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2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式


第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式
时间:45 分钟 分值:75 分

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 8π 1.tan 3 的值为( 3 A. 3 C. 3 ) 3 B.- 3 D.- 3

2π? ? 8π 2π 解析 tan 3 =tan?2π+ 3 ?=tan 3

=- 3. ? ? 答案 D )

3 2.已知 α 是第四象限角,且 sinα=-5,则 tanα=( 3 A.4 4 C.3 3 B.-4 4 D.-3

3 4 3 解析 ∵α 是第四象限角,且 sinα=-5,∴cosα=5,tanα=-4. 答案 B

3.(2014· 玉溪一中月考)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的 1 一点,且 cosα=5x,则 tanα=( 4 A.3 3 C.-4 ) 3 B.4 4 D.-3

1 1 解析 ∵α 是第二象限角,∴cosα=5x<0,即 x<0.又 cosα=5x=

x 4 4 ,解得 x=-3,∴tanα=x=-3. x +16
2

答案

D )

4.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα=( A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1

解析 方法 1:由 sinα-cosα= 2, π? ? 得 2sin?α-4?= 2,
? ?

π? ? π π 3 即 sin?α-4?=1,∵0<α<π,∴-4<α-4<4π.
? ?

3 ∴α=4π,∴tanα=-1. 方法 2:由 sinα-cosα= 2,两边平方得 sin2α=-1. 3 3 ∵α∈(0,π),∴2α=2π,α=4π,∴tanα=-1. 答案 A

5.已知 sinα 是方程 5x2-7x-6=0 的根,且 α 是第三象限角, 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?cos? 2 -α?tan2?π-α? ? ? ? ? 则 =( ?π ? ?π ? cos?2-α?sin?2+α?
? ? ? ?

) 9 B.-16 3 D.4

9 A.16 3 C.-4

3 解析 ∵方程 5x2-7x-6=0 的根为 x1=2, x2=-5, 由题知 sinα

3 4 3 =-5,∴cosα=-5,tanα=4, cosα· ?-sinα?tan2α 9 2 ∴原式= =- tan α =- sinαcosα 16. 答案 B )

10 6. (2013· 浙江卷)已知 α∈R, sinα+2cosα= 2 , 则 tan2α=( 4 A.3 3 C.-4 10 解析 由 sinα+2cosα= 2 , 再结合 sin2α+cos2α=1 3 B.4 4 D.-3

?sinα=- 10, 得? 3 cosα= , ? 10
2tanα 1-tan2α

1

?sinα= 或? ?cosα=

3 , 10 1 , 10

1 所以 tanα=-3或 tanα=3, 代入 tan2α=

3 得 tan2α=-4. 答案 C

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知 α 为第二象限角,则 cosα 1+tan2α+sinα ________. 解析 原 式 = cosα sin2α+cos2α + sinα cos2α sin2α+cos2α = sin2α 1 1+tan2α=

1 1 cosα |cosα| + sinα |sinα| ,∵ α 是第二象限角,∴ sinα>0 , cosα<0 ,∴ 1 1 cosα|cosα|+sinα|sinα|=-1+1=0,即原式等于 0. 答案 0
?π π? 3 8.(2014· 天津一中模拟)已知 sinxcosx=8,且 x∈?4,2?,则 cosx ? ?

-sinx=________.
?π π? 解析 ∵x∈?4,2?, ∴sinx>cosx, 即 cosx-sinx<0, ∴(cosx-sinx)2 ? ?

1 =1-2sinxcosx=4, 1 ∴cosx-sinx=-2. 答案 1 -2

π 9.(2013· 四川卷)设 sin2α=-sinα,α∈(2,π),则 tan2α 的值是 ________. π 解析 由 sin2α=-sinα 得 2sinαcosα=-sinα,由 α∈(2,π),所 1 2 4 以 sinα≠0,从而 cosα=-2,所以 α=3π,tan2α=tan3π= 3. 答案 3

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) cos?π+θ? 1 10.已知 sin(3π+θ)=3,求 + cosθ[cos?π-θ?-1] cos?θ-2π? 3π? ? ?3π ? sin?θ- 2 ?cos?θ-π?-sin? 2 +θ? ? ? ? ? 的值.

1 1 解 ∵sin(3π+θ)=-sinθ=3,∴sinθ=-3. ∴原式= -cosθ cosθ + cosθ?-cosθ-1? cosθ· ?-cosθ?+cosθ = = 1 cosθ 1 1 + = + 2 1+cosθ -cos θ+cosθ 1+cosθ 1-cosθ 2 2 2 =18. 2 = 2 = 1-cos θ sin θ ? 1?2 ?- ? ? 3?

π 11.(2013· 广东卷)已知函数 f(x)= 2cos(x-12),x∈R. π (1)求 f(-6)的值; 3 3π π (2)若 cosθ=5,θ∈( 2 ,2π),求 f(2θ+3). 解 π π π (1)f(-6)= 2cos(-6-12)

π π = 2cos(-4)= 2cos4=1. π π π (2)f(2θ+3)= 2cos(2θ+3-12) π = 2cos(2θ+4) =cos2θ-sin2θ. 3 3π 4 因为 cosθ=5,θ∈( 2 ,2π),所以 sinθ=-5. 24 7 所以 sin2θ=2sinθcosθ=-25,cos2θ=cos2θ-sin2θ=-25. π 7 24 17 所以 f(2θ+3)=cos2θ-sin2θ=-25-(-25)=25.

3π 12. 已知 sinθ, cosθ 是方程 4x2-4mx+2m-1=0 的两个根,2 < θ<2π,求 θ. sinθ+cosθ=m, ? ? 2m-1 ∵?sinθ· cosθ= 4 , ? ?Δ=16?m -2m+1?≥0,
2



代入(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ· cosθ, 1± 3 得 m= 2 , 2m-1 3π 又 2 <θ<2π,∴sinθ· cosθ= 4 <0, 即 m= 1- 3 2 . 1- 3 2 ,

∴sinθ+cosθ=m= 3 sinθ· cosθ=- 4 . 3π 又∵ 2 <θ<2π,

3 1 5π ∴sinθ=- 2 ,cosθ=2.∴θ= 3 .


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