 15 35 63 1 9 25 ( 3 )、 2、 、 8、 ?? 2 2 2 1 1 1 ( 4 ) 1、 0、 ? 、 0、 、 0、 ? 、 0?? 3 5 7

an ? 2 n ? 1
2n an ? ( 2n - 1 )( 2n ? 1 )

n2 an ? 2
sin n ? 2 n

an ?

例2:( 1 )若S n ? 2n 2 ? 3n,求a( )若S n ? 5n ? 3,求an n 2

解:( 1 )当n ? 1时,a1 ? S1 ? 2 ?12 ? 3 ?1 ? ?1
2 当n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ? ( 2n 2 ? 3n) ? [2 (n ? 1 ) ?3 (n ? 1 ) ] ? 4n ? 5

? an ? 4n ? 5 (当n ? 2时)

解:( 2 )当n ? 1 时,a1 ? S1 ? 5 ? 3 ? 2
当n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ? ( 5n ? 3 ) ? ( 5n?1 ? 3 ) ? 4 ? 5n?1

由此式得a1 ? 4, ? a1不适合an

? an ?

2 (n ? 1 )
1 4 ? 5n?( n?2 )

2 3 4 5 例3:写出数列 1、 、 、 、 ??的通项公式,并判断它的增减性 4 7 10 13 解: 数列的通项公式an ? n 3n ? 2

n ?1 n ?2 ? an?1 ? an ? ? ? ?0 3 (n ? 1 ) ? 2 3n ? 2 ( 3n ? 1 )( 3n ? 2 )

? an ?1 ? an ?{an }是递减数列

例 1 :数列 1、 3、 6、 10、?、 21、 28??中,?的值是:

A.12

B.15 √

C.17

D.18

例2: 600是数列 1? 2、 2 ? 3、 3 ? 4、 4 ? 5、 ??的第几项:

A.20

B.24 √

C.25

D.30

4 9 16 例3:数列? 1、 、 ? 、 、 ??的一个通项公式是: 3 5 7
n2 A.an ? (? 1 ) √ 2n ? 1
n

n B.an ? (? 1 )

n(n ? 1 ) 2n ? 1

n2 C.an ? (? 1 ) 2n ? 1
n

n 3 ? 2n D.an ? (? 1 ) 2n ? 1
n

例4:已知数列 {an } 中,a1 ? 1 ,a2 ? 3,an ? an ?1 ?

1 (n ? 3 ),则a5 ? an ? 2

A.

55 12

B. √

13 3

C.4

D.5

例5:已知数列的通项公式an ? 3n ? ( 1 n为奇数),或2n ? 2 (n为偶数) 则a2 ? a3 ?

A.70

B.28 √

C.20

D.8

( 2n ? 1 ) 例6:已知数列 3, 3,15,21 , ??,它的一个通项公式为:an ? 3

例7:( 1 )已知S n ? 2n ? 3,求an;( 2 )已知S n ? 3n ? 2,求an

( 1 )an ? 4n ? ( 1 n ? N ?)
1 ( 2 )an ? (当 1 n ? 1时);或an ? 2 ? 3n?(当 n ? 2时)

例8:已知数列 {an }的递推公式为an? 2 ? 3an ?1 ? 2an,且a1 ? 1 ,a2 ? 3 ( 1 )求a5;( 2 ) 127是这个数列的第几项?

( 1 )a5 ? 31

( 2 ) 127是这个数列的第7项

等差数列
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等差数列的定义
1、 4、 7、 10、 13、 16??

2、 0、 ? 2、 ? 4、 ? 6??
6、 6、 6、 6、 6??

等差数列的定义:一个数列从第二项起,每一项与前一项的差都

等于同一个常数。 这个常 公差d=an+1-an

等差数列的通项公式
等差数列简称AP数列,后项与前项的差叫等差数列的公差,用字母 d表示(注意:d是一个与n无关的常数或代数式。)
a2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d

??
an ? an?1 ? d ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d

等差数列{an}的通项公式

等差数列的图象
an an

o

1

2

3

4

5

6

7

n

o

1

2

3

4

5

6

7

n

d ? 0,{an }是递增数列

d ? 0,{an }是递减数列

d ? 0,{an }是常数列

等差中项的意义
■如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等差数列,那么G 应满足什么条件? 由a,G,b成等差数列,得: G ? a ? b ? G
?G ? 如果G ? a?b 2

a?b ,那么a、G、b成等差数列 2

如果a,G,b成等差数列,那么G叫做a与b的等差中项

等差数列的图形表达

a1 ? 2, d ?

4 5

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

例 1 :在等差数列中,am ? n,an ? m(m ? n),则am? n为:

A.m ? n

B.0 √

C.m 2
an

D.n 2

? am ? a1 ? (m ? 1 )d an ? a1 ? (n ? 1 )d

? a1 ? m ? n ? 1, d ? ?1
? am? n ? a1 ? (m ? n ? 1 )d ? 0

o

m

n

7

n

例2:成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40 求:这四个数。

解:设这四个数为a ? 3d、a ? d、a ? d、a ? 3d , 则:

(a ? 3d) ? (a ? d) ? (a ? d) ? (a ? 3d) ? 26 (a ? d) ( ? a ? d) ? 40
?a ? 13 3 13 3 ,d ? 或a ? , d ? ? 2 2 2 2

所求四个数为2,5,8,11,或11,8,5,2.

例3 :等差数列 {an } 中,已知a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36,求a5 ? a8

解:(a1 ? d) ? (a1 ? 2d) ? (a1 ? 9d) ? (a1 ? 10d) ? 36 ? 4a1 ? 22d ? 36 ? 2a1 ? 11d ? 18
? a5 ? a8 ? (a1 ? 4d) ? (a1 ? 7d) ? 2a1 ? 11d ? 18
36 ? 18 2

或解:a5 ? a8 ? a 2 ? a11 ? a3 ? a10 ?

例4:已知两个等差数列 5、 8、 11?和3、 7、 11?都有 100项,求它们有多少共同项。
解∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4

?{an }的公差d ? 3 ? 4 ? 12
?

? an ? a1 ? (n ? 1 )d ? 11 ? 12 (n ? 1 ) ? 12n ? 1
∵数列5,8,11…与3,7,11,…的第100项分别为302与399

? an ? 12n ? 1 ? 302 ? n ? 22

1 2

? n ? N ? ,?两个数列共有25个共同项。

例 1 :已知等差数列 {an }的通项公式an ? 3 ? 2n,则它的公差为:

A.2

B.3

C. ? 2 √

D. ? 3

例2:a ? c ? 2b是a、b、c成等差数列的:

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 √

D.既不充分也不必要

例3:在?ABC中,三内角成等差数列,则?B ?

A.30?

B.60 √

?

C.90?

D.不能确定

例4:已知m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5,则m和n的等差 中项是:

A.2

B.3 √

C.6

D.9

例5:在等差数列中 {an } 中,a3,a9是方程2 x 2 ? x ? 7 ? 0的两根,则a 6 ? ?
1 2 1 4 7 2 7 4

A.

B. √

C. ?

D. ?

例6:若a ? b,两个等差数列a,x1,x2 , b与a,y1 , y2 , y3 , b的公差分别为d1 , d 2 则 d1 ? d2

3 A. 2

2 B. 3

C. √

4 3

D.

3 4

例7:在p、q之间插入两个数,使它们组成等差数列,则公差d ? ?
1 ( q - p) 3

例 8:首项为? 24的等差数列,从第 10项起开始为正,则公差d的范围是:
8 ?d ?3 3
例9:在等差数列 {an } 中,( 1 )已知a1 ? 8,a9 ? 2,求d和a14 ; (2)已知a3 ? a5 ? 18,a4 ? a8 ? 24,求d

5 33 ( 1 )d ? ? ;a14 ? ? 4 4

3 ( 2 )d ? ; 2


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