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2015年高考数学模拟试题及答案(三) 文科


2015年高考数学模拟试题及答案(三) 
数 学(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
(CU Q) =(
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 P ? ?1, 2,3, 4?, 集合 Q ? ?3, 4, 5? ,则 P A. ?1, 2,3, 4, 6? 2.设复数 z ? 1 ? A.1+ 2i B. ?1, 2,3, 4,5? C. ?1, 2,5? D. ?1, 2? ) )

2 (其中 i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 等于( i
B. 1 ? 2i C. ?2i D. 2i )

3.已知条件p: x ? 1,条件q: A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ? 1 ,则p是q的( x

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 )

4.如右图的程序框图所示,若输入 a ? 3, b ? 2 ,则输出的值是( A.

1 2
2

B.1

C.

1 3

D. 2

5.若抛物线 y ? 4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 3,则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离 为( )

A.3 B.4 C.5 D.7 6.公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4 )



7.已知 | a |? 2, b 是单位向量,且 a与b 夹角为 60° ,则 a ? (a ? b) 等于( A.1 B. 2 ? 3 C.3 D. 4 ? 3

8.已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? ln ? x ? 1? ,则函数 f ? x ? 的大致图象为( )

9.设函数 f ( x) ? ? A. (?3, 1)

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0
(3, ? ?)
B. (?3, 1)

) D. (??, ? 3)

(2, ? ?) C. (?1, 1) (3, ? ?)
第 1 页 共 6 页

(1, 3)

10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体 的体积为( ) A. 3

1

B. 3

C.1

D.

3 3

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在答题卡相 应的位置) 11.若函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 4 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 9 ,则 f (4) ? f ?(4) ? 12. 若椭圆的短轴为 AB , 它的一个焦点为 F , 则满足 ?ABF 为等边三角形的椭圆的离心率是 . .

?y ? 2 ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
14.若 tan ? ? 2, 则 sin ? cos ? ? ;



15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (选修 4—4 坐标系与参数方程) 已知点 A 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点, 则点 A 到直线 ? sin(? ? ? 3) ? 4 的距离的最小值是 ;
2 2

B. ( 选 修 4—5 不 等 式 选 讲 ) 已 知 x, y ? R,3x ? y ? 3, 则 2 x ? 3 y 的 最 大 值 是 .; C.(选修 4—1 几何证明选讲) 如图,?ABC 内接于

O ,AB ? AC , 直线 MN 切 O


于点 C, BE // MN 交 AC 于点 E .若 AB ? 6, BC ? 4, 则 AE 的长为

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名 电视观众,相关的数据如下表所示:
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

. k#s5_u.c

(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (Ⅱ)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.
w_w*w

AB ? AC ? 2 . 角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且满足 a sin C ? 3c cos A , 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,
(Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 b ? 1 ,求边 c 与 a 的值.

第 2 页 共 6 页

18. (本小题满分 12 分)各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? a3 ? 6 . (Ⅰ)求数列 ?a n ? 通项公式; (Ⅱ)若等差数列 ?bn ? 满足 b1 ? a2 , b4 ? a4 ,求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 S n .

19. (本小题满分 12 分)已知 ABCD 是矩形, AD ? 2 AB , E , F 分别是线 段 AB, BC 的中点, PA ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: DF ? 平面 PAF ; (Ⅱ)在棱 PA 上找一点 G ,使 EG ∥平面 PFD ,并说明理由.
B A E

P

D

m 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? mx ? , g ( x) ? 2 ln x . x
(Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 m ? 1 时,判断方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上有无实根. (Ⅲ)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

F

C

21.(本题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

3 , 且点 P(?2,0) 在椭圆 C 上. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 A 、 B 为椭圆 C 上的动点,当 PA ? PB 时,求证:直线 AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

第 3 页 共 6 页

数学(文科)参考答案与评分标准

-

一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 B 6 C 7 C 8 C 9 A 10 D

二、填空题: 11.3 12.

3 2

13.11

14.

2 5

5 15.A ; 2

B. 31 ;

C.

10 3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 【解】 :在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁的
观众共有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

……4 分

(2)抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别 高为 a, b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,……6 分 则包含的总的基本事件有: (1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。…8 分 其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁包含的基本事件有: (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个. ……10 分 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=

6 3 ? ; 10 5

……12 分

17. (本小题满分 12 分) 【解】 : (Ⅰ)由正弦定理得 sin A sin C ? 3 sin C cos A ,……2 分

sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 , A ? 60 ,……6 分
由 AB ? AC ? 2 得 b ? c ? 4 , ?ABC 的面积为 3 .……8 分 (Ⅱ)因 b ? 1 ,故 c ? 4 ,……10 分 由余弦定理得 a ? 13 ……12 分

18. (本小题满分 12 分)由条件知 q ? 0, q ? q 2 ? 6 ? q ? 2 ……………………2 分
第 4 页 共 6 页

? an ? 2n?1

………… 4 分

(2)设数列 ?bn ? 公差为 d ,则 b1 ? 2, b1 ? 3d ? 8,? d ? 2 ,? bn ? 2n …………6 分

anbn ? n ? 2n

Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Sn ?

? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
……………………8 分 ……………………10 分 ……………………12 分

1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

??Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ?

? 2n ? n ? 2n?1

? 2(2n ? 1) ? n ? 2n?1
? S n ? (n ? 1)2n?1 ? 2

19.(本小题满分 12 分) 【解】 :证明:在矩形 ABCD 中,因为 AD=2AB,点 F 是 BC 的中点,所以∠AFB=∠DFC=45° .
所以∠AFD=90° ,即 AF⊥FD. ……………………4 分 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥FD.所以 FD⊥平面 PAF. ……………………6 分 (Ⅱ)过 E 作 EH//FD 交 AD 于 H, 则 EH//平面 PFD,且 AH =

1 AD. 4 1 PA. 4
1分
E

P

再过 H 作 HG//PD 交 PA 于 G, ……………………9 分 所以 GH//平面 PFD,且 AG= 所以平面 EHG//平面 PFD. 所以 EG//平面 PFD.
G A D H

1 从而点 G 满足 AG= PA. 4


……………………12
B F C

20.(本小题满分 13 分)
2 2 【解】 : (1) m ? 2 时, f ? x ? ? 2 x ? , f ' ?x ? ? 2 ? 2 , f ' ?1? ? 4 ,切点坐标为 ?1,0? , x x
? 切线方程为 y ? 4 x ? 4 …………………… 3 分
(2) m ? 1 时,令 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? x ?
2

1 ? 2 ln x , x

h' ( x ) ? 1 ?

1 2 ?x ? 1? ? ? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0,??? 上为增函数…………………… 5 分 x2 x x2

又 h(1) ? 0 ,所以 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 内无实数根 ……………………7 分 (3) mx ?

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x

?

?

第 5 页 共 6 页

-

又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 令 G?x ? ?

2 x ? 2 x ln x ,只需 m 小于 G ?x ? 的最小值, x2 ?1

2 x ? 2 x ln x 恒成立,……………………9 分 x2 ?1

G' ?x ? ?

? 2( x 2 ln x ? ln x ? 2)

?x

2

?1

?

2

,…………………… 11 分

?1 ? x ? e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G' ?x ? ? 0 ,
? G?x ? 在 ?1, e?上单调递减,? G?x ? 在 ?1, e?的最小值为 G?e ? ?
则 m 的取值范围是 ? ? ?,

4e , e ?1
2

? ?

4e ? ? ……………………13 分 e ?1?
2

21. (本小题满分 14 分)
x2 ? y 2 ? 1 …………………………4 分 【解】 :(1)椭圆 C 的方程是: 4
(2) 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 AB : y ? kx ? m

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )

? x2 ? 4 y 2 ? 4 2 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ………………………6 分 ? ? y ? kx ? m

PA PB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? km)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4
?8km 4(m2 ? 1) ? (1 ? k ) ? (2 ? km) ? m2 ? 4 ? 0 …………………… 8 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

?12k 2 ? 5m2 ? 16km ? 0 即

6 (6k ? 5m)(2k ? m) ? 0 ? m ? k 或m ? 2k ……………10 分 5 6 6 6 当 m ? k 时, AB : y ? kx ? k 恒过定点 (? , 0) 5 5 5
12 分

当 m ? 2k 时, AB : y ? kx ? 2k 恒过定点 (?2, 0) ,不符合题意舍去… 当直线 l 垂直于 x 轴时,若直线 AB: x ? ?

6 5

则 AB 与椭圆C相交于 A(? , ? ) , B(? , )

6 5

4 5

6 4 5 5

4 4 4 4 4 4 4 ? PA PB ? ( , ? ) ( , ) ? ( ) 2 ? (? )( ) ? 0 , PA ? PB ,满足题意 5 5 5 5 5 5 5 6 综上可知,直线 AB 恒过定点,且定点坐标为 (? , 0) ……………… 14 分 5

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