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南充高中2012年素质技能邀请赛数学评分标准


南充高中 2012 年 5.1 素质技能邀请赛
封 / / / / / / / / / / / / / / / / 密 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / /

数学试题参考答案
第Ⅱ卷(答题卷)

一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 C 6 A

考号_________________

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 7._________

4 ___________ 9

8._________0_____________ 10._______ x ? ?8 ____________ 12.________ 3 ____________

9._________ 30a _________ 11._________ ?2 x ? 1 ______

初中就读学校___________________________

13.___________1_________

14._________

3 ____________ 3
2 _____________

15._______

m2 (sin ? )2 ___

16.________

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分)某工程由甲、乙两队合作 6 天完成,厂家需付甲、乙两队 8700 元;乙、 丙两队 10 天完成, 厂家需付乙丙两队共 9500 元; 丙两队合作 5 天完成全部工作的 甲、

2 , 3

厂家需付甲、丙两队共 5500 元。 (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? (2)若工期要求不超过 15 天完成全部工程,问:可用哪队单独完成此项工程花钱最少? 请说明理由。 解: (1)设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要 x, y, z 天,则

姓名________________

1 1 1 ? ? , x y 6 1 1 1 ? ? , y z 10
1 1 2 1 ? ? ? x z 3 5
解方程组得

x ? 10

y ? 15
z ? 30 ………………………………5 分

(2)设甲队做一天应付给 a 元,乙队做一天应付给 b 元,丙队做一天应付给 c 元,则有

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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6(a ? b) ? 8700 10(b ? c) ? 9500 5(a ? c) ? 5500
解方程组得

a ? 800 b ? 650 c ? 300

?10a ? 8000,15b ? 9750,30c ? 9000 ,? 由甲队单独完成此工程花钱最少
………………………………9 分 答: (1)甲队单独做 10 天完成, ,乙队单独做 15 天完成,丙队单独做 30 天完成 (2)由甲队单独完成此工程花钱最少………………………………10 分

18. (本小题 10 分)已知关于 x 的方程 (a ? 1)(
2

x 2 x ) ? (2a ? 7)( ) ? 1 ? 0 有实数根 x ?1 x ?1

(1)求 a 的取值范围 (2)若原方程的两个实数根为 x1 , x2 ,且

x1 x 3 ? 2 ? ,求 a 的值 x1 ? 1 x2 ? 1 11

解: (1)设

x ? t ,则 t ? 1 ,原方程可化为 (a2 ?1)t 2 ? (2a ? 7)t ? 1 ? 0 x ?1
2

当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,方程为 ?9t ? 1 ? 0 或 ?5t ? 1 ? 0 ,即 或

x 1 ? x ?1 9

x 1 1 1 ? ,? x ? ? 或 x ? ? x ?1 5 8 4 故当 a ? ?1 时,原方程有实数根 当 a ? ?1 时,则在 ? ? 0 时,原方程有实数根, 53 2 2 由 ? ? ? ?(2a ? 7) ? ? 4( a ? 1) ? 0 ,解得 a ? ? ,又 t ? 1 ,而当 t ? 1 时, 28 53 (a2 ?1) ? (2a ? 7) ? 1 ? 0 解得 a ? 1 ? 2 2 ,其中 a ? 1 ? 2 2 ? ? ,但 a ? 1 ?2 2 时 28
? ? 0 ,方程有异于 t ? 1 的根,故 a ? 1 ? 2 2 也满足题意
综上可知当 a ? ?

53 时,原方程有实数根 28

………………………………5 分

(2)由题设知,

x1 x , 2 是方程 (a2 ?1)t 2 ? (2a ? 7)t ? 1 ? 0 的两个根,利用根 x1 ? 1 x2 ? 1

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

第2页 共8页

与系数的关系得

2a ? 7 3 8 ? ,?3a 2 ? 22a ? 80 ? 0 解得 a1 ? 10, a2 ? ? ,由(1)知, 2 a ? 1 11 3 53 8 53 a ? ? ,而 a2 ? ? ? ? ,故应 a2 舍去,所以 a ? 10 ………………………10 分 28 3 28

19.(本小题 12 分)如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D , DE ? AC ,垂足为

E.
(1)判断 DE 与⊙ O 的位置关系,并证明你的结论; (2)如果⊙ O 的直径为 9, cos B ? (1)答:DE 是⊙O 的切线. 证明:连接 OD,AD, ∵OD=OA, ∠ODA=∠OAD. ∵△ABC 是等腰三角形, AB=AC,AD⊥BC, ∴∠OAD=∠CAD,∠ODA=∠CAD. ∵DE⊥AC, ∴∠EDA+∠CAD=90
°

1 ,求 DE 的长 3

………………………………1 分

∴∠EDA+∠ODA =90 即:OD⊥DE

°

∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………6 分 (2)解:∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90
°

在 Rt△ADB 中, ∴BD=CD=3 CE CD

BD 1 ∵cos∠B= = , AB=9, AB 3 在 Rt△CDE 中, ∵cos∠C=

1 ∴CE=CD·cos∠C=3·cos∠B=3× =1 3 ∴DE= 32-12 =2 2 . ………………………………12 分
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 第3页 共8页

20.如图,等腰梯形 ABCD 中, CD ∥ AB ,对角线 AC 与 BD 交于 O , ?ACD ? 60 点
0

S 、 P 、 Q 分别是 OD 、 OA 、 BC 的中点
(1)求证: ?PQS 是等边三角形 (2)若 AB ? 5, CD ? 3 ,求 ?PQS 的面积 (3)若 ?PQS 的面积与 ?AOD 的面积之比为 7:8, 求梯形上、下两底之比 CD : AB 解:(1)? ABCD 是等腰梯形,? AD ? BC 又 AC 与 BD 相交于 O ,? AO ? BO, CO ? DO

D

C S O Q

P A B

??ACD ? 600 ,??OCD 与 ?OAB 均为等边三角形,
? S 是 OD 的中点, ? CS ? DO
在 Rt ?BSC 中, Q 为斜边 BC 中点, SQ 是斜边 BC 的中线,? SQ ?

1 BC 2

同理 BP ? AC ,在 Rt ?BPC 中, PQ ?

1 BC ,又 SP 是 ?OAD 的中位线, 2

1 1 AD ? BC ,? SP ? PQ ? SQ ,故 ?PQS 为等边三角形…………6 分 2 2 1 13 (2)? AB ? 5, DC ? 3,? SB ? DO ? OB ? 2 2 3 3 ? CS 是等边 ?OCD 的高, CS ? 2 169 27 2 2 在 Rt ?BSC 中, BC ? BS ? CS ? ? ?7 4 4 1 7 3 7 2 49 3 ??SPQ 的边长 SQ ? BC ? ,故 S?SPQ ? ?( ) ? …… ……12 分 2 2 4 2 16 ? SP ?
(3)设上底 CD ? a, 下底 AB ? b(a ? b) ,由(2)知 BC ? SC ? BS
2 2 2

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

第4页 共8页

=(

3 2 a a) ? (b ? )2 ? a 2 ? b2 ? ab 2 2 3 2 (a ? ab ? b2 ) 16 S?AOD AO b ? ? S?COD OC a

? S?SPQ ?

又 ?CDO 与 ?ADO 是高相等的三角形,

? S?AOD ?

3 2 b 3 a ? ? ab 4 a 4

?

S?PQS S?AOD

3 7 3 2 ab ,即 2a 2 ? 5ab ? 2b2 ? 0 ? ,?8 ? (a ? ab ? b2 ) ? 7 ? 4 8 16
a 1 ? b 2

? (2a ? b)(a ? 2b) ? 0 ,又 b ? a,? 2a ? b, 即
故 CD : AB ? 1: 2

21. (本小题 12 分)如图,已知直线 y ? 2 x ? 6 交 x 轴于 A ,交 y 轴于 C ,抛物线

y ? ax2 ? bx ? c经过 A, C 两点及 x 轴上另一点 B ,且 AB ? 1 , ?ABC 为钝角。
(1)求抛物线的解析式 (2)若点 D 的坐标为(-3,0) ,在直线 y ? 2 x ? 6 上求一点 P ,使 ?APD 与 ?AOC 相似 (3)在(1) (2)的条件下,在抛物线位于 x 轴 上方的图像上是否存在点 M ,使四边形 APBM 的面积等于 ?AMD 的面积的 P2 C D. y B A x

13 倍?如果存在, 6
P1

求出点 M 的坐标,否则请说明理由 解: (1)由题意,得 A(3,0), C (0, ?6), B(2,0) ,

? 9a ? 3b ? c ? 0, 4a ? 2b ? c ? 0 , c ? ?6 解得
a ? ?1, b ? 5, c ? ?6 ,? 抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 5x ? 6 …………………4 分
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 第5页 共8页

(2)过 D 作 DP ? x 轴, DP ? AC 分别交直线 AC 于 1 2

P , P2 且 P2 H ? x 轴于 H , 1
若 ?ADP ~ ?AOC ,则 DP ? 2CO ? 12 ,? P (?3, ?12) 1 1 1 若 ?ADP ~ ?AOC 则 2

AP2 AD AP2 6 5 6 ? ,即 ,解得 AP2 ? ? 2 2 AO AC 5 3 3 ?6

AP2 2 6 ? 由射影定理,得 AP ? AH ? AD ,? AH ? 2 AD 5
2

? OH ? OA ? AH ? 3 ?
把x ?

6 9 ? 5 5

9 12 9 12 代入 y ? 2 x ? 6 得 y ? ? ,? P2 ( , ? ) 5 5 5 5 9 12 故所求 P 点的坐标为 (?3, ?12) 或 ( , ? ) ………………………………8 分 5 5 1 (3)设存在这样的点 M ,其坐标为 (m, n) ,则 S ?AMD ? ? 6 ? n ? 3n , 2 1 1 n 当 P 的坐标为 (?3, ?12) 时, S四边形APBM ? ? 1? 12 ? ? 1? n ? 6 ? 2 2 2
由题意,得 6 ? 而n ?

n 13 4 ? (?1) ? (?6) ? 52 1 ? ? 3n ,解得 n ? 1 ,抛物线顶点坐标为 ? , 2 6 4 ? (?1) 4

1 ,不合题意,舍去, 4 9 12 1 12 1 6n )时 , S四边形APBM ? ?1? ? ?1? n ? ? 由 题 意 , 得 当 P 的 坐 标 为 ( ,? 5 5 2 5 2 5 2 6 n 13 1 1 1 2 ? ? ? 3n , 解 得 n ? , 当 n? 时 , ? m ? 5m ? 6 ? 解 得 5 2 6 5 5 5

m1 ?

25 ? 5 25 ? 5 , m2 ? ,故存在这样的点 M ,其坐标 10 10

为(

25 ? 5 1 25 ? 5 1 , ), ( , ) ………………………………12 分 10 5 10 5

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

第6页 共8页

22. (本小题 14 分)如图, 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 点 四边形 AOCB 是梯形,
2 AB ∥ OC ,点 A 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,且 OA ? 8)? 10 ? OC ? 0 ,OB ? OC . (

(1)求点 B 的坐标; (2)点 P 从 C 点出发,沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动,过点 P 作 PH ? OB ,垂足为 H ,设 ?HBP 的面积为 S ( S ? 0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(直接写出自变量 t 的取值范围) ; (3)(2) 在 的条件下, 过点 P 作 PM ∥ CB 交线段 AB 于点 M , 过点 M 作 MR ? OC , 垂足为 R ,线段 MR 分别交直线 PH 、OB 于点 E 、G ,点 F 为线段 PM 的中点,连结 EF . ①判断 EF 与 PM 的位置关系; ②当 t 为何值时, EG ? 2 ? 解: (1)如图 1,过点 B 作 BN⊥OC,垂足为 N ∵ OA ? 8)? 10 ? OC ? 0 ,OB=OC (
2

∴OA=8,OC=10

-------------------------------1 分

∴OB=OC=10, BN=OA=8 ∴ ON ? OB 2 - BN 2 ? 6. ∴B(6,8) ----------------------------------------------3 分

(2)如图 1,∵∠BON=∠POH, ∠ONB=∠OHP=90° . ∴△BON∽△POH ∵PC=5t. ∴

BO ON BN ? ? PO OH PH
∴OH=6-3t. PH=8-4t.

∴OP=10-5t.

∴BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4 ∴S ?

1 (3t ? 4)(8 ? 4t ) ? ?6t 2 ? 4t ? 16 ------------------------------------7 分 2
-----------------------------------------8 分

∴t 的取值范围是:0≤t<2 (3)①EF⊥PM ∵MR⊥OC,PH⊥OB

∴∠RPM+∠RMP=90° ,∠HPD+∠HDP=90° ∵OC=OB ∵BC∥PM
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 第7页 共8页

∴∠OCB=∠OBC.

∴∠RPM=∠HDP,∴∠RMP=∠HPD,即:∠ EMP=∠HPM ∴EM=EP ∵点 F 为 PM 的中点 ∴EF⊥PM ----------10 分

②如图 2 过点 B 作 BN′⊥OC,垂足为 N′,BN′=8,CN′=4 ∵BC∥PM,MR⊥OC ∴△MRP≌△B N′C ∴PR=C N′=4 设 EM=x,则 EP=x 在△PER 中,∠ERP=90° ,RE=MR-ME=8-x 有 x2 ? (8 ? x)2 ? 42 ,∴x=5 ∴ME=5 ∵△MGB∽△N′BO ∴

MG MB ? N ?B N ?O

∵ PM∥CB,AB∥OC ∴四边形 BMPC 是平行四边形. ∴ BM=PC=5t. 第一种情况:当点 G 在点 E 上方时(如图 2) ∵EG=2,∴MG=EM-EG=5-2=3 ∴

3 5t ? 8 6

∴t=

9 20

--------------------12 分

第二种情况:当点 G 在点 E 下方时(如图 3) MG=ME+EG=5+2=7, ∴

7 5t 21 ? ,∴t= 8 6 20 9 21 或 时, EG = 2 . ------------------------------------------14 分 20 20

∴当 t=

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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