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2.7数列前n项和的求法2


2.7 数列前n项和的求法

( 2)

学习目标
1 、理解掌握数列的通项公式和数列的前n 项 和公式; 2、熟练掌握等差、等比数列的求和方法; 3、培养学生的数学应用意识,加强分析问题、 解决问题的能力训练。 ? 重点:数列求和的常用思想方法。 ? 难点: 运用数学知识和方法分析、解决数学 应用问题的能力。

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S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos288°+cos289° 解: S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos288°+cos289° ① 由①等式右边倒序得 S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos22°+cos21° ② ∵sinx=cos(90°-x)且 sin2x+cos2x=1

∴①+②得 2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+ (sin289°+cos289°)=89 ∴S=44.5

4、倒序相加法:
? 如果一个数列,与首末两项等距离的两项
之和等于首末两项之和,可采用把正着写

和与倒着写和的两个和式相加,就得到一
个常数列的和,这一求和的方法称为倒序

相加法。
? 最显著的应用:等差数列的前n项和公式。

对于等差数列而言,

Sn= a1+a2+a3+a4+… +an-3+ an-2+ an-1+an
又:Sn= an+an-1+an-2+an-3+… +a4+ a3+ a2+a1 ∴ 2Sn=(a1+an)+(a2+ an-1)+(a3 + an-2)+… +(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+… +(a1+an) =n(a1+an) ∴ Sn=

(a1+an)



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对于等比数列而言, 相? 减? Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

? qS = n

a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

得:(1-q)Sn=a1-a1qn
a1 (1 ? q ) (1)当q≠1时, S n ? 1? q
n

(2)当q=1时, Sn = na1

5、错项相减法:
? 若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比
数列,求和时一般在已知和式的两边都乘以组成 这个数列的等比数列的公比;然后再将得到的新 和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求 和,这种方法就是错位相减法。

精讲点拨
【例 3】求数列 1 , 2a ,3a 2, …, na
的前 n 项的和。
解:由题an=nan-1 —等差数列×等比数列 设 S=1+2a+3a2+4a3+…+( n-1)an-2+nan-1 则aS= a+2a2+3a3+ …+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan 所以:(1-a)S=1+a+a2+a3+…+an-1-nan
n-1 , …

当 a=1时,S=1+2+3+…+n ?
n ( n ? 1) ? ? ? 2 ?S ? ? 1 ? an na n ? ? 2 ? 1? a ? (1 ? a )

n ( n ? 1) 2 n n n 1 ? a na 1? a n ? ? 当 a≠1时,(1-a)S= -naS 2 1? a (1 ? a ) 1? a
a?1 a?1

知识盘点
? 4、倒序相加法:

? 5、错项相减法:

课后作业


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