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高中数学【配套课件】5.1平面向量的概念及线性运算


数学



§5.1

平面向量的概念及线性 运算
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理 1.向量的有关概念 名称 定义
备注 平面向量 既有 大小 又有 方向 向量 的量; 向量的大小叫做 是自由向 向量的长度 (或称 模 ) 量 长度为 0 的向量; 零向量 记作 0 其方向是任意的 非零向量 单位 长度等于1个单位长度 a 的单位 向量为 向量 的向量 a ± |a|
基础知识 题型分类

难点正本 疑点清源 1.向量的两要素
向量具有大小和方向两 个要素. 用有向线段表示 向量时, 与有向线段起点 的位置没有关系. 同向且 等长的有向线段都表示 同一向量.

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
平行 方向 相同 或 相反 向量 的非零向量 方向相同或相反 共线 的非零向量又叫 向量 做共线向量 0 与任一向量 平行 或共线
难点正本 疑点清源 1.向量的两要素
向量具有大小和方向两 个要素.用有向线段表 示向量时,与有向线段 起点的位置没有关

相等 长度 相等 且方向 等或不等,不 向量 相同 的向量 能比较大小 相反 长度 相等 且方向 0 的相反向量 向量
相反 的向量

两向量只有相

系.同向且等长的有向 线段都表示同一向量.

为0
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理 2.向量的线性运算
向量 运算 法则 定义 (或几何意义) 求两 个向 量和 的运 算 运算律
难点正本 疑点清源
2. 一般地, 首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量. 3. 证明三点共线问题, 可 用向量共线来解决, 但 应注意向量共线与三 点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时, 才能得出三点 共线;另外, 利用向量 平行证明向量所在直 线平行, 必须说明这两 条直线不重合.
练出高分

加法

三角形

(1)交换律: a b+a +b=____. (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c) _________.

平行四边形

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
若 b+x=a,则 向量 x 叫做 a 与 减 b 的差,求两个 法 向量差的运算, 叫做向量的减 法

难点正本 疑点清源
2. 一般地, 首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量. 3. 证明三点共线问题, 可 用向量共线来解决, 但 应注意向量共线与三 点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时, 才能得出三点 共线; 另外, 利用向量 平行证明向量所在直 线平行, 必须说明这两 条直线不重合.
练出高分

a-b= a+(-b)
三角形 法则

(1)|λa|= |λ||a|; (2)当 λ>0 时, λa 实数 λ 与向量 a 的方向与 a 的 数 相乘,叫做向量 方向 相同 ;当 乘 λ<0 时,λa 的 的数乘 方向与 a 的方 向 相反 ;当 λ =0 时,λa=0

λ(μa)= λμa ____; (λ+μ)a= λa+μa ________; λ(a+b)= λa+λb ________

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2. 一般地, 首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量. 3. 证明三点共线问题, 可 用向量共线来解决, 但 应注意向量共线与三 点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时, 才能得出三点 共线; 另外, 利用向量 平行证明向量所在直 线平行, 必须说明这两 条直线不重合.
练出高分

3. 共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存 在唯一一个实数 λ,使得 b=λa .

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
8 2 东北方向 1 b-2a
-2 1 b- a 2
①②③

解析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, D 是不共线的四点, C, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要 条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是_____.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, ①不正确.两个向量的长度相 → 等,但它们的方向不一定相同. B, D 是不共线的四点, C, 则AB → → ②正确.∵AB=DC, → =DC是四边形 ABCD 为平行四 → → → → 边形的充要条件;③若 a=b,b ∴|AB|=|DC|且AB∥DC, =c,则 a=c;④a=b 的充要 条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是_____.

又∵A,B,C,D 是不共线的四 点, ∴四边形 ABCD 为平行四边 形;反之,若四边形 ABCD 为平 → → → 行四边形,则AB∥DC 且|AB|= → → → |DC|,因此,AB=DC.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, D 是不共线的四点, C, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要 条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是_____.

③正确.∵a=b,∴a,b 的长 度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同,

∴a,c 的长度相等且方向相同, 故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反 时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件,而是必要 不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是 ②③.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, D 是不共线的四点, C, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要 条件是|a|=|b|且 a∥b.

③正确.∵a=b,∴a,b 的长 度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同,

②③ 其中正确命题的序号是_____.

∴a,c 的长度相等且方向相同, 故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反 时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件, 而是必要 不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是 ②③.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, D 是不共线的四点, C, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要 条件是|a|=|b|且 a∥b.

②③ 其中正确命题的序号是_____.

(1)正确理解向量的相关概念及其 含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向 量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量,它们 均与起点无关. (4)向量可以平移,平移后的向量与 原向量是相等向量.解题时,不要 把它与函数图象移动混为一谈. a a (5)非零向量 a 与 的关系: 是 |a| |a| a 方向上的单位向量.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析

变式训练 1 下列命题中正确 解析 由于零向量与任一向量都共线, 所 以①不正确; 的是________.(填序号) ③ 由于数学中研究的向量是自由向量, 所以 ①a 与 b 共线,b 与 c 共线, 两个相等的非零向量可以在同一直线上, 则 a 与 c 也共线; 而此时就构不成四边形,所以②不正确; 与起 ②任意两个相等的非零向量 向量的平行只要求方向相同或相反, 的始点与终点是一个平行四 点是否相同无关,所以④不正确; 边形的四个顶点;

对于③,其条件以否定形式给出,所以可 从其逆否命题入手来考虑, 假设 a 与 b 不 ③向量 a 与 b 不共线,则 a 与 都是非零向量, a 与 b 中至少有一个是 即 b 都是非零向量; 零向量,而由零向量与任一向量都共线, ④有相同起点的两个非零向 可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有 量不平行. 向量 a 与 b 不共线, a 与 b 都是非零向量. 则
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图, 以向量OA=a, = OB → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图, 以向量OA=a, = OB → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3

结合图形性质, 准确灵活运用 三角形法则和平行四边形法 则是向量加减运算的关键.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图, 以向量OA=a, = OB → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3


→ → → ∵BA=OA-OB=a-b,

1 → 1→ 1 BM= BA= a- b, 6 6 6

→ → → 1 5 ∴OM=OB+BM= a+ b. 6 6 → 又∵OD=a+b, → → 1→ 1→ 1→ ∴ON=OC+ CD= OD+ OD 3 2 6 2→ 2 2 = OD= a+ b, 3 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图, 以向量OA=a, = OB → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3

2 1 → → → 2 ∴MN=ON -OM = a+ b- a 3 3 6 5 1 1 - b= a- b. 6 2 6

→ 1 5 → 2 综上,OM= a+ b,ON= a+ 6 6 3 2 → 1 1 b,MN= a- b. 3 2 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图, 以向量OA=a, = OB → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3

(1)解题的关键在于搞清构成三角 形的三个问题间的相互关系,能 熟练地找出图形中的相等向量, 并能熟练运用相反向量将加减法 相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量 问题的基本技巧:①观察各向量 的位置;②寻找相应的三角形或 多边形;③运用法则找关系; ④化简结果.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
→ → → → 变式训练 2 在△ABC 中, =c, =b, AB AC 若点 D 满足BD=2DC, 2 1 → b+ c 则AD=________.(用 b、c 表示) 3 3
解析 → → → → → → ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),

→ → → ∴3AD=2AC+AB,
1 → 2 → 1→ 2 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, → CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, 解决点共线或向量共线的问题,要 → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, 结合向量共线定理进行. → CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

→ → 不共线, (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+ → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, → 8b,CD=3(a-b), → CD=3(a-b),求证:A、B、D → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) 三点共线; → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a → → ∴AB、 共线, BD 又∵它们有公共点 B, +kb 共线.
∴A、B、D 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, ∴存在实数 λ, ka+b=λ(a+kb), 使 → CD=3(a-b),求证:A、B、D 即 ka+b=λa+λkb. 三点共线; ∴(k-λ)a=(λk-1)b. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a ∵a、b 是不共线的两个非零向量, +kb 共线. ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.

∴k=± 1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, (1)证明三点共线问题,可用向量共 → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, 线解决,但应注意向量共线与三点 → CD=3(a-b),求证:A、B、D 共线的区别与联系,当两向量共线 三点共线; 且有公共点时, 才能得出三点共线. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

(2)向量 a、 共线是指存在不全为零 b 的实数 λ1, 2, λ1a+λ2b=0 成立, λ 使 若 λ1a+λ2b=0, 当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,则向量 a、b 不共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 设 a,b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R, 1 t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上? 3 ? ? 1 ? 解 设 a-tb=λ?a-3?a+b?? (λ∈R), ? ? ? ?2 ? ? 1 ? ? ? ? 化简整理得:?3λ-1?a+?t-3λ?b=0, ? ? ? ? ?
?2 ? 3 ?3λ-1=0 ?λ=2 ∵a 与 b 不共线,∴? ?? , λ 1 ?t- =0 ?t= ? 3 ? 2 1 1 故 t= 时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上. 2 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可 能地转化到平行四边形或三角形中去. → → (2)既然OM能用 a、b 表示,那我们不妨设出OM=ma+nb. (3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 → → → → 解 设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
1 → → → 1→ → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → ∴存在实数 t,使得AM=tAD, ? 1 ? ? 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2
基础知识 题型分类 思想方法
3分

5分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

?m-1=-t ? ∴? ,消去 t 得,m-1=-2n, t ?n=2 ?
即 m+2n=1. 1? 1 ? → → → ? 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=?m-4?a+nb, ? 4 ? ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b. 4 4 → → 又∵C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线. → → ∴存在实数 t1,使得CM=t1CB,
基础知识 题型分类 思想方法



7分

10分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
? ? 1 ? 1? ? ? ? ∴?m- ?a+nb=t1?- a+b?, ? 4? ? ? 4 ?

1 1 ? ?m- =- t1 4 4 ∴? ?n=t1 ?

,消去 t1 得,4m+n=1.



12分

1 3 → 1 3 由①②得 m= ,n= ,∴OM= a+ b. 7 7 7 7

14分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有 一定的难度.(2)易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待 定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量 是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数 习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的 方法与技巧.如本题易忽视 A、M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何 特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是

方 法 与 技 巧

向量坐标形式的基础.

2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如 → → → AB∥CD且 AB 与 CD 不共线, AB∥CD;若AB 则 → ∥BC,则 A、B、C 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑

失 误 与 防 范

向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是 考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的 特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求 得所求向量的相反向量,导致错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量, 一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但 它们的模能比较大小; ③λa=0 (λ 为实数),则 λ 必为零; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为____.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量, 一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但 它们的模能比较大小;

解 析
①错,由于终点相同,两起点不一 定相同,所以可以不共线.

②对,由于模是实数,所以可以比

较大小. ③λa=0 (λ 为实数),则 λ 必为零; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 ③错,由于 a=0,λ≠0 时,也可以

a 与 b 共线.

得 λa=0.

当 虽然 λa=μb, 3 其中错误命题的个数为____. ④错, λ=μ=0 时, 但是 a 与 b 可以不共线.∴错误命 题个数为 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 2.设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△AOB 与 △AOC 的面积之比为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 2.设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△AOB 与 1 △AOC 的面积之比为________. 2

解 析
→ → → → → 设 D 为 AC 的中点, 连结 OD, 则OA+OC=2OD.又OA+OC → → → =-2OB,所以OD=-OB,即 O 为 BD 的中点,从而容易 1 得△AOB 与△AOC 的面积之比为 . 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ 1→ 3. 如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一 3 → → 2→ 点, 若AP=mAB+ AC, 则实数 m 的值为_______. 11

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ 1→ 3. 如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一 3 3 → → 2→ 点, 若AP=mAB+ AC, 则实数 m 的值为_______. 11 11

解 析
→ → 设|BP|=y,|PN|=x,

x → → → → 1→ 则AP=AN+NP= AC- BN 4 x+y y → → → → → AP=AB+BP=AB+ BN x+y x → y → → ①×y+②×x 得AP= AB+ AC, x+y 4?x+y? y 2 8 3 令 = ,得 y= x,代入得 m= . 3 11 4?x+y? 11
基础知识 题型分类 思想方法

① ②

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中 → → → 点,若AC=λAE+μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中 4 → → → 点,若AC=λAE+μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ=________. 3

解 析
→ → → → → 1→ 因为AC=AB+AD,又AE=AD+ AB, 2 → → 1→ AF=AB+ AD, 2 ?→ → → → ? 1 ? → ?1 ? ? ? 所以AC=λAE+μAF=?λ+2μ?AD+?2λ+μ?AB, ? ? ? ? ? 1 1 得到 λ+ μ=1, λ+μ=1, 2 2 4 两式相加得 λ+μ= . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 5.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD= a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 5.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=

-1 a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________.

解 析
→ → → ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线,
? → → ?2=2λ ∴存在实数 λ,使AB=λBD.即? ,∴p=-1. ?p=-λ ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → → 6.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则 → MN=____________(用 a,b 表示).

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → → 6.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则 1 1 → -4a+4b MN=____________(用 a,b 表示).

解 析
→ → → 3→ 3 由AN=3NC得AN= AC= (a+b), 4 4

1 → → → → AM=a+ b,所以MN=AN-AM 2
? 1 ? 3 1 1 ? = (a+b)-?a+2b?=- a+ b. ? 4 4 4 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条 直线上. 其中不正确的个数为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条 直线上.

2 其中不正确的个数为________.
解 析
命题①③正确,②④不正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分) 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边 → 上的中点, 为 BE 上一点, GB=2GE, G 且 设AB → → → =a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分) 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边 → 上的中点, 为 BE 上一点, GB=2GE, G 且 设AB → → → =a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG.

解 析 → 1 → → 1 1 解 AD= (AB+AC)= a+ b; 2 2 2 → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BA+BC) 3 3
2→ 1 → → = AB+ (AC-AB) 3 3
1→ 1→ 1 1 = AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分) 在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中 → → 点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(14 分) 在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

→ → 点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

解 析
解 → → → → → AG=AB+BG=AB+λBE

→ λ → → =AB+ (BA+BC) 2
? λ? → λ → → ? =?1-2?AB+ (AC-AB) ? 2 ? ?

λ → λ→ =(1-λ)AB+ AC=(1-λ)a+ b. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(14 分) 在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

→ → 点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

解 析
→ → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+mCF=AC+ (CA+CB) 2 → m→ m =(1-m)AC+ AB= a+(1-m)b, 2 2

m ? ?1-λ= 2 ∴? ?1-m=λ 2 ?
基础知识

2 → 1 1 ,解得 λ=m= ,∴AG= a+ b. 3 3 3
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
________.

B组
2

专项能力提升
4
5 6 7 8

3

1.(2012· 浙江改编)设 a,b 是两个非零向量,下列正确命题的个数是 ①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

8 7 6 5 1 3 4 2 1.(2012· 浙江改编)设 a,b 是两个非零向量,下列正确命题的个数是
________. ①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解 析
利用向量运算法则,特别是|a|2=a2 求解. 由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2,

即 a2+2a· 2=|a|2-2|a||b|+|b|2, b+b ∴a· b=-|a||b|. ∵a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 ,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

8 7 6 5 1 3 4 2 1.(2012· 浙江改编)设 a,b 是两个非零向量,下列正确命题的个数是
________. ①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解 析
∴cos〈a,b〉=-1,∴〈a,b〉=π, 此时 a 与 b 反向共线,因此①错误.

当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不共线,因此②错误. 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ=-1,使 b=-a, 满足 a 与 b 反向共线,故③正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

8 7 6 5 1 3 4 2 1.(2012· 浙江改编)设 a,b 是两个非零向量,下列正确命题的个数是

1 ________.
①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解 析
若存在实数 λ,使得 b=λa, 则|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,

|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只有当-1≤λ≤0 时,|a+b|=|a| -|b|才能成立,否则不能成立,故④错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

→ → → 2.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 → → → m 使得AB+AC=mAM成立,则 m=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

→ → → 2.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 → → → 3 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m=________.

解 析
→ → → 由已知条件得MB+MC=-MA.
如图, 因此延长 AM 交 BC 于 D 点, D 为 BC 的中点. 则 延 长 BM 交 AC 于 E 点, 延长 CM 交 AB 于 F 点, 同理可证 E、 F 分别为 AC、AB 的中点,即 M 为△ABC 的重心.

→ 2→ 1 → → → → → AM= AD= (AB+AC),即AB+AC=3AM,则 m=3. 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

3.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P → ? ?→ AB AC ? → → ? + 满足:OP=OA+λ ? ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一 → →? ?|AB| |AC|? 定通过△ABC 的________心.(填“外”“内”“重”“垂”)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

3.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P → ? ?→ → → ? AB + AC ? 满足:OP=OA+λ ? ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一 → →? ?|AB| |AC|?

内 定通过△ABC 的________心.(填“外”“内”“重”“垂”)
→ ? ?→ → → ? AB + AC ? 作∠BAC 的平分线 AD. ∵OP=OA+λ? , → → ? ?|AB| |AC| ? ?→ →? → AB AC ? AD → ? + ∴AP=λ? =λ′· (λ′∈[0,+∞)) → →? → |AD| ?|AB| |AC|? → λ′ → → → ∴AP= · ,∴AP∥AD. AD → |AD| ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 思想方法 题型分类 基础知识

解 析

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上). ①2a-3b=4 e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ、μ,使 λ· a+μ· b=0; ③x· a+y· b=0(实数 x,y 满足 x+y=0); → → ④若四边形 ABCD 是梯形,则AB与CD共线.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上). ①② ①2a-3b=4 e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ、μ,使 λ· a+μ· b=0; ③x· a+y· b=0(实数 x,y 满足 x+y=0); → → ④若四边形 ABCD 是梯形,则AB与CD共线.

解 析
由①得 10a-b=0,故①对.②对.

对于③当 x=y=0 时,a 与 b 不一定共线,故③不对.
→ → → → 若 AB∥CD,则AB与CD共线,若 AD∥BC,则AB与CD不共线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

5. 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中 点. 过点 O 的直线分别交直线 AB、 于不 AC → → → → 同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN, 则 m+n 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

5. 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中 点. 过点 O 的直线分别交直线 AB、 于不 AC → → → → 同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,

2 则 m+n 的值为________. 解 析
∵O 是 BC 的中点, → 1 → → ∴AO= (AB+AC). 2 → → → → → m → n→ 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= AM+ AN. 2 2
m n ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1.则 m+n=2. 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

→ → → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD 1→ → = CA+λCB,则 λ=________. 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

→ → → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD
2 1→ → = CA+λCB,则 λ=________. 3 3

解 析
→ → → 由图知CD=CA+AD,①

→ → → CD=CB+BD,②

→ → 且AD+2BD=0.

→ → → ①+②×2 得:3CD=CA+2CB,
2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分) 如图所示,在△ABC 中,在 AC 上取点 N,使得 AN= 1 1 AC,在 AB 上取点 M,使得 AM= AB,在 BN 3 3 1 的延长线上取点 P,使 得 NP= BN,在 CM 2 → → → → 的延长线上取点 Q,使得MQ=λCM时, AP=QA,试确定 λ 的值.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分) 如图所示,在△ABC 中,在 AC 上取点 N,使得 AN= 1 1 AC,在 AB 上取点 M,使得 AM= AB,在 BN 3 3 1 的延长线上取点 P,使 得 NP= BN,在 CM 2 → → → → 的延长线上取点 Q,使得MQ=λCM时, AP=QA,试确定 λ 的值.

解 析
1 → → 1→ → → → 1 → → 解 AP=NP-NA= (BN-CN)= (BN+NC)= BC, 2 2 2 → → → 1→ → 又QA=MA-MQ= BM-λCM 2
1→ → = BM+λMC, 2
1→ 1 → → → 1→ 且又AP=QA,∴ BM+λMC= BC,∴λ= . 2 2 2

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → → (1)求GA+GB+GO; (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G, 且OA=a, 1 1 → → → OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3. m n

解 析

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1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → → (1)求GA+GB+GO; (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G, 且OA=a, 1 1 → → → OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3. m n

解 析
→ → → → → (1)解 因为GA+GB=2GM,又 2GM=-GO, → → → → → 所以GA+GB+GO=-GO+GO=0. → 1 (2)证明 显然OM= (a+b). 2 → 2→ 1 因为 G 是△ABO 的重心,所以OG= OM= (a+b). 3 3 → → 由 P、G、Q 三点共线,得PG∥GQ, → → 所以,有且只有一个实数 λ,使PG=λGQ.

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → → (1)求GA+GB+GO; (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G, 且OA=a, 1 1 → → → OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3. m n

解 析
?1 ? 1 → → → 1 ? ? 而PG=OG-OP= (a+b)-ma=? -m?a+ b, 3 3 ?3 ? ? 1? 1 1 → → → ? GQ=OQ-OG=nb- (a+b)=- a+?n-3?b, ? 3 3 ? ? ? 1 ?1 ? ? ? ? 1 1 所以?3-m?a+ b=λ?- a+?n-3?b?. ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 1 ?1 ?3-m=-3λ 又因为 a、b 不共线,所以? , 1 ? 1? ? =λ?n- ? ?3 ? 3? ? ? 1 1 消去 λ,整理得 3mn=m+n,故 + =3. m n

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